高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第二部分 專題七 選考4系列 專題強化練十八 不等式選講 文-人教版高三數(shù)學(xué)試題

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1、專題強化練十八 不等式選講 1．設(shè)函數(shù)f(x)＝|2x＋3|－|1－2x|，若存在x∈R，使得f(x)＞|3a－1|成立，求實數(shù)a的取值范圍． 解：因為f(x)＝|2x＋3|－|1－2x| ≤|(2x＋3)＋(1－2x)|＝4. 所以f(x)max＝4. 若存在x∈R，使得f(x)＞|3a－1|成立， 所以|3a－1|＜4，解得－1＜a＜， 故實數(shù)a的取值范圍是. 2．已知函數(shù)f(x)＝|2x－1|－|x－a|，a≤0. (1)當a＝0時，求不等式f(x)＜1的解集； (2)若f(x)的圖象與x軸圍成的三角形面積大于，求a的取值范圍． 解：(1)當a＝0時，f(x)＜1化

2、為|2x－1|－|x|－1＜0， 當x≤0時，不等式化為x＞0，無解； 當0＜x≤時，不等式化為x＞0，解得0＜x≤； 當x＞時，不等式化為x＜2，解得＜x＜2； 綜上，f(x)＜1的解集為{x|0＜x＜2}． (2)由題設(shè)可得， f(x)＝ 所以f(x)的圖象與x軸圍成的三角形的三個頂點分別為(1－a，0)，，，該三角形的面積為. 由題設(shè)＞，且a≤0，解得a＜－1. 所以a的取值范圍是(－∞，－1)． 3．設(shè)a，b，c，d均為正數(shù)，且a＋b＝c＋d，證明： (1)若ab＞cd，則＋＞＋； (2)＋＞＋是|a－b|＜|c－d|的充要條件． 證明：(1)因為a，b，c，

3、d為正數(shù)，且a＋b＝c＋d， 欲證＋＞＋，只需證明(＋)2＞(＋)2， 也就是證明a＋b＋2＞c＋d＋2， 只需證明＞，即證ab＞cd. 由于ab＞cd，因此＋＞＋. (2)①若|a－b|＜|c－d|，則(a－b)2＜(c－d)2， 即(a＋b)2－4ab＜(c＋d)2－4cd. 因為a＋b＝c＋d，所以ab＞cd. 由(1)得若ab＞cd，則＋＞＋. ②若＋＞＋，則(＋)2＞(＋)2， 所以a＋b＋2＞c＋d＋2. 因為a＋b＝c＋d，所以ab＞cd. 于是(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＜(c＋d)2－4cd＝(c－d)2. 因此|a－b|＜|c－d|. 綜上

4、，＋＞＋是|a－b|＜|c－d|的充要條件． 4．(2016·全國卷Ⅱ)已知函數(shù)f(x)＝＋，M為不等式f(x)＜2的解集． (1)求M； (2)證明：當a，b∈M時，|a＋b|＜|1＋ab|. (1)解：f(x)＝ 當x≤－時，由f(x)＜2得－2x＜2， 解得x＞－1，所以－1＜x≤－； 當－＜x＜時，f(x)＜2恒成立． 當x≥時，由f(x)＜2得2x＜2， 解得x＜1，所以＜x＜1. 所以f(x)＜2的解集M＝{x|－1＜x＜1}． (2)證明：由(1)知，當a，b∈M時，－1＜a＜1，－1＜b＜1. 從而(a＋b)2－(1＋ab)2＝a2＋b2－a2b2－1＝

5、(a2－1)·(1－b2)＜0， 所以(a＋b)2＜(1＋ab)2，因此|a＋b|＜|1＋ab|. 5．(2018·鄭州質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)＝＋，a為實數(shù)． (1)當a＝1時，求不等式f(x)＞4的解集； (2)求f(a)的最小值． 解：(1)當a＝1時，不等式f(x)＞4，即f(x)＝＞4， ①當x＜－1時，得f(x)＝2＞4，無解； ②當x∈[－1，0)∪(0，1]時，得f(x)＝＞4，解得|x|＜，得－＜x＜0或0＜x＜； ③當x＞1時，得f(x)＝2＞4，無解； 綜上，不等式f(x)＞4的解集為∪. (2)f(a)＝＝， ①當a＜－1或a＞1時，f(a)＝＝2|

6、a|＞2， ②當－1≤a≤1且a≠0時，f(a)＝≥2， 綜上知，f(a)的最小值為2. 6．(2018·衡水中學(xué)檢測)已知函數(shù)f(x)＝|2x－2|＋|x＋3|. (1)求不等式f(x)≥3x＋2的解集； (2)若不等式f(x)＞＋a的解集包含[2，3]，求實數(shù)a的取值范圍． 解：(1)依題意得|2x－2|＋|x＋3|≥3x＋2， 當x＜－3時，原不等式可化為2－2x－x－3≥3x＋2， 解得x≤－，故x＜－3； 當－3≤x≤1時，有2－2x＋x＋3≥3x＋2，解得x≤，故－3≤x≤； 當x＞1時，原不等式可化為2x－2＋x＋3≥3x＋2，無解． 綜上所述，不等式f(x

7、)≥3x＋2的解集為. (2)依題意，|2x－2|＋|x＋3|＞＋a在[2，3]上恒成立， 則3x＋1－＞a在[2，3]上恒成立． 又因為g(x)＝3x＋1－在[2，3]上為增函數(shù)， 所以有3×2＋1－＞a，解得a＜. 故實數(shù)a的取值范圍為. 7．(2018·江南名校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝|x－1|. (1)解不等式f(x)＋f(2x＋5)≥x＋9； (2)若a＞0，b＞0，且＋＝2，證明：f(x＋a)＋f(x－b)≥，并求f(x＋a)＋f(x－b)＝時，a，b的值． (1)解：f(x)＋f(2x＋5)＝|x－1|＋|2x＋4|≥x＋9， 當x≤－2時，不等式為4x≤－1

8、2?x≤－3， 所以x∈(－∞，－3]； 當－2＜x＜1時，不等式為5≥9，不成立； 當x≥1時，不等式為2x≥6?x≥3，所以x∈[3，＋∞)， 綜上所述，不等式的解集為(－∞，－3]∪[3，＋∞)． (2)證明：法一　f(x＋a)＋f(x－b)＝|x＋a－1|＋|x－b－1|≥|x＋a－1－(x－b－1)|＝|a＋b|＝a＋b(a＞0，b＞0)． 又＋＝2， 所以a＋b＝(a＋b)＝＋＋≥＋2＝， 即f(x＋a)＋f(x－b)≥. 當且僅當＝，即b＝2a時“＝”成立； 由得 法二　f(x＋a)＋f(x－b)＝|x＋a－1|＋|x－b－1|， 當x≤1－a時，f(x＋

9、a)＋f(x－b)＝－x－a＋1－x＋b＋1＝－2x＋2－a＋b≥a＋b； 當1－a＜x＜1＋b時，f(x＋a)＋f(x－b)＝x＋a－1－x＋b＋1＝a＋b； 當x≥1＋b時，f(x＋a)＋f(x－b)＝x＋a－1＋x－b－1＝2x－2＋a－b≥a＋b， 所以f(x＋a)＋f(x－b)的最小值為a＋b， (a＋b)＝(a＋b)＝＋＋≥＋2＝. 即f(x＋a)＋f(x－b)≥. 當且僅當＝，即b＝2a時“＝”成立． 由得 8．(2017·全國卷Ⅲ)已知函數(shù)f(x)＝|x＋1|－|x－2|. (1)求不等式f(x)≥1的解集； (2)若不等式f(x)≥x2－x＋m的解集非空，求m的取值范圍． 解：(1)f(x)＝|x＋1|－|x－2|＝ 由f(x)≥1可得， ①當x＜－1時，顯然不滿足題意； ②當－1≤x≤2時，2x－1≥1， 解得x≥1，則1≤x≤2； ③當x＞2時，f(x)＝3≥1恒成立，所以x＞2. 綜上知f(x)≥1的解集為{x|x≥1}． (2)由f(x)≥x2－x＋m，得m≤|x＋1|－|x－2|－x2＋x. 而|x＋1|－|x－2|－x2＋x≤|x|＋1＋|x|－2－x2＋|x|＝－＋≤， 且當x＝時，|x＋1|－|x－2|－x2＋x＝， 故m的取值范圍為.