二次曲線方程化簡(jiǎn)與分類

張 之 正 解 析 幾 何 Mathematical Science College 數(shù) 學(xué) 科 學(xué) 學(xué) 院）（ 2 cosysinxy sinycosxx ）（ 2 cosysinxy sinycosxx）（ 100 yyy xxx1. 平 面 直 角 坐 標(biāo) 變 換 （ 其 中 為 坐 標(biāo) 軸 的 旋 轉(zhuǎn) 角 ）移 軸 公 式 ： 轉(zhuǎn) 軸 公 式 ：或 ）（ 1 00 yyy xxx一 般 坐 標(biāo) 變 換 公 式 ： 00cos sinsin cosx x y xy x y y 逆 變 換 公 式 ： 0 00 0cos sin cos sinsin cos sin cosx x y x yy x y x y 或1） 一 般 坐 標(biāo) 變 換 （ 3） （ 4） 張 之 正 解 析 幾 何 Mathematical Science College 數(shù) 學(xué) 科 學(xué) 學(xué) 院0 2222 zCyBxAl ： 1. 平 面 直 角 坐 標(biāo) 變 換 張 之 正 解 析 幾 何 Mathematical Science College 數(shù) 學(xué) 科 學(xué) 學(xué) 院 2121 111 2222 222 BA zCyBxAy BA zCyBxAx同 理 （ ） 從 而 2 2 22 22 2A x B y Cx A B 1 1 12 21 1A x B y Cy A B x ,M x y O y M2l 因 為 是 點(diǎn) 到 軸 的 距 離 ， 也 就 是 到的 距 離 ， 因 此1. 平 面 直 角 坐 標(biāo) 變 換 張 之 正 解 析 幾 何 Mathematical Science College 數(shù) 學(xué) 科 學(xué) 學(xué) 院 2121 111 2222 222 BA zCyBxAy BA zCyBxAx （ ） 1. 平 面 直 角 坐 標(biāo) 變 換 張 之 正 解 析 幾 何 Mathematical Science College 數(shù) 學(xué) 科 學(xué) 學(xué) 院1 : 2 3 0l x y 2 : 2 2 0l x y 1l O x 2l O y 與 ，為 軸 ， 為 求 坐 標(biāo) 變 換 公 式 取 軸 ，例 1 已 知 兩 垂 直 的 直 線例 題 張 之 正 解 析 幾 何 Mathematical Science College 數(shù) 學(xué) 科 學(xué) 學(xué) 院 2 211 12 22 13 23 33, 2 2 2 0F x y a x a xy a y a x a y a （ 1）1. 移 軸 ： 00 x x xy y y 移 軸 變 換 規(guī) 律 ： 1 0 02 ,F x y 2 0 02 ,F x y2 一 次 項(xiàng) 系 數(shù) 變 為 與 ； 當(dāng) 為 二 次 曲 線 （ 1） 的 中 心 時(shí) ， 有 00 y,x ，0F 001 y,x 0F 00 y,x . 故 當(dāng) 二 次 曲 線 (1)有 中 心 時(shí) ， 作 移 軸 ， 使 原 點(diǎn)與 二 次 曲 線 的 中 心 重 合 ， 則 在 新 坐 標(biāo) 系 下 二 次 曲 線 的 新 方 程中 一 次 項(xiàng) 消 失 .1 二 次 項(xiàng) 系 數(shù) 不 變 ； 2 二 次 曲 線 方 程 的 化 簡(jiǎn) 與 分 類設(shè) 二 次 曲 線 的 方 程 為3 常 數(shù) 項(xiàng) 變 為 0 0,F x y . 張 之 正 解 析 幾 何 Mathematical Science College 數(shù) 學(xué) 科 學(xué) 學(xué) 院2 二 次 曲 線 方 程 的 化 簡(jiǎn) 與 分 類 張 之 正 解 析 幾 何 Mathematical Science College 數(shù) 學(xué) 科 學(xué) 學(xué) 院2 二 次 曲 線 方 程 的 化 簡(jiǎn) 與 分 類 張 之 正 解 析 幾 何 Mathematical Science College 數(shù) 學(xué) 科 學(xué) 學(xué) 院例 2 化 簡(jiǎn) 二 次 曲 線 方 程 2 24 4 12 1 0 x xy y x y 并 畫 出 它 的 圖 形 2 2 2 4 0 x xy y x y 例 3 化 簡(jiǎn) 二 次 曲 線 方 程并 畫 出 它 的 圖 形 張 之 正 解 析 幾 何 Mathematical Science College 數(shù) 學(xué) 科 學(xué) 學(xué) 院意 義 ， 就 是 把 坐 標(biāo) 軸 旋 轉(zhuǎn) 到 與 二 次 曲 線 的 主 方 向 平 行 的 位 置 ， 這 是 因 為 如 果 二 次 曲 線 的 特 征 根 確 定 的 主 方 向 為 2 二 次 曲 線 方 程 的 化 簡(jiǎn) 與 分 類利 用 轉(zhuǎn) 軸 來(lái) 消 去 二 次 曲 線 方 程 的 項(xiàng) ， 有 一 個(gè) 幾 何 ， 那 么 12 1122 12tan a aYX a a 2122 22 11 2212 122211 tancot 2 22tan 2a a a aa aa ， 張 之 正 解 析 幾 何 Mathematical Science College 數(shù) 學(xué) 科 學(xué) 學(xué) 院因 此 ， 通 過(guò) 轉(zhuǎn) 軸 與 移 軸 來(lái) 化 簡(jiǎn) 二 次 曲 線 方 程 的 方 法 ，實(shí) 際 上 是 把 坐 標(biāo) 軸 變 換 到 與 二 次 曲 線 的 主 直 徑 （ 即 對(duì) 稱 軸 ）重 合 的 位 置 如 果 是 中 心 曲 線 ， 坐 標(biāo) 原 點(diǎn) 與 曲 線 的 中 心 重 合 ；如 果 是 無(wú) 心 曲 線 ， 坐 標(biāo) 原 點(diǎn) 與 曲 線 的 頂 點(diǎn) 重 合 ；如 果 是 線 心 曲 線 ， 坐 標(biāo) 原 點(diǎn) 可 以 與 曲 線 的 任 何 一 個(gè) 中心 重 合 因 此 ， 二 次 曲 線 方 程 的 化 簡(jiǎn) ， 只 要 先 求 出 曲 線 （ 1）的 主 直 徑 ， 然 后 以 它 作 新 坐 標(biāo) 軸 ， 作 坐 標(biāo) 變 換 即 可 2 二 次 曲 線 方 程 的 化 簡(jiǎn) 與 分 類 張 之 正 解 析 幾 何 Mathematical Science College 數(shù) 學(xué) 科 學(xué) 學(xué) 院2.二 次 曲 線 方 程 的 化 簡(jiǎn) 和 分 類 定 理 1 適 當(dāng) 選 取 坐 標(biāo) 系 ， 二 次 曲 線 的 方 程 總 可以 化 成 下 列 三 個(gè) 簡(jiǎn) 化 方 程 中 的 一 個(gè) ：.0,0)( ;0,02)( ;0,0)( 2233222 132213222 221133222211 aayaIII aaxayaII aaayaxaI 定 理 2 通 過(guò) 適 當(dāng) 選 取 坐 標(biāo) 系 ， 二 次 曲 線 的 方程 總 可 以 寫 成 下 面 九 種 標(biāo) 準(zhǔn) 方 程 的 一 種 形 式 ：)(11 2222 橢 圓 byax 張 之 正 解 析 幾 何 Mathematical Science College 數(shù) 學(xué) 科 學(xué) 學(xué) 院)(13 2222 雙 曲 線 byax )(04 2222 虛 直 線點(diǎn) 或 相 交 于 實(shí) 點(diǎn) 的 共 軛 byax )(05 2222 兩 相 交 直 線 byax )(26 2 拋 物 線pxy )(7 22 兩 平 行 直 線ay )(8 22 兩 平 行 共 軛 虛 直 線ay )(09 2 兩 重 合 直 線y )(12 2222 虛 橢 圓 byax2 二 次 曲 線 方 程 的 化 簡(jiǎn) 與 分 類