2019-2020年高二上學期期末考試 數(shù)學（理） 含答案.doc
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2019-2020年高二上學期期末考試 數(shù)學（理） 含答案 一、選擇題：（每題5分） 1．若復數(shù)滿足，則等于 A．2+4i B．2-4i C．4-2i D．4+2i 2. 用反證法證明：若整系數(shù)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理數(shù)根，那么a、b、c中至少有一個是偶數(shù)．用反證法證明時，下列假設正確的是( ) A．假設a、b、c都是偶數(shù) B．假設a、b、c都不是偶數(shù) C．假設a、b、c至多有一個偶數(shù) D．假設a、b、c至多有兩個偶數(shù) 3．若向量＝(1,1，x)，＝(1,2,1)，＝(1,1,1)，滿足條 件(－)·(2)＝－2，則x的值為( ) A．1 B．2 C．3 D．4 4．曲線在點處的切線的縱截距為（ ） Ａ．- Ｂ．- Ｃ． Ｄ． 5．如圖，在底面ABCD為平行四邊形的四棱柱ABCD-A1B1C1D1 中，M 是AC與BD的交點，若， 則下列向量中與相等的向量是（ ） A． B. A B C O D F C． D． 6．如圖，ABCD是邊長為1的正方形，O為AD中點，拋物 線F的頂點為O且通過點C，則陰影部分的面積為( ) A． B． C． D． 7．正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為1，點M在上且＝，N為B1B的中點，則||為( ) A. B. C. D. (1) (2) (3) (4) (5) 8. 如圖，第(1)個圖案由1個點組成，第(2)個圖案由3個點組成，第(3)個圖案由7個點組成，第(4)個圖案由13個點組成，第(5)個圖案由21個點組成，……，依此類推，根據(jù)圖案中點的排列規(guī)律,第100個圖形由多少個點組成（ ） A. 9900 B. 9901 C. 9902 D. 9903 9. 設，若函數(shù)，，有大于零的極值點，則（ ） A． B． C． D． 10. 已知，是區(qū)間上任意兩個值，恒成立，則M的最小值是（ ） A. -2 B. 0 C. 2 D. 4 11. 若上是減函數(shù)，則的取值范圍是（ ） A. B. C. D. 12．已知定義在R上的奇函數(shù)為f(x)，導函數(shù)為，當時，恒有 ，令F(x)=xf(x)，則滿足F(3)>F(2x-1)的實數(shù)x的取值范圍是( ) A．(-1,2) B. (-1,) C. (-2,) D. (-2,1) 二、填空題：（每題5分） 13．函數(shù)在區(qū)間上的最小值是＿＿＿＿． 14．設平面α與向量＝(－1,2，－4)垂直，平面β與向量＝(2,3,1)垂直，則平面α與β的位置關系是________． 15. 設n為正整數(shù)，f(n)＝1＋＋＋…＋，計算得f(2)＝，f(4)>2，f(8)>，f(16)>3， 觀察上述結(jié)果，可推測一般的結(jié)論為_____________________． 16．已知二次函數(shù)的導數(shù)為，，對于任意實數(shù)都有，則的最小值為________. 三、解答題： 17.（本小題滿分10分） 已知a>0,b>0，求證： 18.（本小題滿分12分） 直三棱柱ABC－A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°， D、E分別為AB、BB′的中點． (1)求證：CE⊥A′D； (2)求異面直線CE與AC′所成角的余弦值． 19.（本小題滿分12分） 用數(shù)學歸納法證明：. 20.（本小題滿分12分） 在四棱錐中，底面，， , 且. (1)若是的中點，求證：平面; (2)求二面角的余弦值． 21．(本小題滿分12分) 設函數(shù)f(x)=(x2-x-)eax (a>0，a∈R)) (1)當a=2時，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間. (2)若不等式f(x)+≥0對x∈(0,+∞)恒成立，求a的取值范圍. 22. （本小題滿分12） 已知，其中是自然常數(shù)， （1）討論時, 的單調(diào)性、極值； （2）求證：在（1）的條件下，； （3）是否存在實數(shù)，使的最小值是，如果存在，求出的值；如果不存在，說明理由． 高二期末數(shù)學(理科)試卷參考答案 一、選擇題：（每題5分） 題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C B B A D C D B A D C A 二、填空題：（每題5分） 13． 14．垂直 15. f()≥ 16． 2 三、解答題： 17．法1：∵a>0,b>0 ∴ ∴ 法2：要證： 只需證： 只需證： 只需證： 只需證：恒成立 ∴ 18.．解：(1)證明：設 ＝a， ＝b， ＝c， 根據(jù)題意，|a|＝|b|＝|c|且a·b＝b·c＝c·a＝0， ∴ ＝b＋c， ＝－c＋b－a. ∴ · ＝－c2＋b2＝0， ∴ ⊥ ，即CE⊥A′D. (2) ＝－a＋c，∴| |＝|a|，| |＝|a|. ·＝(－a＋c)·(b＋c)＝c2＝|a|2， ∴cos〈 ，〉＝＝. 即異面直線CE與AC′所成角的余弦值為. 19.證明：①n=1時，左=，右=，等式成立 ②假設n=k時， 當n=k+1時， 即：n=k+1時，等式成立，由①②知，對一切nN+,等式成立。 20. 解：（1）如圖，建立空間直角坐標系．連接,易知為等邊三角形，，則 ．又易知平面的法向量 為 , 由,得 , 所以平面………………………6分 (2)在中，,則,由正弦定理, 得,即，所以，． 設平面的法向量為， 由， 令，則，即…………………10分 又平面的法向量為, 所以，． 即二面角的余弦值為………………………13分 21..對函數(shù)求導得 f(x)=eax(ax+2)(x-1)…………….2分 (1)當a=2時，f’(x)=e2x(2x+2)(x-1), 令f’(x)>0, x>1,或x<-1………3分 所以f(x)的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，-1），（1，+∞），單調(diào)減區(qū)間為（-1，1）……5分 （2）令f’(x)=0, (ax+2)(x-1)=0解得x=-或x=1,因為a>0,x∈(0,+∞)…….7分 x (0,1) 1 （1，+∞） f’(x) — 0 + f(x) 減函數(shù) 極小值 增函數(shù) 由表可知函數(shù)在x=1時取得極小值f(1)=-ea……………………………………10分 因為不等式f(x)+≥0,對x∈(0,+∞)恒成立，所以-ea+≥0,解得0
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