無限長單位脈沖響應(yīng)(IIR)濾波器設(shè)計

33 從模擬濾波器低通原型到各種數(shù)字濾波器的頻率變換（原型變換）,對于模擬濾波器,已經(jīng)形成了許多成熟的設(shè)計方案，如巴特沃茲濾波器,切比雪夫濾波器,考爾濾波器,每種濾波器都有自己的一套準(zhǔn)確的計算公式，同時，也已制備了大量歸一化的設(shè)計表格和曲線，為濾波器的設(shè)計和計算提供了許多方便，因此在模擬濾波器的設(shè)計中，只要掌握原型變換，就可以通過歸一化低通原型的參數(shù)，去設(shè)計各種實際的低通、高通、帶通或帶阻濾波器。這一套成熟、有效的設(shè)計方法，也可通過前面所討論的各種變換應(yīng)用于數(shù)字濾波器的設(shè)計，具體過程如下： 原型變換 映射變換 原型變換 也可把前兩步合并成一步，直接從模擬低通歸一化原型通過一定的頻率變換關(guān)系，完成各類數(shù)字濾波器的設(shè)計,模擬原型,模擬低通、高通 帶通、帶阻,數(shù)字低通、高 通帶通、帶阻,下面舉例討論應(yīng)用模擬濾波器低通原型，設(shè)計各種數(shù)字濾波器的基本原理，著重討論雙線性變換法。 一低通變換 通過模擬原型設(shè)計數(shù)字濾波器的四個步驟： 1）確定數(shù)字濾波器的性能要求，確定各臨界頻率k。 2）由變換關(guān)系將k映射到模擬域，得出模擬濾波器的 臨界頻率值k。 3）根據(jù)k設(shè)計模擬濾波器的Ha(s) 4） 把Ha(s) 變換成 H(z)（數(shù)字濾波器傳遞函數(shù)）,例1,設(shè)采樣周期 ,設(shè)計一個三階巴特沃茲LP濾波器,其3dB截止頻率fc=1khz。分別用脈沖響應(yīng)不變法和雙線性變換法求解。 解：a. 脈沖響應(yīng)不變法 由于脈沖響不變法的頻率關(guān)系是線性的，所以可直接按c =2fc設(shè)計Ha(s)。根據(jù)上節(jié)的討論，以截止頻率c 歸一化的三階巴特沃茲 濾波器的傳遞函數(shù)為： 以 代替其歸一化頻率，得：,也可以查表得到。由手冊中查出巴特沃茲多項式的系數(shù)，之后以 代替歸一化頻率，即得 。 將 代入，就完成了模擬濾波器的設(shè)計，但為簡化運算，減小誤差積累，fc數(shù)值放到數(shù)字濾波變換后代入。,為進(jìn)行脈沖響應(yīng)不變法變換，計算Ha(S)分母多項式的 根，將上式寫成部分分式結(jié)構(gòu)： 對照前面學(xué)過的脈沖響應(yīng)不變法中的部分分式形式有 將上式部分系數(shù)代入數(shù)字濾波器的傳遞函數(shù)： , -極點,并將 代入，得： 合并上式后兩項，并將 代入，計算得：,可見，H（Z）與采樣周期T有關(guān)，T越小，H（Z）的相對增益越大，這是不希望的。為此，實際應(yīng)用脈沖響應(yīng)不變法時稍作一點修改，即求出H（Z）后，再乘以因子T,使H（Z）只與 有關(guān)，即只與fc和fs的相對值有關(guān)，而與采樣頻率fs無直接關(guān)系。 最后得： 例如， 與 的數(shù)字濾波器具有相同的傳遞函數(shù),這一結(jié)論適合于所有的數(shù)字濾波器設(shè)計。,b. 雙線性變換法 P85例4 （一）首先確定數(shù)字域臨界頻率 （二）根據(jù)頻率的非線性關(guān)系，確定預(yù)畸的模擬濾波器臨界頻率 (三 ) 以 代入歸一化的三階巴特沃模擬器傳遞函數(shù) 并將 代入上式。 （四）將雙線性變換關(guān)系代入，求H(Z)。,圖1 三階Butterworth 數(shù)字濾波器的頻響,脈沖響應(yīng)不變法,雙線性變換法,fs/2,0,200,400,600,800,1000,1200,1400,1600,1800,2000,0,0.1,0.2,0.3,0.4,0.5,0.6,0.7,0.8,0.9,1,頻率/Hz,圖3.14 三階巴特沃茲濾波器的頻率響應(yīng),幅 值,圖1為兩種設(shè)計方法所得到的頻響，對于雙線性變換法，由于頻率的非線性變換，使截止區(qū)的衰減越來越快，最后在折 疊頻率處 形成一個三階傳輸零點,這個三階零點正是模擬濾波器在 處的三階傳輸零點通過映射形成的。因此,雙線性變換法使過渡帶變窄,對頻率的選擇性改善,而脈沖響應(yīng)不變法存在混淆,且沒有傳輸零點。,二.高通變換 設(shè)計高通、帶通、帶阻等數(shù)字濾波器時，有兩種方法： 先設(shè)計一個相應(yīng)的高通、帶通或帶阻模擬濾波器，然后通過脈沖響應(yīng)不變法或雙線性變換法轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器。 模擬原型 模擬高通、帶通、帶阻 數(shù)字高通、帶通、帶阻 設(shè)計方法同上面討論的低通濾波器的設(shè)計。 即確定 轉(zhuǎn)換為相應(yīng)的 高通、帶通、帶阻 模擬濾波器的設(shè)計 Ha(s) H(Z) 直接利用模擬濾波器的低通原型，通過一定的頻率變換關(guān)系，一步完成各種數(shù)字濾波器的設(shè)計。 頻率變換 模擬原型 數(shù)字低通、高通、帶通、帶阻,這里只討論第二種方法。因其簡捷便利，所以得到普遍采用。 變換方法的選用： 脈沖響應(yīng)不變法：對于高通、帶阻等都不能直接采用，或只 能在加了保護(hù)濾波器后才可使用。因此，使 用直接頻率變換（第二種方法），對脈沖響 應(yīng)不變法要有許多特殊的考慮，它一般應(yīng)用 于第一種方法中。 雙線性變換法：下面的討論均用此方法，實際使用中多數(shù)情況 也是如此。 基于雙線性變換法的高通濾波器設(shè)計： 在模擬濾波器的高通設(shè)計中，低通至高通的變換就是S變量的倒置，這一關(guān)系同樣可應(yīng)用于雙線性變換，只要將變換式中的S代之以1/S，就可得到數(shù)字高通濾波器. 即,由于倒數(shù)關(guān)系不改變模擬濾波器的穩(wěn)定性，因此，也不會影響雙線變換后的穩(wěn)定條件，而且 軸仍映射在單位圓上，只是方向顛倒了。 即,如圖,映射到 即 映射到 即 圖1 高通變換頻率關(guān)系 這一曲線的形狀與雙線性變換時的頻率非線性關(guān)系曲線相對應(yīng)，只是將 坐標(biāo)倒置，因而通過這一變換后可直接將模擬低通變?yōu)閿?shù)字高通,如圖2。,1.0,1.0,0,圖2 高通原型變換,應(yīng)當(dāng)明確： 所謂高通DF，并不是高到 ，由于數(shù)字頻域存在 折疊頻 率 ，對于實數(shù)響應(yīng)的數(shù)字濾波器， 部分只是 的鏡象部分，因此有效的數(shù)字域僅是 ，高通也僅指這一段的高端，即到 為止的部分。 高通變換的計算步驟和低通變換一樣。但在確定模擬原型 預(yù)畸的臨界頻率時，應(yīng)采用 ,不必加負(fù) 號，因臨界頻率只有大小的意義而無正負(fù)的意義。,例,： 采樣 設(shè)計一個三階切比雪夫高通DF，其通過頻率 （但不必考慮 以上的頻率分量），通帶內(nèi)損耗不大于1dB。 解：首先確定數(shù)字域截止頻率 , 則 切比雪夫低通原型的模函數(shù)為： 為N階切比雪夫多項式,通帶損耗 時， N=3時, 系統(tǒng)函數(shù)為（可由MATLAB計算獲得）：,為方便，將 和 S 用T/2歸一化， 則,于是,圖3 三階切比雪夫高通頻響,例5（書上 ） 設(shè)計一數(shù)字高通濾波器，它的通帶為400 500Hz，通帶內(nèi)容許有0.5dB的波動，阻帶內(nèi)衰減在小于317Hz的頻帶內(nèi)至少為19dB，采樣頻率為1,000Hz。確定最小階數(shù) N。 模擬切比雪夫濾波器設(shè)計中階數(shù)的確定公式為 求得最小的N：,wc=2*1000*tan(2*pi*400/(2*1000); wt=2*1000*tan(2*pi*317/(2*1000); N,wn=cheb1ord(wc,wt,0.5,19,s); B,A=cheby1(N,0.5,wn,high,s); num,den=bilinear(B,A,1000); h,w=freqz(num,den); f=w/pi*500; plot(f,20*log10(abs(h); axis(0,500,-80,10); grid; xlabel() ylabel(幅度/dB),三帶通變換 如圖1 ,如果數(shù)字頻域上帶通的中心頻率為 ，則帶通變換的目的是將: （頻率映射關(guān)系具有周期性, 幅頻響應(yīng)具有原點對稱性）。 即將S的原點映射到 ，而將 點映射到 ，滿足這一要求的雙線性變換為：,模擬低通,圖1 帶通原型變換,當(dāng) 時 因此 （帶通變換關(guān)系 ）,圖中 點正好映射在 上，而 映射在 ， 兩端，因此滿足帶通變換的要求。,帶通變換的頻率關(guān)系,穩(wěn)定性證明： 同時，這一變換也滿足穩(wěn)定性要求，設(shè) 由于上式完全是實數(shù)，所以是映射在S平面 軸上。 其中分子永遠(yuǎn)非負(fù)的 ， 因此 的正負(fù)決定于分母 由此證明了，S左半平面映射在單位圓內(nèi)，而右半平面映射在單位圓外，這種變換關(guān)系是穩(wěn)定的變換關(guān)系，可用它來完成帶通的變換，如圖1。,設(shè)計： 設(shè)計帶通時，一般只給出上、下邊帶的截止頻率 作為設(shè)計要求。 為了應(yīng)用以上變換，首先要將上下邊帶參數(shù) 換算成中心頻率 及模擬低通截止頻率 。 為此將 代入變換關(guān)系式： 由于 在模擬低通中是一對鏡象頻率， 代入上面兩等式，求出,例,又 同時也就是模擬低通的截止頻率 ， 有了這兩個參數(shù)就可完成全部計算。 ：采樣 fs=400kHz，設(shè)計一巴特沃茲帶通濾波器，其3dB邊界頻率分別為f2=90kHz,f1=110kHz,在阻帶f3=120kHz處最小衰減大于10dB。 解：確定數(shù)字頻域的上下邊帶的角頻率 求中心頻率：,求模擬低通的通帶截止頻率 與阻帶邊界頻率 ： 從 頻率增加了約1.05倍，衰減增加了（10-3）dB，故選用二階巴特沃茲濾波器可滿足指標(biāo)（查表） 歸一化的系統(tǒng)函數(shù)： 代入 ， 代入變換公式,例6 帶通濾波器設(shè)計,四帶阻變換 把帶通的頻率關(guān)系倒置就得到帶阻變換。,給定,例7 w1=95/500; w2=105/500; B,A=butter(1,w1, w2,stop); h,w=freqz(B,A); f=w/pi*500; plot(f,20*log10(abs(h); axis(50,150,-30,10); grid; xlabel(頻率/Hz) ylabel(幅度/dB),3.4 從低通數(shù)字濾波器到各種數(shù)字濾波器的頻率變換（Z平面變換法）,上一節(jié)討論了由模擬網(wǎng)絡(luò)的低通原型來設(shè)計各種DF的方法，這種原型變換的設(shè)計方法同樣也可直接在數(shù)字域上進(jìn)行。 DF低通原型函數(shù) 這種變換是由 所在的Z平面到H（z）所在的Z平面的一個映射變換。 為便于區(qū)分變換前后兩個不同的Z平面，我們把變換前的 Z平面定義為u平面，并將這一映射關(guān)系用一個函數(shù)g表示： ,各種DF的 H（z）,于是，DF的原型變換可表為：,函數(shù) 的特性： 1) 是 的有理函數(shù)。 2）希望變換以后的傳遞函數(shù)保持穩(wěn)定性不變，因此要求 u的單位圓內(nèi)部必須對應(yīng)于z的單位圓內(nèi)部。 3） 必須是全通函數(shù)。 為使兩個函數(shù)的頻響滿足一定的變換要求，Z的單位圓應(yīng)映射到u的單位圓上，若以 分別表示u平面和Z平面的單位圓，則式為 且必有 ，其中 是 的相位函數(shù)， 即函數(shù)在單位圓上的幅度必須恒為1，稱為全通函數(shù)。,全通函數(shù)的基本特性：,任何全通函數(shù)都可以表示為： 其中 為極點，可為實數(shù)，也可為共軛復(fù)數(shù)，但必須在單位圓以內(nèi)，即 ，以保證變換的穩(wěn)定性不變，*為取共軛。 的所有零點 都是其極點的共軛倒數(shù) N：全通函數(shù)的階數(shù)。 變化時，相位函數(shù) 的變化量為 。 不同的N和 對應(yīng) 各類不同的變換。,下面具體討論幾種原型變換： 低通低通（LP） LPLP的變換中， 和 都是低通函數(shù)，只是截止頻率互不相同（或低通濾波器的帶寬不同），因此當(dāng) 時，相應(yīng)的 ，如圖1(a)，根據(jù)全通函數(shù)相位 變化量為 的性質(zhì)，可確定全通函數(shù)的階數(shù)N=1，且必須滿足以下兩條件： g(1) = 1 , g(-1) = -1 滿足以上要求的映射函數(shù)應(yīng)為： 其中 是實數(shù)，且,圖1(a) LP-LP變換（有對稱性）,代入（1）式，可得到上述變換所反映的頻率變換關(guān)系： 由此得 上式把 ， 。 頻率特性: 呈線性關(guān)系，其余為非線性。 當(dāng) 時， ， 帶寬變窄， 當(dāng) 時， ， 帶寬變寬， 適當(dāng)選擇 ，可使 變換為 ，如上圖所示 。 :低通原型截止頻率， : 變換后截止 頻率,LP-LP頻率變換,圖 LP-LP頻率變換特性,確定 ： 把變換關(guān)系 帶入（2）式 ，有： 得 （2） 式的 頻率關(guān)系，如前圖, LP-HP a .基本思想：上述 LP 變換中的Z代以Z , 則 LP = HP 。,b. 高通變換,或,LP-HP變換把,如圖2（a），,在上述LP-LP 變換中，將 Z代以Z , 得 LP - HP變換關(guān)系：,原型低通的截止頻率 對應(yīng)于高通的邊界頻率 ，欲將 變換到 ，由（2）式， 有：,LP - Hp變換,圖2 (a) LP Hp變換, LP-BP LP-BP變換把帶通的中心頻率 故 N=2。 由以上分析得變換關(guān)系： 或,如圖3(a),全通函數(shù)取負(fù)號。,LP-BP變換,圖3 (a) LP-BP變換,把變換關(guān)系 代入（2）式得 ： 消去 r1，得： 令,確定r1, r2 ：,可證明， 其中 r1,r2代入（2）式，則可確定頻率變換關(guān)系，如圖3（b）。,LP-BP頻率關(guān)系,LPBS 如圖4(a), LPBS變換把帶阻的中心頻率 的變化范圍為 ,故 N=2 又 g(1)=1, 所以，全通函數(shù)取正號。 由以上分析得變換關(guān)系： （1） 或 （2）,LP-BS變換,圖4 (a) LP-BS變換,確定r1, r2 ： 把變換關(guān)系 代入（2）式得 ： 其中 ， r1, r2代入（2）式，得圖4（b）,此頻率變換關(guān)系與前面的分析相吻合。,LP-B S頻率變換關(guān)系,LP-BS變換的又一種實現(xiàn)方法: 由低通到帶阻的變換同樣可以通過旋轉(zhuǎn)變換來完成,但變換的次序與模擬低通到數(shù)字帶阻的次序不同,是先由低通到高通(低阻),再利用3.4.3的方式由低阻到帶阻,即 其中 的求取可利用低通到高通公式, 可利用低通到帶通公式求,最后可求得 ,如書中表格內(nèi)表達(dá)式。,低通,