大學物理第一版 朱峰 課后答案第九,十章

習題精解9-1.在氣墊導軌上質量為m的物體由兩個輕彈簧分別固定在氣墊導軌的兩端，如圖9-1所示，試證明物體m的左右運動為簡諧振動，并求其振動周期。設彈簧的勁度系數(shù)為k1和k2. 解：取物體在平衡位置為坐標原點，則物體在任意位置時受的力為 根據(jù)牛頓第二定律有 化簡得 令則所以物體做簡諧振動，其周期9-2 如圖9.2所示在電場強度為E的勻強電場中，放置一電偶極矩P=ql的電偶極子，+q和-q相距l(xiāng)，且l不變。若有一外界擾動使這對電荷偏過一微小角度，擾動消息后，這對電荷會以垂直與電場并通過l的中心點o的直線為軸來回擺動。試證明這種擺動是近似的簡諧振動，并求其振動周期。設電荷的質量皆為m，重力忽略不計。 解 取逆時針的力矩方向為正方向，當電偶極子在如圖9.2所示位置時，電偶極子所受力矩為 電偶極子對中心O點的轉動慣量為由轉動定律知化簡得當角度很小時有，若令，則上式變?yōu)樗噪娕紭O子的微小擺動是簡諧振動。而且其周期為 9-3 汽車的質量一般支承在固定與軸承的若干根彈簧上，成為一倒置的彈簧振子。汽車為開動時，上下為自由振動的頻率應保持在 附近，與人的步行頻率接近，才能使乘客沒有不適之感。問汽車正常載重時，每根彈簧松弛狀態(tài)下壓縮了多少長度？ 解 汽車正常載重時的質量為m，振子總勁度系數(shù)為k，則振動的周期為，頻率為正常載重時彈簧的壓縮量為9-4 一根質量為m，長為l的均勻細棒，一端懸掛在水平軸O點，如圖9.3所示。開始棒在平衡位置OO，處于平衡狀態(tài)。將棒拉開微小角度后放手，棒將在重力矩作用下，繞O點在豎直平面內來回擺動。此裝置時最簡單的物理擺。若不計棒與軸的摩擦力和空氣的阻力，棒將擺動不止。試證明擺角很小的情況下，細棒的擺動為簡諧振動，并求其振動周期。 解 設在某一時刻，細棒偏離鉛直線的角位移為，并規(guī)定細棒在平衡位置向右時為正，在向左時為負，則力矩為負號表示力矩方向與角位移方向相反，細棒對O點轉動慣量為,根據(jù)轉動定律有化簡得 當很小時有，若令則上式變?yōu)樗约毎舻臄[動為簡諧振動，其周期為9-5 一放置在水平光滑桌面上的彈簧振子，振幅，周期，當t=0時，（1）物體在正方向的端點；（2）物體在負方向的端點；(3) 物體在平衡位置，向負方向運動;(4）物體在平衡位置，向負方向運動;(5)物體在處向負方向運動(6)物體在處向正方向運動。求以上各種情況的振動方程。解 由題意知（1）由初始條件得初想為是,所以振動方程為 （2）由初始條件得初想為是，所以振動方程為 （3）由初始條件得初想為是，所以振動方程為（4）由初始條件得初想為是，所以振動方程為（5）因為，所以，?。ㄒ驗樗俣刃∮诹悖?，所以振動方程為（6），所以，?。ㄒ驗樗俣却笥诹悖哉駝臃匠虨?-6一質點沿x軸做簡諧振動，振幅為0.12m，周期為2s，當t=0時，質點的位置在0.06m處，且向x軸正方向運動，求；（1）質點振動的運動方程；（2）t=0.5s時，質點的位置、速度、加速度；（3）質點x=-0.06m處，且向x軸負方向運動，在回到平衡位置所需最短的時間。解 （1）由題意可知：可求得（初速度為零），所以質點的運動方程為（2）任意時刻的速度為所以任意時刻的加速度為所以（3）根據(jù)題意畫旋轉矢量圖如圖9.4所示。由圖可知，質點在x=-0.06m處，且向x軸負方向運動，再回到平衡位置相位的變化為所以9-7 一彈簧懸掛0.01kg砝碼時伸長8cm，現(xiàn)在這根彈簧下懸掛0.025kg的物體，使它作自由振動。請建立坐標系，分析對下述3種情況列出初始條件，求出振幅和初相位，最后建立振動方程。（1）開始時，使物體從平衡位置向下移動4cm后松手；（2）開始時，物體在平衡位置，給以向上的初速度，使其振動；（3）把物體從平衡位置向下拉動4cm后，又給以向上的初速度，同時開始計時。解 （1）取物體處在平衡位置為坐標原點，向下為x軸正方向，建立如圖9.5所示坐標系。系統(tǒng)振動的圓頻率為根據(jù)題意，初始條件為振幅，初相位振動方程為（2）根據(jù)題意，初始條件為振幅，初相位振動方程為（3）根據(jù)題意，初始條件為振幅，得振動方程為9-8 質量為0.1kg的物體，以振幅做簡諧振動，其最大加速度為，求：（1）振動周期；（2）通過平衡位置時的動能；（3）總能量。解 （1）簡諧振動的物體的最大加速度為，所以周期為。（2）做簡諧振動的物體通過平衡位置時具有最大速度所以動能為（3）總能量為 9-9 彈簧振子在光滑的水平上面上做振幅為的簡諧振動，如圖9.6所示，物體的質量為M，彈簧的勁度系數(shù)為k，當物體到達平衡位置且向負方向運動時，一質量為m的小泥團以速度從右打來，并粘附于物體之上，若以此時刻作為起始時刻，求：（1）系統(tǒng)振動的圓頻率；（2）按圖示坐標列出初始條件；（3）寫出振動方程；解 （1）小泥團粘附于物體之后與物體一起做簡諧振動，總質量為M+m，彈簧的勁度系數(shù)為k，所以系統(tǒng)振動的圓頻率為 （2）小泥團粘附于物體之上后動量守恒，所以有按圖9.6所示坐標初始條件為（3）根據(jù)初始條件，系統(tǒng)振動的初相位為；假設，系統(tǒng)的振動振幅為A，根據(jù)能量守恒，有其中故得振動方程為9-10 有一個彈簧振子，振幅，周期T=1s，初相位，（1）寫出它的振動方程；（2）利用旋轉矢量圖，作x-t圖。解 （1）由題意可知，所以彈簧振子的振動方程為 （2）利用旋轉矢量圖做x-t圖如圖9.7所示9-11 一物體做簡諧振動，（1）當它的位置在振幅一半處時，試利用旋轉矢量計算它的相位可能為哪幾個值？做出這些旋轉矢量；（2）諧振子在這些位置時，其動能。勢能各占總能量的百分比是多少？解 （1）根據(jù)題意做旋轉矢量如圖9.8所示。由圖9.8可知，當它的位置在振幅的一半時，它的可能相位是（2）物體做簡諧振動時的總能量為，在任意位置時的時能為，所以當它的位置在振幅的一半時的勢能為，勢能占總能量的百分比為25%，動能占總能量的百分比為75%。9-12 手持一塊平板，平板上放以質量為0.5kg的砝碼，現(xiàn)使平板在豎直方向上下振動，設該振動是簡諧振動，頻率為2Hz，振幅是0.04m,問：（1） 位移最大時，砝碼對平板的正壓力多大？（2）以多大的振幅振動時，會使砝碼脫離平板？(3) 如果振動頻率加快一倍則砝碼隨板保持一起振動的振幅上限是多大？解 （1）由題意可知，。因為物體在作簡諧振動，物體在最大位移時加速度大小根據(jù)牛頓第二定律有解得（最低位置）， (最高位置)（2）當，即時 會使砝碼脫離平板。（3）頻率增大一倍，把代入得9-13 有兩個完全相同的彈簧振子A和B，并排地放在光滑的水平面上，測得它們的周期都是2s?，F(xiàn)將兩個物體從平衡位置向右拉開5cm，然后先釋放A振子，經過0.5s后，再釋放B振子，如圖9.9所示，若以B振子釋放的瞬間作為時間的起點，（1）分別寫出兩個物體的振動方程；（2）它們的相位差為多少？分別畫出它們的x-t圖。解 （1）由題可知，兩物體做簡諧振動的圓頻率為，若以B振子釋放的瞬時作為時間的起點，則B物體振動的初相位是，振動方程應為由于A物體先釋放0.5s時的時間，所以相位超前B物體，所以A物體振動的初相位是，振動方程應為（2）它們的相位差為作A,B兩物體的振動曲線如圖9.10所示。9-14 一質點同時參與兩個方向、同頻率的簡諧振動，它們的振動方程分別為試 用旋轉矢量求出合振動方程。解 作旋轉矢量如圖9.11所示。由平面幾何關系可知合振動的初相位是所以合振動的振動方程為9-15 有兩個同方向、同頻率的簡諧振動，其合振動的振幅為0.2，合振動的相位于第一個振動的相位之差為，若第一個振動的振幅為0.173m，求第二個振動的振幅，第一、第二兩振動的相位差。解 做旋轉矢量如圖9.12所示。由平面幾何關系可知假設和的夾角為，則由平面幾何可知把已知數(shù)代入解得，9-16 質量為0.4kg的質點同時參與互相垂直的兩個振動： 式中x,y以m計，t以s計。（1） 求運動軌跡方程；（2） 質點在任一位置所受的力。解 （1）由振動方程消去時間因子得軌跡方程為（2） 質點在任意時刻的加速度為質點在任一位置所受的力為 9-17 質點參與兩個方向互相垂直的、同相位、同頻率的簡諧振動；（1）證明質點的合振動時簡諧振動；（2）求合振動的振幅和頻率。解 （1）根據(jù)題意，假設兩個分振動的振動方程分別為 合成的軌跡是直線，在任意時刻質點離開平衡位置的距離為所以質點的合振動是簡諧振動。（3） 合振動的振幅為，圓頻率為.習題精解10-1 在平面簡諧波的波射線上，A,B,C,D各點離波源的距離分別是。設振源的振動方程為 ，振動周期為T.（1）這4點與振源的振動相位差各為多少？（2）這4點的初相位各為多少？（3）這4點開始運動的時刻比振源落后多少？解 （1） （2） （3） 10-2 波源做諧振動，周期為，振幅為，經平衡位置向y軸正方向運動時，作為計時起點，設此振動以的速度沿x軸的正方向傳播，試寫出波動方程。解 根據(jù)題意可知，波源振動的相位為 波動方程 10-3 一平面簡諧波的波動方程為，求（1）此波的頻率、周期、波長、波速和振幅；（2）求x軸上各質元振動的最大速度和最大加速度。解 （1）比較系數(shù)法將波動方程改寫成 與 比較得 （2）各質元的速度為 所以 各質元的加速度為 所以 10-4 設在某一時刻的橫波波形曲線的一部分如圖10.1所示。若波向x軸正方向傳播，（1）試分析用箭頭表明原點0，1，2，3，4等點在此時的運動趨勢；（2）確定此時刻這些點的振動初相位；（3）若波向x軸的正方向傳播，這些點的振動初相位為多少？解 （1）因為波是沿x軸的正方向傳播的，所以下一個時刻的波形如圖10.1中虛線所示。由圖可知：O點的運動趨勢向y軸正方向；1點的運動趨勢向y軸的正方向；2點的運動趨勢向y軸的負方向；3點的運動趨勢向y軸的負方向；4點的運動趨勢向y軸的正方向。(2) 各點的振動的初相位分別為 （3）若波向x軸的負方向傳播，則各點振動的初相位分別為 10-5 一平面簡諧波的波動方程為 (1)求該波的振幅、周期、圓頻率、頻率波速和波長；（2）設處為波源，求距波源0.125m及1m處的振動方程，并分別繪出它們的y-t圖；（3）求t=0.01s及t=0.02s時的波動方程，并繪出對應時刻的波形圖。解 （1）將波動方程變?yōu)?與 相比較得 （2）將x=0.125m及x=1m代入波動方程，得振動方程分別為 繪y-t圖如圖10.2（a）所示。（3）將t=0.01s及t=0.02s代入波動方程，得兩時刻的波方程分別為 兩時刻的波形圖如圖10.2（b）所示。10-6 一平面簡諧波的波動方程為 （1）x=0.2m處的質元在t=2.1s時刻的振動相位為多少？此相位所描述的運動狀態(tài)如何？（2）此相位值在哪一時刻傳至0.4m處？解 （1）將t=0.01s及t=0.02s代入波動方程得 此質元在此時刻的位置為 速度為 （2）將x=0.4m代入有 得 10-7 一波源做簡諧振動，周期為0.01s,振幅為0.1m，經平衡位置向正方向運動時為計時起點，設此振動以的速度沿直線傳播，（1）寫出波動方程；（2）求距波源16m處和20m處的質元的振動方程和初相位；（3）求距波源15m處和16m處的兩質元的相位差是多少？解 （1）取波源的傳播方向為x軸的正向，由題意可知波源振動的初相位為，所以波方程為 （2）將x=16m和x=20m代入波動方程得振動方程為 所以初相位分別是 （3） 距波源15m和16m處的兩質元的相位差為 10-8 有一波在媒介中傳播，其速度，振幅，頻率，若媒介的密度為,(1) 求該波的平均能流密度；（2）求1min內垂直通過一面積為的總能量。 解 （1）由知道，該波的平均能流密度為 （2） 1min內垂直通過一面積為 的總能量為 10-9 一平面簡諧波沿直徑為0.14m的圓柱形管行進（管中充滿空氣），波的強度為，頻率為 300Hz，波速為，問：(1) 波的平均能量密度和最大能量密度是多少？（2）每兩個相鄰的，相位差為的波振面之間的波段中有多少能量？ 解 （1）波的平均能量密度為 最大能量密度 （2）波長 所以每兩個相鄰的，相位差為的波段中的能量為 10-10 兩相干波源分別在P,Q兩處，它們相距，如圖10.3所示。由P,Q發(fā)出頻率為，波長為的相干波。R為PQ連線上的一點，求下面的兩種情況兩波在R點的和振幅：（1）設兩波源有相同的初相位；（2）兩波源初相位為。解 （1）設兩波源有相同的初相位，P,Q兩波源在R點引起振動的相位差為 所以和振幅為 （2） 因為兩波源的初相位差為（假設P振動相位超前Q振動相位），P,Q兩波源在R點引起振動的相位差為 所以合振幅為 10-11 兩個波在一根很長的細繩上傳播，它們的方程分別為 式中，x,y以m計，t以s計。（1） 試證明這細繩實際上作駐波振動，并求波節(jié)和波腹的位置；（2） 波腹處的振幅為多大？在x=1.2m處質元的振幅多大？解 （1）任意質元在任意時刻的位移為 所以這細繩實際上做駐波式振動。波節(jié)位置為，即波腹位置為，即（2） 波腹處的振幅為 在x=1.2m處質元的振幅為 10-12 繩索上的駐波公式為：，求 形成該駐波的兩反向行進波的振幅、波長和波速。解 把與駐波的標準形式線比較得： 10-13 一警笛發(fā)射頻率為1500Hz的聲波，并以的速度向著觀測者運動，觀測者相對與空氣靜止，求觀測者所聽到的警笛發(fā)出聲音的頻率是多少？（設空氣中的聲速為）解 觀測者所聽到的警笛發(fā)出的聲音的頻率為