[中學聯(lián)盟]湖北省荊州市沙市第五中學高中數(shù)學選修1-134生活中的優(yōu)化問題舉例課件（共23張ppt）

3.4生活中的優(yōu)化問題舉例,作者：沙市五中 任啟林,高二數(shù)學 選修1-1,知識回顧,一、如何判斷函數(shù)函數(shù)的單調(diào)性？,f(x)為增函數(shù),f(x)為減函數(shù),二、如何求函數(shù)的極值與最值？,知識背景：,生活中經(jīng)常遇到求利潤最大、用料最省、效率最高等問題，這些問題通常稱為優(yōu)化問題.通過前面的學習，我們知道，導數(shù)是求函數(shù)最大（小）值的有力工具，本節(jié)我們運用導數(shù)，解決一些生活中的 優(yōu)化問題.,例1：海報版面尺寸的設計 學?；虬嗉壟e行活動，通常需要張貼海報進行宣傳?，F(xiàn)讓你設計一張如圖3.4-1所示的豎向張貼的海報，要求版心面積為128dm2，上、下兩邊各空2dm，左、右兩邊各空1dm，如何設計海報的尺寸，才能使四周空白面積最小？,圖3.4-1,因此，x=16是函數(shù)S(x)的極小值，也是最小值點。所以，當版心高為16dm，寬為8dm時，能使四周空白面積最小。,解法二：由解法(一)得,問題2:飲料瓶大小對飲料公司利潤有影響嗎?,你是否注意過,市場上等量的小包裝的物品一般比大包裝的要貴些?你想從數(shù)學上知道它的道理嗎? 是不是飲料瓶越大,飲料公司的利潤越大?,例2：飲料瓶大小對飲料公司利潤的影響 下面是某品牌飲料的三種規(guī)格不同的產(chǎn)品，若它們 的價格如下表所示，則 （1）對消費者而言，選擇哪一種更合算呢？ （2）對制造商而言，哪一種的利潤更大？,某制造商制造并出售球形瓶裝的某種飲料，瓶子的制造成本是0.8pr2分，其中r是瓶子的半徑，單位是厘米，已知每出售1ml的飲料，制造商可獲利0.2分，且制造商能制造的瓶子的最大半徑為6cm，()瓶子半徑多大時，能使每瓶飲料的 利潤最大？ (）瓶子半徑多大時，每瓶飲料的利潤最小？,-,+,減函數(shù),增函數(shù),-1.07p,每瓶飲料的利潤：,背景知識,解：由于瓶子的半徑為r，所以每瓶飲料的利潤是,當半徑r時，f (r)0它表示 f(r) 單調(diào)遞增， 即半徑越大，利潤越高； 當半徑r時，f (r)<0 它表示 f(r) 單調(diào)遞減， 即半徑越大，利潤越低,1.半徑為cm 時，利潤最小，這時,表示此種瓶內(nèi)飲料的利潤還不夠瓶子的成本， 此時利潤是負值,半徑為cm時，利潤最大,1、當半徑為2cm時,利潤最小,這時f(2)<0,2、當半徑為6cm時，利潤最大。,從圖中可以看出:,從圖中，你還能看出什么嗎？,問題3、磁盤的最大存儲量問題,(1) 你知道計算機是如何存儲、檢索信息的嗎？ (2) 你知道磁盤的結(jié)構(gòu)嗎？,(3)如何使一個圓環(huán)狀的磁 盤存儲盡可能多的信息？,例3：現(xiàn)有一張半徑為R的磁盤，它的存儲區(qū)是半徑介于r與R的環(huán)行區(qū)域。,是不是r越小，磁盤的存 儲量越大？,(2) r為多少時，磁盤具有最大存儲量 （最外面的磁道不存儲任何信息）？,解：存儲量=磁道數(shù)每磁道的比特數(shù),設存儲區(qū)的半徑介于r與R之間，由于磁道之間的寬度必須大于m，且最外面的磁道不存儲人何信息，所以 磁道最多可達 又由于每條磁道上的比特數(shù)相 同，為獲得最大的存儲量，最內(nèi)一條磁道必須裝滿，即 每條磁道上的比特數(shù)可達到 所以，磁道總存儲量,（1）它是一個關于r的二次函數(shù)，從函數(shù)的解析式上可以判斷，不是r越小，磁盤的存儲量越大.,(2)為求 的最大值，計算,令,解得,因此，當 時，磁道具有最大的存儲量，最大 存儲量為,由上述例子，我們不難發(fā)現(xiàn)，解決優(yōu)化問題的基本思路是：,優(yōu)化問題,用函數(shù)表示的數(shù)學問題,用導數(shù)解決數(shù)學問題,優(yōu)化問題的答案,上述解決優(yōu)化問題的過程是一個典型的數(shù)學建模過程。,解:設箱底邊長為x,則箱高h=(60-x)/2.箱子容積 V(x)=x2h=(60 x2-x3)/2(0<x<60).,令 ,解得x=0(舍去),x=40.且V(40)= 16000.,由題意可知,當x過小(接近0)或過大(接近60)時,箱子的容積很小,因此,16000是最大值.,答:當x=40cm時,箱子容積最大,最大容積是16000cm3.,練習1:在邊長為60cm的正 方形鐵皮 的四角切去相等的正方形,再把 它的邊沿虛線折起(如圖),做成一 個無蓋的方底箱子,箱底邊長為 多少時,箱子的容積最大?最大容積是多少?,解:設箱底邊長為x,則箱高h=(60-x)/2.箱子容積 V(x)=x2h=(60 x2-x3)/2(0<x<60).,令 ,解得x=0(舍去),x=40.且V(40)= 16000.,由題意可知,當x過小(接近0)或過大(接近60)時,箱子的容積很小,因此,16000是最大值.,答:當x=40cm時,箱子容積最大,最大容積16000cm3.,練習：,練習2:某種圓柱形的飲料罐的容積一定時,如何確定它的高與底半徑,使得所用材料最省?,R,h,解 設圓柱的高為h,底面半徑為R.,則表面積為 S(R)=2Rh+2R2.,又V=R2h(定值),即h=2R.,可以判斷S(R)只有一個極值點,且是最小值點.,答 罐高與底的直徑相等時, 所用材料最省.,解:設B(x,0)(0<x<2), 則 A(x, 4x-x2).,從而|AB|= 4x-x2,|BC|=2(2-x).故矩形ABCD的面積 為:S(x)=|AB|BC|=2x3-12x2+16x(0<x<2).,令 ,得,所以當 時,因此當點B為 時,矩形的最大面積是,練習4:已知x,y為正實數(shù),且x2-2x+4y2=0,求xy的最大值.,解:由x2-2x+4y2=0得:(x-1)2+4y2=1.,設 ,由x,y為正實數(shù)得:,設,令 ,得 又,又f(0)=f()=0,故當 時,練習5:證明不等式:,證:設,則,令 ,結(jié)合x0得x=1.,而01時, ,所以x=1是f(x)的極小值點.,所以當x=1時,f(x)取最小值f(1)=1.,從而當x0時,f(x)1恒成立,即: 成立.,