《彎曲變形》課件

1 第 八 章 彎 曲 變 形 Bending deformation 贈(zèng) 言 ： 大 過(guò) ， 棟 橈 ， 利 有 攸 往 ， 亨 。 周 易 上 經(jīng) 大 過(guò) 注 釋 ： 大 過(guò) ， 卦 名 ； 非 常 過(guò) 度 的 意 思 棟 ， 即 梁 橈 （ rao） ， 撓 （ nao） 曲 的 樹 木 稱 為 橈 攸 ， 即 所 ； 利 有 攸 往 ， 意 思 有 利 于 所 往 的 方 向 亨 ， 亨 通 理 解 ： 事 物 發(fā) 展 得 非 常 過(guò) 度 ， 好 象 棟 梁 撓 曲 ， 有 利 于 所往 方 向 的 繼 續(xù) 發(fā) 展 ， 達(dá) 到 亨 通 。 2 以 上 理 解 有 2個(gè) 關(guān) 鍵 ： 1、 橫 看 卦 象 ； 2、 陰 爻 看 成 支 座 。 “ 小 過(guò) ” 卦 可 以 佐 證 小 過(guò) ， 亨 ， 利 貞 ， 可 小 事 ， 不 可 大 事 ， 3 彎 曲 問(wèn) 題 的 分 析 過(guò) 程 ：彎 曲 內(nèi) 力 彎 曲 應(yīng) 力 解 決 剛 度 問(wèn) 題盡 量 從 理 論 上 分 析 一 般 然 后 實(shí) 驗(yàn) 上 驗(yàn) 證 個(gè) 別 4 拉 壓 伸 長(zhǎng) 量扭 轉(zhuǎn) 轉(zhuǎn) 角彎 曲 撓 度 deflection轉(zhuǎn) 角 rotation工 程 上 的 梁 變 形 問(wèn) 題 不 容 忽 視影 響 使 用引 發(fā) 破 壞產(chǎn) 生 不 安 全 感 減 少 沖 擊 、 振 動(dòng)利 用 變 形 作 為 開 關(guān) 提 高 性 能 5 本 章 的 任 務(wù)1. 建 立 小 變 形 撓 度 、 轉(zhuǎn) 角 曲 線 微 分 方 程2. 用 積 分 法 和 疊 加 法 求 梁 的 撓 度 和 轉(zhuǎn) 角研 究 范 圍 ： 等 直 梁 在 彎 曲 時(shí) （ 線 、 角 ） 位 移 的 計(jì) 算研 究 目 的 ： 對(duì) 梁 作 剛 度 校 核 解 超 靜 定 梁 6 8.1 梁 變 形 的 基 本 概 念Basic concepts of beam deformation 變 形 后 梁 軸 線 撓 曲 線 撓 度 ： y 變 形 后 梁 截 面 ： 仍 為 平 面 梁 截 面 轉(zhuǎn) 角 ： P xyC C1f 變 形 前 梁 截 面 ： 平 面 7 1.撓 度 ： 橫 截 面 形 心 沿 垂 直 于 軸 線 方 向 的 線 位 移 用 y 表 示 ， 與 坐 標(biāo) f 同 向 為 正 ， 反 之 為 負(fù) 2.轉(zhuǎn) 角 ： 橫 截 面 繞 其 中 性 軸 轉(zhuǎn) 動(dòng) 的 角 度 ， 用 表 示 順 時(shí) 針 轉(zhuǎn) 動(dòng) 為 正 ， 反 之 為 負(fù) 3.撓 曲 線 ： 梁 變 形 后 ， 軸 線 變 成 的 光 滑 曲 線 其 方 程 為 y = f (x) 85. 剛 度 校 核 m ax yy m ax 許 用 撓 度 見(jiàn) P220表 8.14. 轉(zhuǎn) 角 與 撓 曲 線 的 關(guān) 系 ： d dtg yx f y小 變 形 xPyC C1f 9 zEIxM )(1 已 知 曲 率 為 zzEI xMxf )()( )( )1( )(1 232 xff xf 小 變 形f xM0 0)( xff xM0 0)( xf 彎 矩 與 2階 導(dǎo) 數(shù) 的 符 號(hào) 相 反上 式 取 負(fù) 號(hào)8.2 梁 撓 曲 的 近 似 微 分 方 程Differential Equation of beam deformation 10 撓 曲 線 近 似 微 分 方 程 )()( xMxfEI 對(duì) 于 等 截 面 直 梁 ， 可 寫 成 如 下 形 式 ：EIxMxf )()( 11 )()( xMxfEI 1d)()( CxxMxfEI 21d)d)()( CxCxxxMxEIf 1.微 分 方 程 的 積 分 )(,)( xfyxf8.3 積 分 法 求 梁 變 形利 用 位 移 邊 界 條 件 確 定 積 分 常 數(shù) 12 支 點(diǎn) 位 移 條 件連 續(xù) 條 件光 滑 條 件 CC ff CC 右左或 寫 成 CC 右左或 寫 成 CC ff 0Df 0D固 定 支 座 PD 0Af 0Bf2.位 移 邊 界 條 件 鉸 支 座 PA BC 13 積 分 法 求 梁 變 形 適 用 于 小 變 形 、 線 彈 性 材 料 、 細(xì) 長(zhǎng) 構(gòu) 件 的 平 面 彎 曲 可 應(yīng) 用 于 各 種 載 荷 的 等 截 面 或 變 截 面 梁 的 位 移 積 分 常 數(shù) 由 撓 曲 線 變 形 的 幾 何 相 容 條 件 （ 邊 界 條 件 、 連 續(xù) 條 件 ） 確 定 優(yōu) 點(diǎn) 使 用 范 圍 廣 ， 精 確 ； 缺 點(diǎn) 計(jì) 算 較 繁右左 CC ff 右左 CC 鉸 連 接PD C 14 積 分 法 求 梁 變 形 的 基 本 步 驟 ： 寫 出 彎 矩 方 程 ； 若 彎 矩 不 能 用 一 個(gè) 函 數(shù) 給 出 要 分 段 寫 出 由 撓 曲 線 近 似 微 分 方 程 ， 積 分 出 轉(zhuǎn) 角 、 撓 度 函 數(shù) 利 用 邊 界 條 件 、 連 續(xù) 條 件 確 定 積 分 常 數(shù) 如 果 分 n 段 寫 出 彎 矩 方 程 ， 則 有 2 n 個(gè) 積 分 常 數(shù))()( xMxfEI 15 例 求 等 截 面 直 梁 的 彈 性 曲 線 、 最 大 撓 度 及 最 大 轉(zhuǎn) 角建 立 坐 標(biāo) 系 并 寫 出 彎 矩 方 程)()( LxPxM 寫 出 微 分 方 程 ， 并 積 分用 邊 界 條 件 求 積 分 常 數(shù) )()( xLPxMfEI 12)(21 CxLPfEI 213)(61 CxCxLPEIf 061)0( 23 CPLEIf 021)0()0( 12 CPLfEIEI 3221 61 ; 21 PLCPLC 解 ： a PL xf 16 寫 出 彈 性 曲 線 方 程 并 畫 出 曲 線 323 3)(6)( LxLxLEIPxf EIPLLff 3)( 3m ax EIPLL 2)( 2m ax 最 大 撓 度 及 最 大 轉(zhuǎn) 角 a PL xf 17 解 ： 建 坐 標(biāo) 系 、 寫 彎 矩 方 程 )( 0 )0( )()( Lxa axaxPxM寫 出 微 分 方 程 ， 并 積 分 1 12)(21D CxaPfEI 21 213)(61 DxD CxCxaPEIf )( 0 )0( )( Lxa axxaPfEI 例 . 求 梁 的 變 形a PL xf 18 應(yīng) 用 位 移 邊 界 條 件 和 連 續(xù) 條 件 求 積 分 常 數(shù)061)0( 23 CPaEIf 021)0( 12 CPaEI 322211 61 ; 21 PaDCPaDC )()( afaf )()( aa 11 DC 2121 DaDCaC a PL xf 19 寫 出 彈 性 曲 線 方 程 并 畫 出 曲 線 )(a 36 )0( 3)(6)( 32 323 Lx axaEIP ax axaxaEIPxf aL EIPaLff 36)( 2m ax EIPaa 2)( 2m ax 最 大 撓 度 及 最 大 轉(zhuǎn) 角 a PL xf 總 結(jié) ： 分 段 求 彎 矩 ， 分 段 積 分利 用 邊 界 條 件 、 連 續(xù) 條 件 求 常 數(shù) 20 邊 界 條 件 、 連 續(xù) 條 件 應(yīng) 用 舉 例 a2m aq=10kN/mA DB Ea P 20kN A DB E10kNm 20kNm (-) (+)彎 矩 圖 三 段 ， 共 6個(gè) 積 分 常 數(shù)需 6個(gè) 邊 界 條 件 和 連 續(xù) 條 件 BBBfB ,0 點(diǎn) ： DDDD ffD , 點(diǎn) ： BBEfE ,0 點(diǎn) ： 21右左點(diǎn) ： BB ffB 右左右左點(diǎn) ： CCCC ffC 邊 界 條 件 、 連 續(xù) 條 件 應(yīng) 用 舉 例A B C D彎 矩 圖 分 三 段 ， 共 6個(gè) 積 分 常 數(shù) 需 6個(gè) 邊 界 條 件 和 連 續(xù) 條 件 0,0 AAfA 點(diǎn) ： 0 DfD點(diǎn) ： 鉸 連 接 PA C D 220 AA 點(diǎn) ： Pa(+) 彎 矩 圖 分 二 段 ， 共 4個(gè) 積 分 常 數(shù)需 4個(gè) 邊 界 條 件 和 連 續(xù) 條 件 PA B C 0 CfC點(diǎn) ： 右左右左點(diǎn) ： BBBB ffB , 邊 界 條 件 、 連 續(xù) 條 件 應(yīng) 用 舉 例 23疊 加 原 理 ： 承 受 復(fù) 雜 載 荷 時(shí) ， 可 分 解 成 幾 種簡(jiǎn) 單 載 荷 ， 利 用 簡(jiǎn) 單 載 荷 作 用 下 的 位移 計(jì) 算 結(jié) 果 ， 疊 加 后 得 在 復(fù) 雜 載 荷 作用 下 的 撓 度 和 轉(zhuǎn) 角 條 件 ： 材 料 服 從 胡 克 定 律 和 小 變 形 撓 度 和 轉(zhuǎn) 角 均 與 載 荷 成 線 性 關(guān) 系8.4 疊 加 法 求 梁 變 形 24 例 按 疊 加 原 理 求 A點(diǎn) 轉(zhuǎn) 角 和 C點(diǎn) 撓 度解 ： 載 荷 分 解 如 圖查 梁 的 簡(jiǎn) 單 載 荷 變 形 表 ， 得 到 變 形 EIPaf PC 6 3EIPaPA 4 2 EIqLf qC 245 4EIqaqA 3 3 A qP BCa a=+ PA BqA B 25 EIPaf PC 6 3EIPaPA 4 2 EIqLf qC 245 4EIqaqA 3 3疊 加 qAPAA )43(12 2 qaPEIa EIPaEIqaf C 6245 34 A qP BCa a=+ PA BqA B 26 結(jié) 構(gòu) 形 式 疊 加 （ 逐 段 剛 化 法 ) 原 理 說(shuō) 明+ 等 價(jià)等 價(jià) BC PL2 f1xf 21 fff =A xPL1 L2 BCf f PA BC剛 化AC段 PL 1 L2A BC 剛 化 BC段 PL1 L2 f2A BC M xf 27 例 題 ： 已 知 P,E,G， 求 C點(diǎn) 鉛 垂 位 移 PA B C尺 寸 ： l, d 尺 寸 ： a, b, h分 析 ： AB 彎 曲 + 扭 轉(zhuǎn) 變 形 ， BC 彎 曲 變 形 故 C點(diǎn) 的 撓 度 由 三 部 分 組 成 AB彎 曲 引 起 的 B點(diǎn) 下 沉 AB扭 轉(zhuǎn) 引 起 C點(diǎn) 位 移 BC彎 曲 引 起 C點(diǎn) 下 沉 28 解 ： 采 用 逐 段 剛 化 法(1)將 AB剛 化 ,計(jì) 算 BC彎 曲 變 形 引 起 的 C點(diǎn) 的 撓 度 . PB(固 定 端 ) C尺 寸 ： a, b, h3)( 121 bhI BCz )(4 3 333)1( EbhPaEIPaf BCC 29 (2) 將 BC剛 化 , 即 去 掉 BC， 但 保 留 BC對(duì) AB的 作 用 力 ， 計(jì) 算 AB彎 曲 引 起 的 C點(diǎn) 的 撓 度 PA B尺 寸 ： l, d T4)( 641 dI AB z )(3643 433)2( dEPlEIPlff ABBC 30 (3) 將 BC剛 化 計(jì) 算 AB扭 轉(zhuǎn) 變 形 引 起 的 C點(diǎn) 的 撓 度計(jì) 算 B截 面 扭 轉(zhuǎn) 角 432 dG PalGIPalGITl ppB )(32 42)3( dG lPaaf BC B CB )3(Cf所 以 ， C點(diǎn) 位 移 為 ： )3()2()1( CCCC ffff PA B尺 寸 ： l, d T 31 8.5 提 高 彎 曲 剛 度 的 一 些 措 施1、 減 小 梁 的 跨 度2、 選 擇 合 理 截 面 形 狀3、 改 善 梁 的 受 力 和 支 座 位 置4、 預(yù) 加 反 彎 度5、 增 加 支 座 32L q0MA BA q0L R BA BxEI q0LA Bf 或8.6 用 變 形 比 較 法 解 簡(jiǎn) 單 超 靜 定 梁處 理 方 法 ： 3種 方 程 （ 變 形 協(xié) 調(diào) 、 物 理 、 平 衡 ） 相 結(jié) 合 ， 求 全 部 未 知 力解 ： 建 立 靜 定 基 確 定 超 靜 定 次 數(shù) 用 反 力 代 替 多 余 約 束 得 新 結(jié) 構(gòu) 靜 定 基 等 價(jià) 33 幾 何 方 程 變 形 協(xié) 調(diào) 方 程0 BBRBqB fffq0L RBA B=+ RBA Bq 0A B 物 理 方 程補(bǔ) 充 方 程 EILRfEIqLf BBRBq B 3;8 34 038 34 EILREIqL B 83qLRB求 解 其 它 問(wèn) 題 （ 反 力 、 應(yīng) 力 、 變 形 等 ） 34 幾 何 方 程 變 形 協(xié) 調(diào) 方 程解 ： 建 立 靜 定 基 BCBRBqB Lfff B 例 10 求 B點(diǎn) 反 力= LBCEA xf q0 L RBA BCq0L RBA BEI = R BA B + q0A B 35+ 物 理 方 程 變 形 與 力 的 關(guān) 系補(bǔ) 充 方 程 EILRfEIqLf BBRBq B 3 ; 8 34 EALREILREIqL BCBB 3 8 34 )3(8 34 EILALI qLR BCB EALRL BCBBC LBCEA xf q0 L RBA BC= R BA Bq0A B 求 解 其 它 問(wèn) 題（ 反 力 、 應(yīng) 力 、 變 形 等 ） 36 本 章 小 結(jié) ：1、 微 分 方 程 的 導(dǎo) 出2、 微 分 方 程 的 解 法 積 分 法 求 變 形3、 疊 加 法 求 變 形4、 變 形 比 較 法 超 靜 定 梁EIxMxf )()( )(,)( xfyxf 習(xí) 題 ： 8.6, 8.7, 8.22, 8.29