高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 7-7 立體幾何中的向量方法課件 理 新人教A版.ppt
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第七節(jié) 立體幾何中的向量方法,最新考綱展示 1理解直線的方向向量及平面的法向量 2.能用向量語言表述線線、線面、面面的平行和垂直關(guān)系 3.能用向量方法證明立體幾何中有關(guān)線面位置關(guān)系的一些簡單定理(包括三垂線定理) 4.能用向量方法解決直線與直線、直線與平面、平面與平面的夾角的計算問題,了解向量方法在研究立體幾何問題中的應(yīng)用,一、直線的方向向量和平面的法向量 1直線的方向向量:如果表示非零向量a的有向線段所在直線與直線l_或_,則稱此向量a為直線l的方向向量 2平面的法向量:直線l,取直線l的方向向量a,則向量a叫作平面的法向量,平行,重合,二、空間位置關(guān)系的向量表示,三、利用空間向量求空間角 1求兩條異面直線所成的角 設(shè)a,b分別是兩異面直線l1,l2的方向向量,則,(2)設(shè)n1,n2分別是二面角 l 的兩個面,的法向量,則向量n1與n2的夾角(或其補角)的大小就是 _(如圖),二面角的平面角的大小,1通常取直線上兩個特殊點構(gòu)成直線的方向向量;當(dāng)直線平行于x軸、y軸或z軸時,直線的方向向量可分別取i(1,0,0),j(0,1,0),k(0,0,1) 2一個平面的法向量有無數(shù)多個,任意兩個都是共線向量 3若能找出平面的垂線,則垂線上取兩個特殊點可構(gòu)成平面的一個法向量 4若通過解三元一次方程組(僅兩個方程組成)求平面的法向量時,不妨取z1. 5利用空間向量證明平行垂直關(guān)系的關(guān)鍵是確定直線的方向向量及平面的法向量同時要結(jié)合圖形根據(jù)要證的平行式垂直關(guān)系轉(zhuǎn)化為直線方向向量與平面的法向量之間的關(guān)系,一、利用空間向量表示平行、垂直問題 1若直線l平面,直線l的方向向量為s、平面的法向量為n,則下列結(jié)論正確的是( ) As(1,0,2),n(1,0,1) Bs(1,0,1),n(1,2,1) Cs(1,1,1),n(1,2,1) Ds(1,1,1),n(2,2,2) 解析:直線與平面平行,直線的方向向量和平面的法向量垂直,經(jīng)檢驗只有選項C中sn0,故選C. 答案:C,2設(shè)u(2,2,t),v(6,4,4)分別是平面,的法向量若,則t( ) A3 B4 C5 D6 解析:,則uv262(4)4t0,t5. 答案:C,二、空間向量求空間角 3判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”,錯誤的打“”) (1)若兩直線的方向向量不平行,則兩直線不平行( ) (2)若兩平面的法向量平行,則兩平面平行( ) (3)兩直線的方向向量所成的角就是兩條直線所成的角( ) (4)兩個平面的法向量所成的角是這兩個平面所成的角( ) 答案:(1) (2) (3) (4),4已知兩平面的法向量分別為m(0,1,0),n(0,1,1),則兩平面所成的二面角為( ) A45 B135 C45或135 D90 答案:C,5若平面的一個法向量為n(4,1,1),直線l的一個方向向量為a(2,3,3),則l與所成角的正弦值為_,例1 如圖所示,在四棱錐P ABCD中,PC平面ABCD,PC2,在四邊形ABCD中,BC90,AB4,CD1,點M在PB上,PB4PM,PB與平面ABCD成30的角 (1)求證:CM平面PAD; (2)求證:平面PAB平面PAD.,利用空間向量證明平行、垂直(師生共研),規(guī)律方法 (1)恰當(dāng)建立坐標(biāo)系,準(zhǔn)確表示各點與相關(guān)向量的坐標(biāo),是運用向量法證明平行和垂直的關(guān)鍵 (2)證明直線與平面平行,只需證明直線的方向向量與平面的法向量的數(shù)量積為零,或證直線的方向向量與平面內(nèi)的不共線的兩個向量共面,然后說明直線在平面外即可這樣就把幾何的證明問題轉(zhuǎn)化為向量運算 (3)證明直線與直線垂直,只需要證明兩條直線的方向向量垂直,而直線與平面垂直,平面與平面垂直可轉(zhuǎn)化為直線與直線垂直證明,1.如圖所示,在多面體ABCDEF中,四邊形ABCD是正方形,EFAB,EFFB,AB2EF,BFC90,BFFC,H是BC的中點 (1)求證:FH平面EDB; (2)求證:AC平面EDB.,證明:四邊形ABCD為正方形,ABBC. 又EFAB,EFBC. 又EFFB,EF平面BFC.EFFH, ABFH. 又BFFC,H為BC的中點,F(xiàn)HBC. FH平面ABC.,例2 (2013年高考江蘇卷)如圖,在直三棱柱A1B1C1 ABC中,ABAC,ABAC2,A1A4,點D是BC的中點 (1)求異面直線A1B與C1D所成角的余弦值; (2)求平面ADC1與平面ABA1所成二面角的正弦值,利用空間向量求空間角(師生共研),規(guī)律方法 求空間角的基本方法: (1)建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系,便于坐標(biāo)的求解 (2)利用向量法求異面直線l1與l2所成的角,主要求出兩直線的方向向量v1與v2,則cos |cosv1,v2|. (3)利用向量法求斜線與平面所成的角的方法: 分別求出斜線和它在平面內(nèi)的射影所在直線的方向向量,轉(zhuǎn)化為求兩個方向向量的夾角(或其補角) 通過平面的法向量來求,即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角(若是鈍角,取其補角),取其余角就是斜線和平面所成的角 (4)利用向量法求二面角的方法:,分別求出二面角的兩個面所在平面的法向量,然后通過兩個面的法向量的夾角得到二面角的大小,但要注意結(jié)合實際圖形判斷所求角是銳角還是鈍角 分別在二面角的兩個面內(nèi)找到與棱垂直且以垂足出發(fā)的兩個向量,則這兩個向量的夾角的大小就是二面角的大小,例3 (2015年福州調(diào)研) 如圖,在長方體ABCD A1B1C1D1中,AA1AD1,E為CD的中點 (1)求證:B1EAD1. (2)在棱AA1上是否存在一點P,使得DP平面B1AE?若存在,求AP的長;若不存在,說明理由,利用空間向量解決探索性問題(師生共研),規(guī)律方法 立體幾何開放性問題求解方法有以下兩種: (1)根據(jù)題目的已知條件進行綜合分析和觀察猜想,找出點或線的位置,然后再加以證明,得出結(jié)論 (2)假設(shè)所求的點或線存在,并設(shè)定參數(shù)表達(dá)已知條件,根據(jù)題目進行求解,若能求出參數(shù)的值且符合已知限定的范圍,則存在這樣的點或線,否則不存在本題是設(shè)出點P的坐標(biāo),借助向量運算,判定關(guān)于z0的方程是否有解.,- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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