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1、題型練9 大題綜合練(一)
1.(2019天津,文16)在△ABC中,內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知b+c=2a,3csin B=4asin C.
(1)求cos B的值;
(2)求sin(2B+π6)的值.
2.某公司計劃購買1臺機器,該種機器使用三年后即被淘汰.機器有一易損零件,在購進機器時,可以額外購買這種零件作為備件,每個200元.在機器使用期間,如果備件不足再購買,則每個500元.現需決策在購買機器時應同時購買幾個易損零件,為此搜集并整理了100臺這種機器在三年使用期內更換的易損零件數,得下面柱狀圖:
記x表示1臺機器在三年使用期內需更換的易損
2、零件數,y表示1臺機器在購買易損零件上所需的費用(單位:元),n表示購機的同時購買的易損零件數.
(1)若n=19,求y與x的函數解析式;
(2)若要求“需更換的易損零件數不大于n”的頻率不小于0.5,求n的最小值;
(3)假設這100臺機器在購機的同時每臺都購買19個易損零件,或每臺都購買20個易損零件,分別計算這100臺機器在購買易損零件上所需費用的平均數,以此作為決策依據,購買1臺機器的同時應購買19個還是20個易損零件?
3.如圖,在三棱錐P-ABC中,平面PAC⊥平面ABC,∠ABC=π2,點D,E在線段AC上,且AD=DE=EC=2, PD=PC=4
3、,點F在線段AB上,且EF∥BC.
(1)證明:AB⊥平面PFE;
(2)若四棱錐P-DFBC的體積為7,求線段BC的長.
4.如圖,在平面直角坐標系xOy中,已知直線l:x-y-2=0,拋物線C:y2=2px(p>0).
(1)若直線l過拋物線C的焦點,求拋物線C的方程;
(2)已知拋物線C上存在關于直線l對稱的相異兩點P和Q.
①求證:線段PQ的中點坐標為(2-p,-p);
②求p的取值范圍.
5.已知曲線f(x)=lnx+kex在點(1,f(1))處的切線與y軸垂直,F(x)=xexf'
4、(x).
(1)求k的值和F(x)的單調區(qū)間;
(2)已知函數g(x)=-x2+2ax(a為正實數),若對于任意x2∈[0,1],總存在x1∈(0,+∞)使得g(x2)
5、s2B=154,從而sin2B=2sinBcosB=-158,cos2B=cos2B-sin2B=-78,故sin2B+π6=sin2Bcosπ6+cos2Bsinπ6=-158×32?78×12=-35+716.
2.解(1)當x≤19時,y=3800;
當x>19時,y=3800+500(x-19)=500x-5700.
所以y與x的函數解析式為
y=3800,x≤19,500x-5700,x>19,(x∈N).
(2)由柱狀圖知,需更換的零件數不大于18的頻率為0.46,不大于19的頻率為0.7,故n的最小值為19.
(3)若每臺機器在購機同時都購買19個易損零件,則這100
6、臺機器中有70臺在購買易損零件上的費用為3800,20臺的費用為4300,10臺的費用為4800,因此這100臺機器在購買易損零件上所需費用的平均數為
1100(3800×70+4300×20+4800×10)=4000.
若每臺機器在購機同時都購買20個易損零件,則這100臺機器中有90臺在購買易損零件上的費用為4000,10臺的費用為4500,因此這100臺機器在購買易損零件上所需費用的平均數為1100(4000×90+4500×10)=4050.
比較兩個平均數可知,購買1臺機器的同時應購買19個易損零件.
3.(1)證明由DE=EC,PD=PC知,E為等腰△PDC中DC邊的中點
7、,故PE⊥AC.
又平面PAC⊥平面ABC,平面PAC∩平面ABC=AC,PE?平面PAC,PE⊥AC,所以PE⊥平面ABC,從而PE⊥AB.
因∠ABC=π2,EF∥BC,故AB⊥EF.
從而AB與平面PFE內兩條相交直線PE,EF都垂直,所以AB⊥平面PFE.
(2)解設BC=x,則在Rt△ABC中,
AB=AC2-BC2=36-x2,
從而S△ABC=12AB·BC=12x36-x2.
由EF∥BC知,AFAB=AEAC=23,得△AFE∽△ABC,故S△AFES△ABC=232=49,即S△AFE=49S△ABC.
由AD=12AE,S△AFD=12S△AFE=12·4
8、9S△ABC=29S△ABC=19x36-x2,從而四邊形DFBC的面積為S四邊形DFBC=S△ABC-S△AFD=12x36-x2?19x36-x2=718x36-x2.
由(1)知,PE⊥平面ABC,所以PE為四棱錐P-DFBC的高.在直角△PEC中,PE=PC2-EC2=42-22=23.體積VP-DFBC=13·S四邊形DFBC·PE=13·718x36-x2·23=7,
故得x4-36x2+243=0,解得x2=9或x2=27,由于x>0,可得x=3或x=33.
所以,BC=3或BC=33.
4.解(1)拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為p2,0,
由點p2,0在直線
9、l:x-y-2=0上,
得p2-0-2=0,即p=4.
所以拋物線C的方程為y2=8x.
(2)設P(x1,y1),Q(x2,y2),線段PQ的中點M(x0,y0).
因為點P和Q關于直線l對稱,所以直線l垂直平分線段PQ,
于是直線PQ的斜率為-1,則可設其方程為y=-x+b.
①證明:由y2=2px,y=-x+b消去x得y2+2py-2pb=0.(*)
因為P和Q是拋物線C上的相異兩點,所以y1≠y2,
從而Δ=(2p)2-4×(-2pb)>0,化簡得p+2b>0.
方程(*)的兩根為y1,2=-p±p2+2pb,
從而y0=y1+y22=-p.
因為M(x0,y0)
10、在直線l上,所以x0=2-p.
因此,線段PQ的中點坐標為(2-p,-p).
②因為M(2-p,-p)在直線y=-x+b上,
所以-p=-(2-p)+b,即b=2-2p.
由①知p+2b>0,于是p+2(2-2p)>0,
所以p<43.因此,p的取值范圍是0,43.
5.解(1)f'(x)=1x-lnx-kex,f'(1)=1-ke=0,∴k=1.
∴F(x)=xexf'(x)=1-xlnx-x,
∴F'(x)=-lnx-2.
由F'(x)=-lnx-2>0?01e2,
∴F(x)的單調增區(qū)間為0,1e2,單調減區(qū)間為1e2,+∞.
(2)∵對于任意x2∈[0,1],總存在x1∈(0,+∞),使得g(x2)1時,g(x)max=g(1)=2a-1,
∴2a-1<1+1e2.
從而1
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