工程力學(xué)：10第十章彎曲變形

第十章第十章梁彎曲時(shí)的位移梁彎曲時(shí)的位移本章主要內(nèi)容本章主要內(nèi)容v 彎曲變形的概念彎曲變形的概念v 梁的撓曲線近似微分方程梁的撓曲線近似微分方程v 積分法求梁的變形積分法求梁的變形v 疊加法求梁的變形疊加法求梁的變形v 梁的剛度校核梁的剛度校核v 梁內(nèi)的彎曲變形能梁內(nèi)的彎曲變形能10-1 10-1 彎曲變形的概念彎曲變形的概念工程中的彎曲變形現(xiàn)象工程中的彎曲變形現(xiàn)象N10-2 10-2 梁的撓曲線近似微分方程梁的撓曲線近似微分方程1 1、撓度與轉(zhuǎn)角、撓度與轉(zhuǎn)角 梁軸線上的一點(diǎn)在垂直梁軸線上的一點(diǎn)在垂直梁軸線上的一點(diǎn)在垂直梁軸線上的一點(diǎn)在垂直于梁變形前軸線方向的線位于梁變形前軸線方向的線位于梁變形前軸線方向的線位于梁變形前軸線方向的線位移稱為該點(diǎn)的移稱為該點(diǎn)的移稱為該點(diǎn)的移稱為該點(diǎn)的撓度撓度撓度撓度，用，用w 表表示。示。比如，比如，C 截面的撓度為截面的撓度為 wC 梁任一橫截面繞其中性梁任一橫截面繞其中性梁任一橫截面繞其中性梁任一橫截面繞其中性軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角度稱為該截面的軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角度稱為該截面的軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角度稱為該截面的軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角度稱為該截面的轉(zhuǎn)角。轉(zhuǎn)角。轉(zhuǎn)角。轉(zhuǎn)角。比如，比如，C 截面的轉(zhuǎn)角為截面的轉(zhuǎn)角為 C撓度對(duì)坐標(biāo)的一階撓度對(duì)坐標(biāo)的一階導(dǎo)等于轉(zhuǎn)角導(dǎo)等于轉(zhuǎn)角2 2 2 2、梁的撓曲線微分方程、梁的撓曲線微分方程、梁的撓曲線微分方程、梁的撓曲線微分方程假設(shè)梁的撓曲線微分方程為假設(shè)梁的撓曲線微分方程為第九章推導(dǎo)彎曲正應(yīng)力公式時(shí)已知第九章推導(dǎo)彎曲正應(yīng)力公式時(shí)已知不計(jì)剪力對(duì)變形的影響，上式可以推廣到非純彎曲的情況不計(jì)剪力對(duì)變形的影響，上式可以推廣到非純彎曲的情況依據(jù)高等數(shù)學(xué)，從幾何方面看，平面曲線的曲率可寫成依據(jù)高等數(shù)學(xué)，從幾何方面看，平面曲線的曲率可寫成左式中由于略去剪力的影左式中由于略去剪力的影響，并略去了響，并略去了w的一次導(dǎo)數(shù)的一次導(dǎo)數(shù)值，故值，故稱為稱為撓曲線近似微撓曲線近似微分方程分方程。10-3 10-3 積分法求梁的變形積分法求梁的變形1 1、積分法的步驟、積分法的步驟 積分常數(shù)積分常數(shù)C和和D的值可通過梁支承處已知的變形的值可通過梁支承處已知的變形條件來確定，這個(gè)條件稱為條件來確定，這個(gè)條件稱為邊界條件邊界條件。2 2、舉例、舉例 以以A為原點(diǎn)，取直角坐標(biāo)系，為原點(diǎn)，取直角坐標(biāo)系，x軸向右，軸向右，y軸向上。軸向上。（1）求支座反力求支座反力 列彎矩方程列彎矩方程由平衡方程得：由平衡方程得：列彎矩方程為：列彎矩方程為：（2）列撓曲線近似微分方程）列撓曲線近似微分方程（3）積分積分（4）代入邊界條件，確定積分常數(shù)）代入邊界條件，確定積分常數(shù)在在x=0處：處：將邊界條件代入將邊界條件代入(c)、(d)得：得：將常數(shù)將常數(shù) C 和和 D 代入代入(c)、(d)得：得：（6）求最大轉(zhuǎn)角和最大撓度）求最大轉(zhuǎn)角和最大撓度（5）確定轉(zhuǎn)角方程和撓度方程確定轉(zhuǎn)角方程和撓度方程說說明明：轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)角角為為正正，說說明明橫橫截截面面繞繞中中性性軸軸順順時(shí)時(shí)針針轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)；撓撓度度為為正正，說明說明B點(diǎn)位移向下。點(diǎn)位移向下。例例例例10-2 10-2 一簡(jiǎn)支梁如圖一簡(jiǎn)支梁如圖一簡(jiǎn)支梁如圖一簡(jiǎn)支梁如圖6-96-9所示所示所示所示,在全梁上受集度為在全梁上受集度為在全梁上受集度為在全梁上受集度為 q q 的均布載荷的均布載荷的均布載荷的均布載荷作用作用作用作用.試求此梁的轉(zhuǎn)角方程和撓度方程試求此梁的轉(zhuǎn)角方程和撓度方程試求此梁的轉(zhuǎn)角方程和撓度方程試求此梁的轉(zhuǎn)角方程和撓度方程,并確定最大轉(zhuǎn)角并確定最大轉(zhuǎn)角并確定最大轉(zhuǎn)角并確定最大轉(zhuǎn)角|maxmax 和和和和最大撓度最大撓度最大撓度最大撓度|y y|maxmax由對(duì)稱關(guān)系得梁的兩個(gè)支座反力為由對(duì)稱關(guān)系得梁的兩個(gè)支座反力為以以A點(diǎn)為原點(diǎn)，取坐標(biāo)如圖，點(diǎn)為原點(diǎn)，取坐標(biāo)如圖，列出梁的彎矩方程為：列出梁的彎矩方程為：（2）列撓曲線近似微分方程列撓曲線近似微分方程列撓曲線近似微分方程列撓曲線近似微分方程 并進(jìn)行積分并進(jìn)行積分并進(jìn)行積分并進(jìn)行積分(1)(1)求支座反力，列彎矩方程求支座反力，列彎矩方程求支座反力，列彎矩方程求支座反力，列彎矩方程簡(jiǎn)支梁的邊界條件是：簡(jiǎn)支梁的邊界條件是：在兩支座處的撓度等于零在兩支座處的撓度等于零 在在x=0 處，處，wA=0；在在x=l 處，處，wB=0（3）確定積分常數(shù)確定積分常數(shù)確定積分常數(shù)確定積分常數(shù)邊界條件代入（邊界條件代入（d），解得），解得將積分常數(shù)將積分常數(shù)C，D代入式代入式（c）和（）和（d）得）得（4 4）確定轉(zhuǎn)角方程和撓度方程）確定轉(zhuǎn)角方程和撓度方程）確定轉(zhuǎn)角方程和撓度方程）確定轉(zhuǎn)角方程和撓度方程由對(duì)稱性可知，最大撓度在梁的中點(diǎn)處，將由對(duì)稱性可知，最大撓度在梁的中點(diǎn)處，將x=l/2代入（代入（f），得：），得：（5）求最大轉(zhuǎn)角和最大撓度）求最大轉(zhuǎn)角和最大撓度又由圖又由圖6-9可見，在兩支座處橫截面的轉(zhuǎn)角相等，均為最大。可見，在兩支座處橫截面的轉(zhuǎn)角相等，均為最大。由式（由式（e）3、分段積分問題、分段積分問題 當(dāng)當(dāng)梁梁上上的的外外力力將將梁梁分分為為數(shù)數(shù)段段時(shí)時(shí)，由由于于各各段段梁梁的的彎彎矩矩方方程程不不同同，因因而而梁梁的的撓撓曲曲線線近近似似微微分分方方程程需需分分段段列列出出。相相應(yīng)應(yīng)地地各各段段梁梁的的轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)角角方方程程和和撓撓曲線方程也隨之而異。曲線方程也隨之而異。兩個(gè)邊界條件：兩個(gè)邊界條件：連續(xù)條件：連續(xù)條件：AC段：段：積分常數(shù)：積分常數(shù)：C、DCB段：段：積分常數(shù)：積分常數(shù)：C、D D點(diǎn)的變形連續(xù)條件點(diǎn)的變形連續(xù)條件邊界條件邊界條件積分常數(shù)得以確定積分常數(shù)得以確定梁的最大撓度與位置梁的最大撓度與位置梁的最大撓度應(yīng)位于梁的最大撓度應(yīng)位于w=0處。處。當(dāng)當(dāng)b無限小時(shí)，無限小時(shí)，跨中跨中C點(diǎn)的撓度點(diǎn)的撓度10-4 10-4 疊加法求梁的變形疊加法求梁的變形 當(dāng)梁上同時(shí)作用幾個(gè)載荷時(shí)當(dāng)梁上同時(shí)作用幾個(gè)載荷時(shí)，梁的總變形為各個(gè)載荷單獨(dú)作用下梁的總變形為各個(gè)載荷單獨(dú)作用下梁的變形的代數(shù)和。梁的變形的代數(shù)和。疊加原理、疊加法疊加原理、疊加法前提是小變形、線彈性前提是小變形、線彈性由疊加法得：由疊加法得：直接查表直接查表10-5 10-5 梁的剛度校核梁的剛度校核彎曲構(gòu)件的剛度條件彎曲構(gòu)件的剛度條件:將吊車梁簡(jiǎn)化為如圖例將吊車梁簡(jiǎn)化為如圖例 6-12b所示的簡(jiǎn)支梁。所示的簡(jiǎn)支梁。計(jì)算梁撓度的有關(guān)數(shù)據(jù)為：計(jì)算梁撓度的有關(guān)數(shù)據(jù)為：P=50+5=55 kN（1）計(jì)算變形計(jì)算變形 由型鋼表查得由型鋼表查得 因因P和和q而引起的最大撓度均位而引起的最大撓度均位于梁的中點(diǎn)于梁的中點(diǎn)C，由表，由表6-1查得：查得：由疊加法，得梁的最大撓度為：由疊加法，得梁的最大撓度為：（2）校核剛度）校核剛度將梁的最大撓度與其比較知：將梁的最大撓度與其比較知：故剛度符合要求。故剛度符合要求。吊車梁的許用撓度為：吊車梁的許用撓度為：將主軸簡(jiǎn)化為如圖例將主軸簡(jiǎn)化為如圖例6-13b所示的外所示的外伸梁，伸梁，主軸橫截面的慣性矩為主軸橫截面的慣性矩為材料的彈性模量：材料的彈性模量：（1）計(jì)算變形）計(jì)算變形由表由表6-1查出，因查出，因P1在在C處引起的撓處引起的撓度和在度和在B引起的轉(zhuǎn)角（圖引起的轉(zhuǎn)角（圖c）為：）為：由表由表6-1查得，因查得，因P2在在C處引起的撓處引起的撓度和在度和在B處引起的轉(zhuǎn)角（處引起的轉(zhuǎn)角（d）為：）為：主軸的許用撓度和許用轉(zhuǎn)角為：主軸的許用撓度和許用轉(zhuǎn)角為：故主軸滿足剛度條件故主軸滿足剛度條件（2）校核剛度）校核剛度 10-6 梁內(nèi)的彎曲變形能梁內(nèi)的彎曲變形能小變形，線彈性小變形，線彈性外力偶作用下梁橫截面外力偶作用下梁橫截面轉(zhuǎn)過的角度轉(zhuǎn)過的角度外力偶的功外力偶的功梁在純彎曲時(shí)，外力偶做功轉(zhuǎn)化為梁彎曲的應(yīng)變能。梁在純彎曲時(shí)，外力偶做功轉(zhuǎn)化為梁彎曲的應(yīng)變能。由由W W=V Ve e，并代入，并代入有有橫力彎曲時(shí)，對(duì)于橫力彎曲時(shí)，對(duì)于dx微段，忽略彎曲增量應(yīng)變能有微段，忽略彎曲增量應(yīng)變能有全梁彎曲應(yīng)變能可積分得到全梁彎曲應(yīng)變能可積分得到全梁彎曲應(yīng)變能由梁的撓曲線表示可寫為全梁彎曲應(yīng)變能由梁的撓曲線表示可寫為例題例題 彎曲剛度為彎曲剛度為EI的懸臂梁受一集中的懸臂梁受一集中荷載荷載F作用，如圖所示，是求梁內(nèi)積蓄作用，如圖所示，是求梁內(nèi)積蓄的彎曲應(yīng)變能，并利用功能原理求的彎曲應(yīng)變能，并利用功能原理求A端的撓度端的撓度wA解：梁的彎曲方程解：梁的彎曲方程梁內(nèi)的應(yīng)變能梁內(nèi)的應(yīng)變能荷載做的功荷載做的功由功能原理由功能原理A端的撓度端的撓度wA作業(yè)作業(yè)用疊加法計(jì)算A截面的撓度和轉(zhuǎn)角，已知E、I用疊加法計(jì)算B、D截面的撓度和轉(zhuǎn)角，已知E=210GPa，I=1660cm4