【人教A版】必修2《2.3.3直線與平面垂直的性質(zhì)》課后導(dǎo)練含解析

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1、 【人教 A 版】必修 2《2 基礎(chǔ)達(dá)標(biāo) 1 若 a、b 表示直線，α 表示平面，下列命題中正確的個數(shù)為（ ） ① a⊥α ,b∥α a⊥b ②a⊥α ,a⊥b b∥α ③a∥α ,a⊥b b⊥α ④ a⊥α ,b⊥α a∥b A.1  B.2  C.3  D.4 解析：①正確，過 b 作平面 β∩α =b′，∵ b∥α ,∴b∥b′. 又∵ a⊥α ,b′ α,∴a⊥ b′,∴a⊥b;②錯，b 有可能在 α 內(nèi)；③b  與 α 關(guān)系有四

2、種， b α ,b∥α ,b⊥α 或 b 與 α 斜交；④正確 . 答案： B 2 下列講法中正確的是（ ） ①過平面外一點(diǎn)有且只有一條直線和已知平面垂直②過直線外一點(diǎn)有且只有一個平面和已知直線垂直③過平面外一點(diǎn)可作許多條直線與已知平面平行④過直線外一點(diǎn)只可作一條直線與已知直線垂直 A. ①②③  B.①②③④ C.②③  D.②③④ 解析：由線面垂直的性質(zhì)及線面平行的性質(zhì)知①②③正確；④錯，過 直線外一點(diǎn)作平面與直線垂直，則平面內(nèi)的所有直線都與該直線垂直 . 答案： A 3 設(shè)  a、

3、b  是異面直線，下列命題中正確的是（  ） A. 過不在 a、b 上的一點(diǎn) P 一定可作一條直線和 a、b 都相交 B.過不在 a、b 上的一點(diǎn) P 一定可作一個平面和 a、b 都垂直 C.過 a 一定可作一個平面與 b 垂直 D.過 a 一定可作一個平面與 b 平行 解析： A 項錯，當(dāng)點(diǎn) P 在過 a 與 b 平行的平面內(nèi)時不能作； B 項錯，若 a⊥α ,b⊥α ,則 a∥b 與 a、b 異面矛盾； C 項錯，若有平面 α，使得 a α, b⊥α ,則 a⊥b，但條件中的 a，b 不一定是垂直的； D 項正確，過 a 上取一點(diǎn)

4、A，作 b′∥ b,則 a 與 b′確定的平面與 b 平行 . 答案： D 4 如 ，BC 是 Rt△ABC 的斜 ， P， PB、PC， A 作 AD ⊥ BC 于點(diǎn)  A 作△ ABC 所在平面 α 的垂 A D， PD，那么 中直角三角 形的個數(shù)是（ ） A.4 B.6 C.7 D.8 解析：∵ PA⊥面 ABC ，∴ PA⊥BC，又 AD ⊥BC， ∴ BC⊥面 PAD，∴ BC⊥PD. ∴直角三角形有：△ PAB，△ PAC，△ PAD，△ BAC ，△ ADB ，△ A

5、D C，△ PDB，△ PDC. 答案： D 5 設(shè) m、n 是兩條不同的直 ，α、β、γ 是三個不同的平面， 出下 列四個命 ，其中正確命 的序號是??（ ） ①若 m⊥α ,n∥α， m⊥n ②若 α∥β ,β∥γ ,m⊥α， m⊥γ ③若 m∥α ,n∥α， m∥n ④若 α⊥γ ,β⊥γ， α∥β A. ①② B.②③ C.③④ D.①④ 解析：①正確（前面已 ） ；②正確，∵ m⊥α，又 α∥β ,∴m⊥β . 又 β∥γ ,∴ m⊥γ .③ ， m 與 n 可平行，可相交也可異面；④ ，例如教 室的

6、角 . 答案： A 6 關(guān)于四面體 ABCD, 出下列四個命 : ①若 AB=AC,BD=CD, 則 BC⊥AD; ②若 AB=CD,AC=BD, 則 BC⊥AD; ③若 AB ⊥AC,BD ⊥CD,則 BC⊥AD; ④若 AB ⊥CD,BD ⊥AC,則 BC⊥AD. 其中真命 的序號是 ___________________.寫(出所有真命 的序號 ) 解析：①正確，取 BC 中點(diǎn) O， ∵ AB=AC ，∴ AO ⊥BC， 又∵ BD=DC ，∴ DO⊥BC，∴BC⊥面 AOD ，∴ BC⊥AD.

7、 ④正確，過 A 作 AH ⊥面 BCD， ∴ AH ⊥CD.又∵ CD⊥AB ，∴ CD⊥面 ABH ， ∴ CD⊥BH ，同理可證 CH⊥BD， ∴ H 為△ BCD 的垂心，連 DH，則 DH ⊥BC.又 AH ⊥BC，∴BC⊥面 A DH.∴BC⊥AD. 答案：①④ 7 直線 a 和 b 在正方體 ABCD-A1B1C1D1 的兩個不同平面內(nèi) ,使 a∥b 成立的條件是  ____________.(只填序號即可  ) ①a 和 b 垂直于正方體的同一個面 ②a 和 b 在正方體兩個相對的

8、面內(nèi) 且共面 ③a 和 b 平行于同一條棱 ④a 和 b 在正方體的兩個面內(nèi) ,且與正方  , 體的同一條棱垂直 解析：由線面垂直的性質(zhì)知①正確；由公理 4 知，③正確；由面面平 行的性質(zhì)知②正確；④錯誤 . 答案：①②③ 8m、n 是空間兩條相交直線， l1、l2 是與 m、n 都垂直的兩條直線，直線 l 與 l1、l2 都相交，則直線 l 與 l1、 l2 所成的角的大小關(guān)系是 _________ __________. 解析：設(shè) m、 n 確定平面為 α，由條件知 l1⊥α ,l2⊥α ,∴l(xiāng)1∥l2,由線線成角定義知，

9、 l 與 l1，l2 所成的角相等 . 答案：相等 綜合運(yùn)用 11 與空間四邊形 A.1 個于  ABCD B.5  四個頂點(diǎn)距離相等的平面共有（個 C.6 個  ） D.7  個 解析：每一個頂點(diǎn)到其余三點(diǎn)所確定的平面的垂線段是唯獨(dú)的，過中 點(diǎn)的垂直平面是唯獨(dú)的，那個平面確實(shí)是滿足條件的平面，共有四個 . 每兩條對邊差不多上異面直線，公垂線段是唯獨(dú)的，過公垂線段的中 點(diǎn)的垂面也是唯獨(dú)的，那個平面確實(shí)是滿足條件的平面，共有三個，因此 與空間四邊形 ABC

10、D 四個頂點(diǎn)相等的平面共有七個 . 答案： D 10 五個正方體圖形中， l 是正方體的一條對角線，點(diǎn) M 、N、P 分不為其所在棱的中點(diǎn)，能得出 l ⊥面 MNP 的圖形序號 ___________. 解析：①④易判定，⑤中△ PMN 是正三角形且 AM=AP=AN ，因此，三棱錐 A-PMN 是正三棱錐，因此圖⑤中 l⊥平面 MNP，由此法，還可否定 ③ . ∵AM ≠AP≠AN, 也易否定②，∴應(yīng)填①④⑤ . 答案：①④⑤ 11 如圖 ,已知正方形 ABCD 和矩形 ACEF 所在的平面互相垂直 ,AB= 2 , AF=1,M 是線段

11、 EF 的中點(diǎn) . (1)求證 :AM ∥平面 BDE; （ 2）求證： AM ⊥平面 BDF. 證明： (1)如圖，設(shè) AC∩BD=O ，連結(jié) OE. ∵ O,M 分不是 AC,EF 的中點(diǎn) ,ACEF 是矩形 , ∴四邊形 AOEM 是平行四邊形 . ∴ AM ∥OE. ∵ OE 平面 BDE,AM 平面 BDE, ∴ AM ∥平面 BDE. （ 2）如圖，∵ BD⊥ AC，BD⊥AF ，且 AC 交 AF 于 A， ∴ BD⊥平面 AE. 又∵ AM

12、 平面 AE， ∴ BD⊥AM. ∵ AD= 2 ， AF=1，OA=1， ∴AOMF 是正方形 . ∴ AM ⊥OF.又 AM ⊥BD，且 OF∩ BD=O ， ∴ AM ⊥平面 BDF. 拓展探究 12 已知：直線 m,n 和平面 α、β , 求證：（1）若 m⊥α， n⊥β， m∥n，則 α∥β . (2)若 m⊥α， n⊥β， m 與 n 不平行，則 α 與 β 相交 . （3）若 m⊥α， n⊥β， m⊥n，則 α⊥β . 證明：（1）∵ m⊥α，又 m∥n，∴ n⊥α . 又 n⊥β，由線面

13、垂直的性質(zhì)知 α∥β . （2）假設(shè) α 與 β 不相交，則 α∥β ,∵m⊥α， ∴m⊥β .又 n⊥β，由線面垂直的性質(zhì)知 m∥n，這與 m、n 不平行矛盾，故 α 與 β 必相交 . （ 3）①當(dāng) m 與 n 相交時，由（ 2）知，現(xiàn)在 α 與 β 必相交，設(shè) m∩n =O，α∩β =l （如圖） . 設(shè) m⊥α 于點(diǎn) A，n⊥β 于點(diǎn) B，m 與 n 確定的平面為 γ，設(shè) γ∩ l= C，則四邊形 OACB 為平面四邊形 . ∵m⊥α， n⊥β， ∴ OA⊥AC，OA⊥l，OB⊥BC，OB⊥l. ∴ l⊥面 OACB ， ∴ AC⊥l ，BC⊥l， ∴∠ AOB 為 α-l- β 的平面角 . 在平面四邊形 OACB 中， ∠ OAC= ∠OBC=∠AOB=90 . ∴∠ ACB=90 ，∴α⊥β . ②當(dāng) m 與 n 異面時，在空間取一點(diǎn) O，過 O 作 m′∥ m，n′∥ n，則 m′⊥α， n′⊥β，同理①可證 α⊥β . 綜上知 α⊥β .