【材料力學 課件】PPT-第六章 彎曲變形

Chapter6 Deflection of Beams (Deflection of Beams) (Deflection of Beams) 第六章 彎曲變形 (Deflection of Beams) 6-1 基本概念及工程實例 （ Basic concepts and example problems) 6-4 用疊加法求彎曲變形 ( Beam deflections by superposition ) 6-3 用積分法求彎曲變形 （ Beam deflection by integration ) 6-2 撓曲線的微分方程 （ Differential equation of the deflection curve) (Deflection of Beams) (Deflection of Beams) 6-5 靜不定梁的解法 (Solution methods for statically indeterminate beams) 6-6 提高彎曲剛度的措施 (The measures to strengthen rigidity) (Deflection of Beams) (Deflection of Beams) 6-1 基本概念及工程實例 （ Basic concepts and example problems） 一、工程實例 （ Example problem） (Deflection of Beams) (Deflection of Beams) 但在另外一些情況下 ,有時卻要求構件具有較大的彈性變 形 ,以滿足特定的工作需要 . 例如 ,車輛上的板彈簧 ,要求有足夠大的變形 ,以緩解車輛受 到的沖擊和振動作用 . 2 F F 2 F (Deflection of Beams) (Deflection of Beams) 1.撓度 （ Deflection ） 二、基本概念 （ Basic concepts） w撓度 C C A B w x B 橫截面形心 C （即軸線上的點）在垂直于 x 軸方向的線位移 , 稱為該截面的撓度 .用 w表示 . (Deflection of Beams) (Deflection of Beams) 2.轉角 （ Slope） 轉角 A C C w B x w撓度（ B 橫截面對其原來位置的角位移 ,稱為該截面的轉角 . 用 表示 (Deflection of Beams) (Deflection of Beams) 3.撓曲線 （ Deflection curve） 梁變形后的軸線稱為撓曲線 . 式中 ,x 為梁變形前軸線上任一點的橫坐標 ,w 為該點的撓度 . 撓曲線 w A B x 轉角 w撓度（ C C B 撓曲線方程 （ equation of deflection curve） 為 ()w f x (Deflection of Beams) (Deflection of Beams) 4.撓度與轉角的關系 （ Relationship between deflection and slope）： w A B x 轉角 w撓度 C C B 撓曲線 ta n ( ) w w x (Deflection of Beams) (Deflection of Beams) 5.撓度和轉角符號的規(guī)定 （ Sign convention for deflection and slope） 撓度向上為正 ,向下為負 . 轉角 自 x 轉至切線方向 ,逆時針轉為正 ,順時針轉為負 . w A B x 轉角 w撓度 C C B 撓曲線 (Deflection of Beams) (Deflection of Beams) 6-2 撓曲線的微分方程 （ Differential equation of the deflection curve) 一、推導公式 （ Derivation of the formula) 1.純彎曲時 曲率 與彎矩的關系 （ Relationship between the curvature of beam and the bending moment） 1 M EI 橫力彎曲時 , M 和 都是 x的函數 .略去剪力對梁的位移的影 響 , 則 1 ( ) () Mx x EI (Deflection of Beams) (Deflection of Beams) 2.由數學得到平面曲線的曲率 （ The curvature from the mathematics） 32 2 1 | | () ( 1 ) w x w 32 2 | | ( ) ( 1 ) w M x EIw (Deflection of Beams) (Deflection of Beams) 在規(guī)定的坐標系中 ,x 軸水平向右 為正 , w軸豎直向上為正 . 曲線向上凸時 : O x w x O w 00 wM 因此 , w 與 M 的正負號相同 0 0 M w 曲線向下凸時 : 00 wM 0 0 M w M M M M (Deflection of Beams) (Deflection of Beams) 此式稱為 梁的撓曲線近似微分方程 （ differential equation of the deflection curve） (6.5) 32 2 () ( 1 ) w M x EIw () Mxw EI 近似原因 : （ 1） 略去了剪力的影響 ; （ 2） 略去了 項 ; （ 3） 2w t a n ( )w w x 與 1 相比十分微小而可以忽略不計 ,故上式可近似為 2w (Deflection of Beams) (Deflection of Beams) 6-3 用積分法求彎曲變形 （ Beam deflection by integration ) 一、微分方程的積分 （ Integrating the differential equation ) 若為等截面直梁 , 其抗彎剛度 EI為一常量上式可改寫成 ()Mxw EI ()E I w M x (Deflection of Beams) (Deflection of Beams) 2.再積分一次 ,得撓度方程 （ Integrating again gives the equation for the deflection） 二、積分常數的確定 （ Evaluating the constants of integration） 1.邊界條件 （ Boundary conditions） 2.連續(xù)條件 （ Continue conditions） 1.積分一次得轉角方程 （ The first integration gives the equation for the slope） 1( ) dE I w M x x C 12( ) d dE I w M x x x C x C (Deflection of Beams) (Deflection of Beams) A B 在簡支梁中 , 左右兩鉸支座處的 撓度 Aw 和 Bw 都等于 0. 在懸臂梁中 ,固定端處的撓度 和轉角 Aw 都應等于 0. A 0Aw 0Bw 0Aw 0A A B (Deflection of Beams) (Deflection of Beams) l A B x F w 例題 1 圖示一抗彎剛度為 EI 的懸臂梁 , 在自由端受一集中力 F 作用 .試求梁的撓曲線方程和轉角方程 , 并確定其最大撓度 和最大轉角 maxw max (Deflection of Beams) (Deflection of Beams) （ 1） 彎矩方程為 解： （ 2） 撓曲線的近似微分方程為 x l w A B x F 對撓曲線近似微分方程進行積分 ( ) ( ) ( 1 )M x F l x ( ) ( 2 )E I w M x F l F x 2 1 ( 3)2 FxEIw Fl x C 23 12 ( 4 )26 Flx FxEI w xCC (Deflection of Beams) (Deflection of Beams) 梁的轉角方程和撓曲線方程分別為 2 1 ( 3)2 FxEIw Flx C 23 12 ( 4 )26 Flx FxEI w xCC 邊界條件 0, 0 0, 0 xw xw 將邊界條件代入（ 3）（ 4）兩式中 ,可得 120 0CC 2 2 FxEIw Flx 23 26 Flx FxEIw (Deflection of Beams) (Deflection of Beams) B wmax max x l y A F （ ） 2 2 2 m ax | 22xl Fl Fl Fl EI EI EI 都發(fā)生在自由端截面處 max maxw和 （ ） 3 m ax | 3xl Plww EI (Deflection of Beams) (Deflection of Beams) 例題 2 圖示一抗彎剛度為 EI 的簡支梁 ,在全梁上受集度為 q 的 均布荷載作用 .試求此梁的撓曲線方程和轉角方程 ,并確定其 max maxw和 A B q l (Deflection of Beams) (Deflection of Beams) 解 :由對稱性可知 ,梁的兩 個支反力為 RR 2AB qlFF A B q l FRA FRB x 2() 22 q l qM x x x 23 46 ql qEIw x x C 2 22 q l qEI w x x 34 1 2 2 4 q l qEIw x x Cx D 此梁的彎矩方程及撓曲線微分方程分別為 (Deflection of Beams) (Deflection of Beams) 梁的轉角方程和撓曲線方程 分別為 2 3 3( 6 4 ) 24 q lx x l EI 2 3 3( 2 ) 24 qxw lx x l EI 邊界條件 x=0 和 x=l時 , 0w x A B q l FRA FRB A B 在 x=0 和 x=l 處轉角的絕對值相等且都是最大值， 最大轉角和最大撓度分別為 3 m ax 24AB ql EI wmax 在 梁跨中點處 有 最大撓度值 4 m a x 2 5 384lx qlww EI (Deflection of Beams) (Deflection of Beams) 例題 3 圖示一抗彎剛度為 EI的簡支梁 , 在 D點處受一集中力 F的作 用 .試求此梁的撓曲線方程和轉角方程 ,并求其最大撓度和最大轉 角 . A B F D a b l (Deflection of Beams) (Deflection of Beams) 解 : 梁的兩個支反力為 R A bFF l R B aFF l FRA FRB A B F D a b l 1 2 x x 兩段梁的彎矩方程分別為 1R ( 0 )A bM F x F x x al 2 ( ) ( ) bM F x F x a a x l l (Deflection of Beams) (Deflection of Beams) 兩段梁的撓曲線方程分別為 （ a）（ 0 x a） 撓曲線方程 11 bFxEIw M l 轉角方程 2 11 2 bxEI w F C l 撓度方程 3 1 1 16 bxE I w F C x D l (Deflection of Beams) (Deflection of Beams) 撓曲線方程 22 ()bF x F x aEIw M l 轉角方程 22 22 () 22 bF xaxFEI w C l 撓度方程 33 2 () 66 b F x axFxEI w C D l （ b）（ a x l ） (Deflection of Beams) (Deflection of Beams) D點的連續(xù)條件 邊界條件 在 x = a 處 12ww 12ww 在 x = 0 處 , 1 0w 在 x = l 處 , 2 0w 代入方程可解得 : 12 0DD 22 12 ()6 FbC C l b l A B F D a b l 1 2 FRA FRB (Deflection of Beams) (Deflection of Beams) 2 2 2 11 () 36 Fbw l b x lEI 2 22 1 6 Fbx lw b x lE I 2 2 2 2 22 1 ( ) () 23 Fb l xaw x l b lEI b 3 3 2 2 2 ( ) ()6 Fb l xxaw x l b lEI b （ a）（ 0 x a） （ b）（ a x l ） (Deflection of Beams) (Deflection of Beams) 將 x = 0 和 x = l 分別代入轉角方程左右兩支座處截面的轉角 當 a b 時 , 右支座處截面的轉角絕對值為最大 10 ()| 6Ax Fab l b lE I 2 ()| 6B x l Fab l a lE I m ax () 6B Fab l a lE I (Deflection of Beams) (Deflection of Beams) 簡支梁的最大撓度應在 處 0w 先研究第一段梁 ,令 得 1 0w 2 2 2 11 ( ) 036 Fbw l b x lE I 22 1 ( 2 ) 33 l b a a bx 當 a b時 , x1 a 最大撓度確實在第一段梁中 1 2 2 2 3 max ( ) 0 0 6 4 293xx Fb P b lw | l b .w EIlEI (Deflection of Beams) (Deflection of Beams) 梁中點 C 處的撓度為 結論 :在簡支梁中 , 不論它受什么荷載作用 , 只要撓曲線上無 拐點 , 其最大撓度值都可用梁跨中點處的撓度值來代替 , 其精確度 是能滿足工程要求的 . 2 22( 3 4 ) 0 .0 6 2 5 48C F b F b lw l b E I E I 1 2 2 2 3 max ( ) 0 0 6 4 293xx Fb Fb ly | l b .w EIlEI (Deflection of Beams) (Deflection of Beams) （ a）對各段梁 ,都是由坐標原點到所研究截面之間的梁段上 的外力來寫彎矩方程的 .所以后一段梁的彎矩方程包含前一段梁 的彎矩方程 .只增加了 (x-a)的項 . （ b）對 (x-a)的項作積分時 ,應該將 (x-a)項作為積分變量 .從而 簡化了確定積分常數的工作 . 積分法的原則 (Deflection of Beams) (Deflection of Beams) 64 用疊加法求彎曲變形 （ Beam deflections by superposition ） 梁的變形微小 , 且梁在線彈性范圍內工作時 , 梁在幾項荷載 (可以是集中力 , 集中力偶或分布力 )同時作用下的撓度和轉角 , 就分別等于每一荷載單獨作用下該截面的撓度和轉角的疊加 . 當 每一項荷載所引起的撓度為同一方向 (如均沿 w軸方向 ), 其轉角 是在同一平面內 (如均在 xy 平面內 )時 ,則疊加就是代數和 . 這就 是疊加原理 . 一、疊加原理 （ Superposition） (Deflection of Beams) (Deflection of Beams) 1.載荷疊加 （ Superposition of loads） 多個載荷同時作用 于結構而引起的變形等于每個載荷單獨作用于結構而引起的變形 的代數和 . 2.結構形式疊加（逐段剛化法） 1 2 1 1 2 2( , , , ) ( ) ( ) ( )n n nF F F F F F 1 2 1 1 2 2( , , , ) ( ) ( ) ( )n n nw F F F w F w F w F (Deflection of Beams) (Deflection of Beams) 按疊加原理求 A點轉角和 C點 撓度 . 解 :（ a） 載荷分解如圖 （ b） 由梁的簡單載荷變形表 , 查簡單載荷引起的變形 . B q F A C a a F = A B + A B q 2 () 4AF FaEI 3 () 6CF Faw EI 45 () 24Cq qaw EI 3 () 3Aq qaEI (Deflection of Beams) (Deflection of Beams) （ c） 疊加 2 () 4AF FaEI 3 () 6CF Faw EI 3 () 3AF qaEI 45 () 24CF qaw EI ( ) ( )A A F A q 2 ( 3 4 )12 a F qaEI 435 ()2 4 6C q a Faw EI EI q F F = + A A A B B B C a a q (Deflection of Beams) (Deflection of Beams) 例題 4 一抗彎剛度為 EI的簡支梁受荷載如圖所示 .試按疊加原理 求梁跨中點的撓度 wC和支座處橫截面的轉角 A , B 。 A B C q Me l (Deflection of Beams) (Deflection of Beams) 解 :將梁上荷載分為兩 項簡單的荷載 ,如圖所示 A B C q Me (a) l B A Me (c) l A q (b) B l )( qA )( qB ()CqwC e()BM e()MA e()C MwC e( ) )(CC qM Cwww e)(A qMAA 24 e5 38 4 16 Mlql EI EI( ) ( ) 3 e() 2 4 3 Mlql EI EI e)(B qMBB ( ) 3 e 2 4 6 Mlql EI EI (Deflection of Beams) (Deflection of Beams) 例題 5 試 利用疊加法 ,求圖 所示抗彎剛度為 EI的簡支 梁跨中點的撓度 wC 和兩端 截面的轉角 A , B . A B C q l l/2 A B C q/2 C A B q/2 q/2 解 :可視為正對稱荷載 與反對稱荷載兩種情況的疊 加 . (Deflection of Beams) (Deflection of Beams) （ 1）正對稱荷載作用下 A B C q/2 44 1 5 ( 2 ) 5 3 8 4 7 6 8C q l q lw E I E I 33 11 ( 2 ) 2 4 4 8BA q l q l E I E I C A B q/2 q/2 （ 2）反對稱荷載作用下 在跨中 C截面處 ,撓度 wC等于零 ,但 轉角不等于零且該截面的 彎矩也等于零 可將 AC段和 BC段分別視為受均布線荷載作用且長度為 l /2 的簡支梁 (Deflection of Beams) (Deflection of Beams) C A B q/2 q/2 可得到： B q/2 A C q/2 3 3 22 ( ) ( ) 22 2 4 3 8 4AB ql ql EI EI 2 0Cw 將相應的位移進行疊加 , 即得 4 12 5 768C C C qlw w w EI( ) 3 3 3 12 3 4 8 3 8 4 1 2 8A A A q l q l q l EI EI EI ( ) 3 3 3 12 7 4 8 3 8 4 3 8 4B B B q l q l q l E I E I E I ( ) (Deflection of Beams) (Deflection of Beams) 例題 6 一抗彎剛度為 EI 的外伸梁受荷載如圖所示 ,試按疊加原理 并利用附表 ,求截面 B的轉角 B以及 A端和 BC中點 D的撓度 wA 和 wD . A B C D a a 2a 2q q (Deflection of Beams) (Deflection of Beams) 解 :將外伸梁沿 B截面截成兩段 , 將 AB 段看成 B端 固定的懸臂 梁 ,BC段看成簡支梁 . A B C D a a 2a 2q q B C D q 2qa 2BM qa 2q A B 2qa 2BM qa B截面兩側的相互作用為： 2BM q a 2qa (Deflection of Beams) (Deflection of Beams) 簡支梁 BC的受力情況與 外伸梁 AC 的 BC段的受力情 況相同 由簡支梁 BC求得的 B,wD 就是外伸梁 AC的 B,wD 2qa B C D q 2BM qa q B C D B C D 2BM qa 簡支梁 BC的變形就是 MB 和均布荷載 q分別引起變形的 疊加 . (Deflection of Beams) (Deflection of Beams) 由疊加原理得 : ()Dqw()Bq D B C 3 ) ( )( 3 BB q B MB qa EI 4 ( ) ( ) 24 BD D q D M qaw w w EI 2qa B C D q 2BM qa ()BBM ()BDMw D B C 2BM qa （ 1）求 B ,wD 33 )( 2 4 3qB q l q aEI EI 32 () 33 B B BM Ml qa EI EI 4455 () 3 8 4 2 4Dq q l q aw EI EI 42 () 1 6 4 B B DM M qalw EI EI (Deflection of Beams) (Deflection of Beams) （ 2） 求 wA 由于簡支梁上 B截面的轉動 ,帶動 AB段一起作剛體運動 ,使 A 端產生撓度 w1 懸臂梁 AB本身的彎曲變形 ,使 A端產生撓度 w2 2w A 2q B 2qa 2BM qa A B 1w B C 2qa B D q 2BM qa 因此 ,A端的總撓度應為 1 2 2BAw w w a w 由表 6-1查得 2 2 ( 2 ) 8 q aw EI 4 4 47 3 4 1 2A q a q a q aw EI EI EI (Deflection of Beams) (Deflection of Beams) 二、剛度條件 （ Stiffness condition） 1.數學表達式 （ Mathematical formula） 2. 剛度條件的應用 （ Application of stiffness condition） （ 1） 校核剛度 （ Check the stiffness of the beam） （ 2） 設計截面尺寸 （ Determine the allowable load on the beam） （ 3） 求許可載荷 （ Determine the required dimensions of the beam） m ax m ax ww 是構件的許可撓度和轉角 . w 和 (Deflection of Beams) (Deflection of Beams) 例 7 下圖為一空心圓桿 ,內外徑分別為 :d=40mm,D=80mm,桿的 E=210GPa,工程規(guī)定 C點的 w/L=0.00001,B點的 =0.001弧度 ,試 核此桿的剛度 . l=400mm F2=2kN A C a=0.1m 200mm D F1=1kN B F 2 B C D A = + F 2 B C a F2 B C D A M = + F 1=1kN A D C F2=2kN C A B B (Deflection of Beams) (Deflection of Beams) 解 :（ 1） 結構變換 ,查表求簡 單載荷變形 . l=400mm F2=2kN A C a=0.1m 200mm D F1=1kN B 2 1 1 16B Fl EI 2 1 11 16CB F l awa EI 2 0B 3 2 2 3C Faw EI 23 33B Ml laFEI EI 2 2 33 3CB F lawa EI + F2 B C 圖 2 圖 3 + F 2 B C D A M = 圖 1 F1=1kN D C (Deflection of Beams) (Deflection of Beams) （ 2） 疊加求復雜載荷下的變形 2 12 1 6 3B F l F la EI EI 2 3 2 1 2 2 1 6 3 3C F l a F a F a lw EI EI EI 44 4 4 12 84 () 64 3.1 4 ( 80 40 ) 10 64 18 8 10 m I D d F2=2kN = + + 圖 1 圖 2 l=400mm A C a=0.1m 200mm D F1=1kN B F1=1kN D B C 圖 3 F2 B D A M A C C F2 (Deflection of Beams) (Deflection of Beams) （ 3） 校核剛度 : 2 3 2 61 2 2 5 .1 9 1 0 m 1 6 3 3C F l a F a F a lw E I E I E I 2 12 -4 0 .4 4 0 0 2 0 0 () 1 6 3 2 1 0 1 8 8 0 1 6 3 + 0.4 23 10 B F l F la EI EI （ rad） m a xw w ll 65m a x 5 . 1 9 1 0 m 1 0 mww 4m a x 0 . 4 2 3 1 0 0 . 0 0 1 (Deflection of Beams) (Deflection of Beams) 一、基本概念 （ Basic concepts） 1.超靜定梁 （ statically indeterminate beams） 6-5 靜不定梁的解法 （ Solution methods forstatically indeterminate beams） 單憑靜力平衡方程不能求出 全部支反力的梁 , 稱為超靜定梁 F A B A B C F FRA FRB FRC (Deflection of Beams) (Deflection of Beams) 2.多余 ” 約束 （ Redundant constraint） 多于維持其靜力平衡所必需的 約束 3.多余 ” 反力 （ Redundant reaction） 多余” 與 相應的支座反力 FRB A B C F F A B FRA FRC 4.超靜定次數 （ Degree of statically indeterminate problem） 超靜定梁的 “多余” 約束 的 數目就等于其超靜定次數 . n = 未知力的個數 - 獨立平衡方程的數目 (Deflection of Beams) (Deflection of Beams) 二、求解超靜定梁的步驟 (procedure for solving a statically indeterminate) 1.畫靜定基建立相當系統(tǒng) ： 將可動絞鏈支座作看 多余約 束 ,解除多余約束代之以約束反力 RB.得到原超靜定梁的基本靜定系 . 2.列 幾何方程 變形協(xié)調方程 超靜定梁在多余約束處的約 束條件 ,梁的 變形協(xié)調條件 A B q l 0Bw q A B F RB 根據變形協(xié)調條件得變形幾何方程 : 變形幾何方程為 R( ) ( ) BB B q B Fw w w R( ) ( ) 0BB q B Fww (Deflection of Beams) (Deflection of Beams) ()Bqw R()BBFw 3.列 物理方程 變形與力的關系 查表得 q A B 將力與變形的關系代入 變形幾何方程得補充方程 4.建立補充方程 4 () 8Bq qlw EI R 3 R() 3B B BF F lw EI B A F RB q A B FRB (Deflection of Beams) (Deflection of Beams) 補充方程為 由該式解得 5.求解其它問題（反力 ,應力 ,變形等） 4 3 R 0 83 BFlql EI EI R 38BF ql q A B FRB FRA MA 求出該梁固定端的兩個支反力 R 58BF ql 218AM ql ()Bqw R()BBFw q A B B A F RB (Deflection of Beams) (Deflection of Beams) 代以與其相應的多余反 力偶 MA 得基本靜定系 . 變形相容條件為 請同學們自行完成 ！ 方法二 取支座 A 處阻止梁轉動 的約束為多余約束 . 0A A B q l A B q l MA (Deflection of Beams) (Deflection of Beams) 例題 8 梁 AC如圖所示 ,梁的 A端用一鋼桿 AD與梁 AC鉸接 , 在梁受 荷載作用前 , 桿 AD內沒有內力 ,已知梁和桿用同樣的鋼材制成 , 材 料的彈性模量為 E, 鋼梁橫截面的慣性矩為 I, 拉桿橫截面的面積為 A,其余尺寸見圖 ,試求鋼桿 AD內的拉力 FN. a 2a A B C q 2q D l (Deflection of Beams) (Deflection of Beams) C A D B q 2q A FN FN A點的變形相容條件是拉桿和梁在變形后仍連結于 A點 .即 Awl 解 :這是一次超靜定問題 .將 AD桿與梁 AC之間的連結絞看作多余 約束 .拉力 FN為多余反力 .基本靜定系如圖 A D B C q 2q Aw FN FN l A1 (Deflection of Beams) (Deflection of Beams) 變形幾何方程為 根據疊加法 A端的撓度為 B C q 2q FN Aw N( ) ( )A A q A Fw w w N( ) ( )A q A Fw w l B C q 2q ()Aqw 47 () 12Aq qaw EI 在例題 中已求得 N 3 N() AF Faw EI 可算出 : C FN B N()AFw (Deflection of Beams) (Deflection of Beams) 拉桿 AD 的伸長為 : NFll EA 補充方程為 : 4 3 NN7 12 F a F lqa EI EI EA 由此解得 : 4 N 3 7 12 ( ) AqaF Il Aa A D B C q 2q FN FN l A1 Aw (Deflection of Beams) (Deflection of Beams) 例題 9 求圖示梁的支反力 ,并繪梁的剪力圖和彎矩圖 . 已知 EI = 5 103 kNm3 . 4m 3m 2m A B D C 30kN 20kN/m (Deflection of Beams) (Deflection of Beams) 解 :這是一次超靜定問題 取支座 B 截面上的相 對轉動約束為多余約束 . 基本靜定系為在 B 支 座截面上安置鉸的靜定梁 , 如圖所示 . 4m 3m 2m A B D C 30kN 20kN/m 4m 3m 2m A B D C 30kN 20kN/m 多余反力為分別作用 于簡支梁 AB 和 BC 的 B端 處的一對彎矩 MB. 變形相容條件為，簡 支梁 AB的 B 截面轉角和 BC梁 B 截面的轉角相等 . MB B B BB (Deflection of Beams) (Deflection of Beams) 由表中查得 : 3 42 0 4 2 4 3 B B M EI EI 1 2 8 0 4() 2 4 3 BM EI EI 3 0 3 2 ( 5 2 ) 5 6 5 3 B B M EI EI 42 5 3 BM EI EI 4m 3m 2m A B D C 30kN 20kN/m D A B 30kN 20kN/m MB B B C (Deflection of Beams) (Deflection of Beams) 補充方程為 : 解得 : 負號表示 B截面彎 矩與假設相反 . 1 2 8 0 4 4 2 5 2 4 3 3 BBMM EI EI EI EI 3 1 .8 0 k N mBM 4m 3m 2m A B D C 30kN D A B 30kN 20kN/m 20kN/m MB B B C (Deflection of Beams) (Deflection of Beams) 由基本靜定系的平衡方程 可求得其余反力 在基本靜定系上繪出剪力圖 和彎矩圖 . 4m 3m 2m A B D C 30kN 20kN/m + - 32.05 47.95 18.40 11.64 + + - 25.68 31.80 23.28 1.603m - + R 3 2 . 0 5 K NAF R 6 6 .3 5 K NBF R 1 1 .6 K NCF (Deflection of Beams) (Deflection of Beams) 6-6 提高彎曲剛度的措施 影響梁彎曲變形的因素不僅與梁的支承和載荷情況有關 ,而 且還與梁的材料、截面尺寸、形狀和梁的跨度有關 .所以 ,要想提 高彎曲剛度 ,就應從上述各種因素入手 . 一、增大梁的抗彎剛度 EI 二、減小跨度或增加支承 三、改變加載方式和支座位置 (Deflection of Beams) (Deflection of Beams) （ 1）增大梁的抗彎剛度 EI 工程中常采用工字形 ,箱形截面 為了減小梁的位移 ,可采取下列措施 （ 2）調整跨長和改變結構 設法縮短梁的跨長 ,將能顯著地減小其撓度和轉角 .這是提高 梁的剛度的一個很又效的措施 . )( xMwEI (Deflection of Beams) (Deflection of Beams) 橋式起重機的鋼梁通常采用 兩端外伸的結構就是為了縮短跨 長而減小梁的最大撓度值 . A B q l 同時 ,由于梁的外伸部分的自 重作用 ,將使梁的 AB跨產生向上的 撓度 ,從而使 AB跨向下的撓度能夠 被抵消一部分 ,而有所減小 . q q A B l 增加梁的支座也可以減小梁 的撓度 .