材料力學 第6章彎曲變形

材料力學材料力學 第六章第六章 彎曲變形彎曲變形6-1 工程中的彎曲變形問題工程中的彎曲變形問題6-2 撓撓曲線的微分方程曲線的微分方程6-3 用積分法求彎曲變形用積分法求彎曲變形6-4 用疊加法求彎曲變形用疊加法求彎曲變形6-5 簡單超靜定梁簡單超靜定梁6-6 提高彎曲剛度的一些措施提高彎曲剛度的一些措施材料力學材料力學 第六章第六章 彎曲變形彎曲變形6-1 6-1 工程中的彎曲變形問題工程中的彎曲變形問題在工程實踐中，對某些受彎構(gòu)件，除要求具有足夠的強在工程實踐中，對某些受彎構(gòu)件，除要求具有足夠的強度外，還要求變形不能過大，即要求構(gòu)件有足夠的剛度，度外，還要求變形不能過大，即要求構(gòu)件有足夠的剛度，以保證結(jié)構(gòu)或機器正常工作。以保證結(jié)構(gòu)或機器正常工作。材料力學材料力學 第六章第六章 彎曲變形彎曲變形 搖臂鉆床的搖臂或車床的主軸變形過大，就會影響零件的搖臂鉆床的搖臂或車床的主軸變形過大，就會影響零件的加工精度，甚至會出現(xiàn)廢品。加工精度，甚至會出現(xiàn)廢品。材料力學材料力學 第六章第六章 彎曲變形彎曲變形 橋式起重機的橫梁變形過大橋式起重機的橫梁變形過大,則會使小車行走困難，出現(xiàn)爬坡則會使小車行走困難，出現(xiàn)爬坡現(xiàn)象。現(xiàn)象。材料力學材料力學 第六章第六章 彎曲變形彎曲變形 但在另外一些情況下，有時卻要求構(gòu)件具有較大的彈性變但在另外一些情況下，有時卻要求構(gòu)件具有較大的彈性變形，以滿足特定的工作需要。例如，車輛上的板彈簧，要求有形，以滿足特定的工作需要。例如，車輛上的板彈簧，要求有足夠大的變形，以緩解車輛受到的沖擊和振動作用。足夠大的變形，以緩解車輛受到的沖擊和振動作用。材料力學材料力學 第六章第六章 彎曲變形彎曲變形6-2 6-2 撓撓曲線的微分方程曲線的微分方程1.梁的梁的撓曲線撓曲線：梁軸線變形后所形成的光滑連續(xù)的曲線梁軸線變形后所形成的光滑連續(xù)的曲線。B1Fxq qq qwyx 2.梁位移的度量：梁位移的度量：撓度撓度：梁橫截面形心的豎向位移：梁橫截面形心的豎向位移w，向上的撓度為正，向上的撓度為正轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角：梁橫截面繞中性軸轉(zhuǎn)動的角度：梁橫截面繞中性軸轉(zhuǎn)動的角度，逆時針轉(zhuǎn)動為正，逆時針轉(zhuǎn)動為正撓曲線方程撓曲線方程：撓度作為軸線坐標的函數(shù)：撓度作為軸線坐標的函數(shù) w=f(x)轉(zhuǎn)角方程轉(zhuǎn)角方程(小變形下小變形下)：轉(zhuǎn)角與撓度的關(guān)系：轉(zhuǎn)角與撓度的關(guān)系3.計算位移的目的：計算位移的目的：剛度校核、解超靜定梁、適當施工措施剛度校核、解超靜定梁、適當施工措施材料力學材料力學 第六章第六章 彎曲變形彎曲變形4.撓曲線的近似微分方程撓曲線的近似微分方程推導彎曲正應力時，得到：推導彎曲正應力時，得到：忽略剪力對變形的影響忽略剪力對變形的影響材料力學材料力學 第六章第六章 彎曲變形彎曲變形由數(shù)學知識可知：由數(shù)學知識可知：略去高階小量，得略去高階小量，得所以所以材料力學材料力學 第六章第六章 彎曲變形彎曲變形 由彎矩的正負號規(guī)定可得，彎矩的符號與撓曲線的二階由彎矩的正負號規(guī)定可得，彎矩的符號與撓曲線的二階導數(shù)符號一致，所以撓曲線的近似微分方程為：導數(shù)符號一致，所以撓曲線的近似微分方程為：由上式進行積分，再利用邊界條件（由上式進行積分，再利用邊界條件（boundary conditionboundary condition）和連續(xù)條件和連續(xù)條件(continuity condition)確定積分常數(shù)。就可以求出梁確定積分常數(shù)。就可以求出梁橫截面的轉(zhuǎn)角和撓度。橫截面的轉(zhuǎn)角和撓度。材料力學材料力學 第六章第六章 彎曲變形彎曲變形 適用于小變形情況下、線彈性材料、細長構(gòu)件的平面彎適用于小變形情況下、線彈性材料、細長構(gòu)件的平面彎曲。曲。可應用于求解承受各種載荷的等截面或變截面梁的位移?？蓱糜谇蠼獬惺芨鞣N載荷的等截面或變截面梁的位移。積分常數(shù)由撓曲線變形的幾何相容條件（邊界條件、連積分常數(shù)由撓曲線變形的幾何相容條件（邊界條件、連續(xù)條件）確定。續(xù)條件）確定。優(yōu)點：使用范圍廣，直接求出較精確；優(yōu)點：使用范圍廣，直接求出較精確；缺點：計算較繁。缺點：計算較繁。5.討論：討論：材料力學材料力學 第六章第六章 彎曲變形彎曲變形6-3 6-3 用積分法求彎曲變形用積分法求彎曲變形撓曲線的近似微分方程為：撓曲線的近似微分方程為：積分一次得轉(zhuǎn)角方程為：積分一次得轉(zhuǎn)角方程為：再積分一次得撓度方程為：再積分一次得撓度方程為：材料力學材料力學 第六章第六章 彎曲變形彎曲變形積分常數(shù)積分常數(shù)C C、D D 由梁的位移邊界條件和光滑連續(xù)條件確定。由梁的位移邊界條件和光滑連續(xù)條件確定。位移邊界條件位移邊界條件光滑連續(xù)條件光滑連續(xù)條件 彈簧變形彈簧變形材料力學材料力學 第六章第六章 彎曲變形彎曲變形例例6-3-1 6-3-1 求梁的求梁的轉(zhuǎn)角方程和撓度方程，并求最大轉(zhuǎn)角和最大轉(zhuǎn)角方程和撓度方程，并求最大轉(zhuǎn)角和最大撓度，梁的撓度，梁的EIEI已知。已知。解解1 1）由梁的整體平衡分析可得：）由梁的整體平衡分析可得：2）寫出）寫出x截面的彎矩方程截面的彎矩方程3）列撓曲線近似微分方程并積分）列撓曲線近似微分方程并積分積分一次積分一次再積分一次再積分一次A AB BF F材料力學材料力學 第六章第六章 彎曲變形彎曲變形4）由位移邊界條件確定積分常數(shù)）由位移邊界條件確定積分常數(shù)代入求解代入求解5）確定轉(zhuǎn)角方程和撓度方程）確定轉(zhuǎn)角方程和撓度方程6）確定最大轉(zhuǎn)角和最大撓度）確定最大轉(zhuǎn)角和最大撓度A AB BF F材料力學材料力學 第六章第六章 彎曲變形彎曲變形例例6-3-2 求求梁的梁的轉(zhuǎn)角方程和撓度方程，并求最大轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角方程和撓度方程，并求最大轉(zhuǎn)角和最大撓度，梁的和最大撓度，梁的EI已知，已知，l=a+b，ab。解解 1）由梁整體平衡分析得：）由梁整體平衡分析得：2）彎矩方程）彎矩方程AC 段：段：CB 段：段：材料力學材料力學 第六章第六章 彎曲變形彎曲變形3）列撓曲線近似微分方程并積分）列撓曲線近似微分方程并積分AC 段：段：CB 段：段：材料力學材料力學 第六章第六章 彎曲變形彎曲變形4）由邊界條件確定積分常數(shù)）由邊界條件確定積分常數(shù)代入求解，得代入求解，得位移邊界條件位移邊界條件光滑連續(xù)條件光滑連續(xù)條件材料力學材料力學 第六章第六章 彎曲變形彎曲變形5）確定轉(zhuǎn)角方程和撓度方程）確定轉(zhuǎn)角方程和撓度方程AC 段：段：CB 段：段：材料力學材料力學 第六章第六章 彎曲變形彎曲變形6）確定最大轉(zhuǎn)角和最大撓度）確定最大轉(zhuǎn)角和最大撓度令令 得，得，令令 得，得，材料力學材料力學 第六章第六章 彎曲變形彎曲變形例例6-3-2 已知梁的抗彎剛度為已知梁的抗彎剛度為EI。試求圖示簡支梁在均試求圖示簡支梁在均布載荷布載荷q作用下的轉(zhuǎn)角方程、撓曲線方程，并確定作用下的轉(zhuǎn)角方程、撓曲線方程，并確定max和和wmax。解：解：材料力學材料力學 第六章第六章 彎曲變形彎曲變形梁的轉(zhuǎn)角方程和撓曲線梁的轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程分別為：方程分別為：最大轉(zhuǎn)角和最大撓度分別為：最大轉(zhuǎn)角和最大撓度分別為：AB由邊界條件：由邊界條件：得：得：材料力學材料力學 第六章第六章 彎曲變形彎曲變形6-4 6-4 用疊加法求彎曲變形用疊加法求彎曲變形設(shè)梁上有設(shè)梁上有n 個載荷同時作用，任意截面上的彎矩為個載荷同時作用，任意截面上的彎矩為M(x)，轉(zhuǎn)角為轉(zhuǎn)角為，撓度為，撓度為y，則有：則有：若梁上只有第若梁上只有第i個載荷單獨作用，截面上彎矩為個載荷單獨作用，截面上彎矩為Mi(x)，轉(zhuǎn)角為，轉(zhuǎn)角為 i，撓度為，撓度為yi，則有：，則有：由彎矩的疊加原理知：由彎矩的疊加原理知：所以，所以，材料力學材料力學 第六章第六章 彎曲變形彎曲變形故故由于梁的邊界條件不變，因此由于梁的邊界條件不變，因此重要結(jié)論：重要結(jié)論：梁在若干個載荷共同作用時的撓度或轉(zhuǎn)角，等梁在若干個載荷共同作用時的撓度或轉(zhuǎn)角，等于在各個載荷單獨作用時的撓度或轉(zhuǎn)角的代數(shù)和。于在各個載荷單獨作用時的撓度或轉(zhuǎn)角的代數(shù)和。這就是這就是計算彎曲變形的疊加原理計算彎曲變形的疊加原理。材料力學材料力學 第六章第六章 彎曲變形彎曲變形疊加法前提疊加法前提 力與位移之間的線性關(guān)系力與位移之間的線性關(guān)系 小變形小變形材料力學材料力學 第六章第六章 彎曲變形彎曲變形例例6-4-1 按疊加原理求按疊加原理求A點轉(zhuǎn)點轉(zhuǎn)角和角和C點撓度。點撓度。qqPP=+AAABBBCaa材料力學材料力學 第六章第六章 彎曲變形彎曲變形例例6-4-2 已知已知簡支梁受力如圖示，簡支梁受力如圖示，q、l、EI均為已知。均為已知。求求C 截面的撓度截面的撓度yC；B截面的轉(zhuǎn)角截面的轉(zhuǎn)角 B。材料力學材料力學 第六章第六章 彎曲變形彎曲變形yC1yC2yC3材料力學材料力學 第六章第六章 彎曲變形彎曲變形例例6-4-3 已知已知：懸臂梁受力如圖示，懸臂梁受力如圖示，q、l、EI均為已均為已知。知。求求C截面的撓度截面的撓度yC和和轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角 C。材料力學材料力學 第六章第六章 彎曲變形彎曲變形材料力學材料力學 第六章第六章 彎曲變形彎曲變形二、結(jié)構(gòu)形式疊加（逐段剛化法）：二、結(jié)構(gòu)形式疊加（逐段剛化法）：例例6-4-4 試按疊加原理求圖示等直外伸梁截面試按疊加原理求圖示等直外伸梁截面B的的轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角 B，以及以及A端和端和BC段中點段中點D的撓度的撓度wA和和wD。材料力學材料力學 第六章第六章 彎曲變形彎曲變形解：解：=材料力學材料力學 第六章第六章 彎曲變形彎曲變形材料力學材料力學 第六章第六章 彎曲變形彎曲變形例例6-4-4 剛架剛架ABC承載如圖承載如圖,各桿的抗彎剛度為各桿的抗彎剛度為EI,求剛架自由端求剛架自由端C的水平位移和垂直位移的水平位移和垂直位移.水平位移水平位移垂直位移垂直位移材料力學材料力學 第六章第六章 彎曲變形彎曲變形6-5 6-5 簡單超靜定梁簡單超靜定梁例例6-5-1 試求圖示系統(tǒng)的求試求圖示系統(tǒng)的求全部未知力。全部未知力。解：解：建立靜定基建立靜定基確定超靜定次數(shù)，用反力代替多確定超靜定次數(shù)，用反力代替多余約束所得到的結(jié)構(gòu)余約束所得到的結(jié)構(gòu)靜定基。靜定基。=q0LABLq0MABAq0LRBABxf材料力學材料力學 第六章第六章 彎曲變形彎曲變形幾何方程幾何方程變形協(xié)調(diào)方程變形協(xié)調(diào)方程+q0LRBAB=RBABq0AB物理方程物理方程變形與力的關(guān)系變形與力的關(guān)系補充方程補充方程求解其它問題（反力、應力、求解其它問題（反力、應力、變形等）變形等）材料力學材料力學 第六章第六章 彎曲變形彎曲變形幾何方程幾何方程 變形協(xié)調(diào)方程：變形協(xié)調(diào)方程：解：解：建立靜定基建立靜定基=例例6-5-1結(jié)構(gòu)如圖，求結(jié)構(gòu)如圖，求B B點反力。點反力。LBCq0LRBABCq0LRBAB=RBAB+q0ABxf材料力學材料力學 第六章第六章 彎曲變形彎曲變形=LBCq0LRBABCRBAB+q0AB物理方程物理方程變形與力的關(guān)系變形與力的關(guān)系補充方程補充方程求解其它問題（反力、應力、變求解其它問題（反力、應力、變形等）形等）xf材料力學材料力學 第六章第六章 彎曲變形彎曲變形例例6-5-3 試求圖試求圖a所示系統(tǒng)中鋼桿所示系統(tǒng)中鋼桿AD內(nèi)的拉力內(nèi)的拉力FN。鋼梁和鋼桿的材料相同，彈性模量鋼梁和鋼桿的材料相同，彈性模量E已知；鋼桿的已知；鋼桿的橫截面積橫截面積A和鋼梁橫截面對中性軸的慣性矩和鋼梁橫截面對中性軸的慣性矩I 亦為亦為已知。已知。材料力學材料力學 第六章第六章 彎曲變形彎曲變形材料力學材料力學 第六章第六章 彎曲變形彎曲變形需要注意，因需要注意，因 lDA亦即圖亦即圖b中的中的 是向下的，故上式中是向下的，故上式中wAF為負的。為負的。材料力學材料力學 第六章第六章 彎曲變形彎曲變形于是根據(jù)位移于是根據(jù)位移(變變形形)相容條件得補相容條件得補充方程：充方程：由此求得由此求得材料力學材料力學 第六章第六章 彎曲變形彎曲變形6-6 6-6 提高彎曲剛度的一些措施提高彎曲剛度的一些措施一、改善結(jié)構(gòu)形式，減少彎矩數(shù)值一、改善結(jié)構(gòu)形式，減少彎矩數(shù)值改改變變支支座座形形式式材料力學材料力學 第六章第六章 彎曲變形彎曲變形改改變變載載荷荷類類型型材料力學材料力學 第六章第六章 彎曲變形彎曲變形二、選擇合理的截面形狀二、選擇合理的截面形狀材料力學材料力學 第六章第六章 彎曲變形彎曲變形三三、選用高強度材料，提高許用應力值、選用高強度材料，提高許用應力值 同類同類材料材料，“E”值相差不多值相差不多，“b”相相差較大，故換用同類材料只能提高強度，不差較大，故換用同類材料只能提高強度，不能提高剛度和穩(wěn)定性能提高剛度和穩(wěn)定性。不同類材料，不同類材料，E和和G都相差很多（鋼都相差很多（鋼E=200GPa,銅銅E=100GPa），），故可選用不故可選用不同的材料以達到提高剛度和穩(wěn)定性的目的同的材料以達到提高剛度和穩(wěn)定性的目的。但是，改換材料，其但是，改換材料，其原料費用原料費用也會隨之發(fā)生也會隨之發(fā)生很大的改變！很大的改變！材料力學材料力學 第六章第六章 彎曲變形彎曲變形Any question?Any question?材料力學材料力學 第六章第六章 彎曲變形彎曲變形祝大家學習愉快祝大家學習愉快!