有限元基礎(chǔ)及應用

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1、有限元基礎(chǔ)及應用,主講：姚林泉 電話:13915587868 E-mail:,課程介紹,一、課程內(nèi)容： 1、有限元法理論基礎(chǔ)； 2、應用ANSYS有限元軟件對汽車/機械結(jié)構(gòu)進行分析。 二、學習方法： 理論與實踐相結(jié)合，即通過應用有限元分析實際問題來掌握有限元理論。 三、學時數(shù)：54學時（36學時理論+18學時實驗） 四、考核方式：平時成績+上機考試+筆試成績,第一章 緒論,1.1 有限元法概述 有限元法誕生于20世紀中葉（1943年），隨著計算機技術(shù)和計算方法的發(fā)展，已成為計算力學和計算工程科學領(lǐng)域里最為有效的方法，它幾乎適用于求解所有連續(xù)介質(zhì)和場的問題。,一、什么是有限元法？,有限元法是將連

2、續(xù)體理想化為有限個單元集合而成，這些單元僅在有限個節(jié)點上相連接，即用有限個單元的集合來代替原來具有無限個自由度的連續(xù)體。,二、有限元法的基本思想,有限元法的基本思想是：“分與合”。 “分”是為了劃分單元，進行單元分析； “合”則是為了集合單元，對整體結(jié)構(gòu)進行綜合分析。 結(jié)構(gòu)離散-單元分析-整體求解,三、有限元法的基本步驟,無論對于什么樣的結(jié)構(gòu)，有限元分析過程都是類似的。其基本步驟為： （1）研究分析結(jié)構(gòu)的特點，包括結(jié)構(gòu)形狀與邊界、載荷工況等； （2）將連續(xù)體劃分成有限單元，形成計算模型，包括確定單元類型與邊界條件、材料特性等；,（3）以單元節(jié)點位移作為未知量，選擇適當?shù)奈灰坪瘮?shù)來表示單元中的位

3、移，再用位移函數(shù)求單元中的應變，根據(jù)材料的物理關(guān)系，把單元中的應力也用位移函數(shù)表示出來，最后將作用在單元上的載荷轉(zhuǎn)化成作用在單元上的等效節(jié)點力，建立單元等效節(jié)點力和節(jié)點位移的關(guān)系。這一過程就是單元特性分析。,（4）利用結(jié)構(gòu)力的平衡條件和邊界條件把各個單元按原來的結(jié)構(gòu)重新連接起來，集合成整體的有限元方程，求解出節(jié)點位移。 重點：對于不同的結(jié)構(gòu)，要采用不同的單元，但各種單元的分析方法又是一致的。,四、有限元法的學習路線,從最簡單的桿、梁及平面結(jié)構(gòu)入手，由淺入深，介紹有限元理論以及應用。利用ANSYS軟件分析問題。,五、有限元法的發(fā)展與應用,有限元法不僅能應用于結(jié)構(gòu)分析，還能解決歸結(jié)為場問題的工程問

4、題，從二十世紀六十年代中期以來，有限元法得到了巨大的發(fā)展，為工程設(shè)計和優(yōu)化提供了有力的工具。,（一）算法與有限元軟件,從二十世紀60年代中期以來，進行了大量的理論研究，不但拓展了有限元法的應用領(lǐng)域，還開發(fā)了許多通用或?qū)Ｓ玫挠邢拊治鲕浖?理論研究的一個重要領(lǐng)域是計算方法的研究，主要有： 大型線性方程組的解法； 非線性問題的解法； 動力問題計算方法。,目前應用較多的通用有限元軟件如下表：,另外還有許多針對某類問題的專用有限元軟件，例如金屬成形分析軟件Deform、Autoform，焊接與熱處理分析軟件SysWeld等。,（二）應用實例,有限元法已經(jīng)成功地應用在以下一些領(lǐng)域： 固體力學：包括強度

5、、穩(wěn)定性、振動和瞬態(tài)問題的分析； 傳熱學； 電磁場； 流體力學 ； 。,轉(zhuǎn)向機構(gòu)支架的強度分析,基于ANSYS的齒輪嚙合仿真,1.2 有限元法在汽車工程中的應用,隨著大型有限元通用程序的推廣和普及以及計算機硬件技術(shù)的飛速發(fā)展，有限元已成為汽車設(shè)計中的重要環(huán)節(jié)，無論在車型改造，還是在新車開發(fā)階段，就產(chǎn)品中的強度、疲勞、振動、噪聲等問題進行設(shè)計計算分析，可提高設(shè)計質(zhì)量，縮短開發(fā)周期，節(jié)省開發(fā)費用，從而真正形成自主的產(chǎn)品開發(fā)能力。,車輛結(jié)構(gòu)由不同的材料組成，其結(jié)構(gòu)也非常復雜，包括板、梁、軸、塊等通過鉚接或焊接而成。 車輛結(jié)構(gòu)承受的載荷也十分復雜，其中包括自重，路面激勵、慣性力及構(gòu)件之間的約束力。,各

6、種汽車結(jié)構(gòu)件都可以應用有限元進行靜態(tài)分析、模態(tài)分析和動態(tài)分析?，F(xiàn)代汽車設(shè)計中，已從早期的靜態(tài)分析為主轉(zhuǎn)化為以模態(tài)分析和動態(tài)分析為主。 汽車結(jié)構(gòu)有限元分析的應用主要體現(xiàn)在以下幾方面： 1.整車及零部件強度和疲勞壽命分析 2.整車及零部件剛度分析 3.整車及零部件模態(tài)及動態(tài)分析 4.汽車NVH（噪聲、振動、聲振粗糙度）分析 5.整車碰撞安全性分析 6.設(shè)計優(yōu)化分析 7.氣動或流場分析 8.熱結(jié)構(gòu)耦合分析,有限元應用實例 接觸問題,有限元應用實例 沖壓成型,有限元應用實例 汽車安全氣囊計算,有限元應用實例 汽車碰撞1,有限元應用實例 汽車碰撞2,有限元應用實例 超彈性,總之，在工業(yè)產(chǎn)品設(shè)計開發(fā)的各個

7、階段，有限元的引入對降低開發(fā)成本，縮短研制周期，實施優(yōu)化設(shè)計等都非常關(guān)鍵且效果顯著。,設(shè)計,計算,判斷（強度，剛度，穩(wěn)定性等）,結(jié)束,不合理,合理,學習有限元需要的基礎(chǔ)知識,線性代數(shù) 數(shù)值計算：數(shù)值代數(shù)、數(shù)值逼近、數(shù)值積分等 彈性力學 變分原理,第 2章 有限元分析過程的概要,2.1 有限元分析的目的和概念,描述可承力構(gòu)件的力學信息一般有三類： (1)位移：構(gòu)件因承載在任意位置上所引起的移動； (2)應變：構(gòu)件因承載在任意位置上所引起的變形狀態(tài)； (3)應力：構(gòu)件因承載在任意位置上所引起的受力狀態(tài)。,為什么采用有限元方法就可以針對具有任意復雜幾何形狀的結(jié)構(gòu)進行分析，并能夠得到準確的結(jié)果呢？,有

8、限元方法是基于“離散逼近”的基本策略，可以采用較多數(shù)量的簡單函數(shù)的組合來“近似”代替非常復雜的原函數(shù)。 一個復雜的函數(shù)，可以通過一系列的基函數(shù)的組合來“近似” ，也就是函數(shù)逼近，其中有兩種典型的方法： (1)基于全域的展開(如采用傅立葉級數(shù)展開)； (2)基于子域的分段函數(shù)組合(如采用分段線性函數(shù)的連接),例：一個一維函數(shù)的兩種展開方式的比較,兩種方法特點,第一種方法（經(jīng)典瑞利-里茲方法(Rayleigh-Ritz )的思想）： 所采用的基本函數(shù)非常復雜，而且是在全域上定義的，但它是高次連續(xù)函數(shù)，一般情況下，僅采用幾個基底函數(shù)就可以得到較高的逼近精度；,第二種方式（有限元方法的思想）： 所采用

9、的基本函數(shù)非常簡單，而且是在子域上定義的，它通過各個子域組合出全域 ，但它是線性函數(shù)，函數(shù)的連續(xù)性階次較低，因此需要使用較多的分段才能得到較好的逼近效果，則計算工作量較大。,基于分段的函數(shù)描述具有非常明顯的優(yōu)勢：,(1)可以將原函數(shù)的復雜性“化繁為簡” ，使得描述和求解成為可能 (2)所采用的簡單函數(shù)可以人工選取，因此，可取最簡單的線性函數(shù)，或取從低階到高階的多項式函數(shù) (3)可以將原始的微分求解變?yōu)榫€性代數(shù)方程。 但分段的做法可能會帶來的問題有： (1) 因采用了“化繁為簡”，所采用簡單函數(shù)的描述的能力和效率都較低， (2) 由于簡單函數(shù)的描述能力較低，必然使用數(shù)量眾多的分段來進行彌補，因此

10、帶來較多的工作量。,2.2 一維階梯桿結(jié)構(gòu)問題的求解,以 1D階梯桿結(jié)構(gòu)為例，詳細給出各種方法求解的過程，直觀地引入有限元分析的基本思路，以此逐步介紹有限元分析的過程。,方法一：材料力學求解,（1）求內(nèi)力,（2）求應力,（3）求應變,（4）求伸長量,（5）求位移,計算結(jié)果圖示,討論：,（1）求解的基本力學變量是力（或應力），由于以上問題非常簡單，而且是靜定問題，所以可以直接求出； （2）對于靜不定問題，則需要變形協(xié)調(diào)方程，才能求解出應力變量，在構(gòu)建問題的變形協(xié)調(diào)方程時，則需要一定的技巧； （3）若采用位移作為首先求解的基本變量，則可以使問題的求解變得更規(guī)范一些，下面就基于 A、B、C 三個點的

11、位移 來進行以上問題的求解。,方法二：節(jié)點位移求解及平衡關(guān)系,要求分別針對每個連接節(jié)點，基于節(jié)點的位移來構(gòu)建相應的平衡關(guān)系，然后再進行求解。,首先分析桿內(nèi)部的受力及變形狀況,節(jié)點 A、B、C的受力狀況，分別建立它們各自的平衡關(guān)系,寫成矩陣形式,代入已知數(shù)值,求解得：,已知,回代求出應變和應力,討論：,物理含義就是內(nèi)力與外力的平衡關(guān)系。內(nèi)力表現(xiàn)為各個節(jié)點上的內(nèi)力，并且可以通過節(jié)點位移來獲取。,方法三：基于位移求解的通用形式,此方程的左端就是桿件的內(nèi)力表達和桿件的內(nèi)力表達之和，這樣就將原來的基于節(jié)點的平衡關(guān)系，變?yōu)橥ㄟ^每一個桿件的平衡關(guān)系來進行疊加。,標準化過程,單元節(jié)點位移,單元節(jié)點外力,單元節(jié)

12、點內(nèi)力,單元節(jié)點的內(nèi)力與外力平衡：,即：,或,其中,為單元的剛度矩陣,例：三連桿結(jié)構(gòu)的有限元分析過程,(1)節(jié)點編號和單元劃分,(2)計算各單元的單元剛度方程,(3)組裝各單元剛度方程,(4)處理邊界條件并求解,(5)求支反力,由方程組的最后一行方程，可求出支反力為,(6)求各個單元的其它力學量（應變、應力）,有限元分析的基本流程,總結(jié)：（1）有限元分析的最主要內(nèi)容，就是研究單元，即首先給出單元的節(jié)點位移和節(jié)點力；（2）然后，基于單元節(jié)點位移與節(jié)點力的相互關(guān)系可以直接獲得相應的剛度系數(shù)，進而得到單元的剛度方程；（3）再針對實際的復雜結(jié)構(gòu)，根據(jù)實際的連接關(guān)系，將單元組裝為整體剛度方程，這實際上也

13、是得到整體結(jié)構(gòu)的基于節(jié)點位移的整體平衡方程。（4）因此，有限元方法的主要任務就是對常用的各種單元（包括 1D、2D、3D問題的單元）構(gòu)造出相應的單元剛度矩陣；（5）當然，如果采用直接法來進行構(gòu)造，會非常煩瑣，而采用能量原理（如：虛功原理或最小勢能原理）來建立相應的平衡關(guān)系則比較簡單，這種方法可以針對任何類型的單元進行構(gòu)建，以得到相應的剛度矩陣，推導單元剛度矩陣的方法的力學基礎(chǔ)在后面介紹。,第3章 桿梁結(jié)構(gòu)分析的有限元方法,一、桿件有限元分析的標準化表征與算例,1 桿件分析的基本力學原理 連接它的兩端一般都是鉸接接頭，因此，它主要是承受沿軸線的軸向力，它不傳遞和承受彎矩。,平衡方程,幾何方程,物

14、理方程,位移邊界條件,力邊界條件,（1）1D問題的基本變量,（2）1D問題的基本方程,（3） 虛功原理及虛功方程,圖（a）所示一平衡的杠桿，對C點寫力矩平衡方程： 圖（b）表示杠桿繞支點C轉(zhuǎn)動時的剛體位移圖： 綜合可得： 即： 上式是以功的形式表述的。表明：圖a的平衡力系在圖b的位移上作功時，功的總和必須等于零。這就叫做虛功原理。,進一步分析。當杠桿處于平衡狀態(tài)時， 和 這兩個位移是不存在的，但是如果某種原因，例如人為地振一下讓它傾斜，一定滿足上式的關(guān)系。 將這個客觀存在的關(guān)系抽象成一個普遍的原理，去指導分析和計算結(jié)構(gòu)。 對于在力的作用下處于平衡狀態(tài)的任何物體，不用考慮它是否真正發(fā)生了位移，而

15、假想它發(fā)生了位移，(由于是假想，故稱為虛位移)，那么，物體上所有的力在這個虛位移上的總功必定等于零。這就叫做虛位移原理，也稱虛功原理。在圖中的 和 所作的功就不是發(fā)生在它本身(狀態(tài)a)的位移上，(因為它本身是平衡的，不存在位移)，而是在狀態(tài)(b)的位移上作的功?？梢?，這個位移對于狀態(tài)(a)來說就是虛位移，亦即是狀態(tài)(a)假象的位移。,虛功原理,必須指出，虛功原理的應用范圍是有條件的，它所涉及到的兩個方面，力和位移并不是隨意的。對于力來講，它必須是在位移過程中處于平衡的力系；對于位移來講，雖然是虛位移，但并不是可以任意發(fā)生的。它必須是和約束條件相符合的微小的剛體位移。 還要注意，當位移是在某個約

16、束條件下發(fā)生時，則在該約束力方向的位移應為零，因而該約束力所作的虛功也應為零。這時該約束力叫做被動力。(如圖中的反力 ，由于支點C沒有位移，故 所作的虛功對于零)。反之，如圖的 和 是在位移過程中作功的力，稱為主動力。因此，在平衡力系中應當分清楚哪些是主動力，哪些是被動力，而在寫虛功方程時，只有主動力作虛功，而被動力是不作虛功的。,虛功原理,虛功原理與虛功方程,虛功原理表述如下： 在力的作用下處于平衡狀態(tài)的體系，當發(fā)生與約束條件相符合的任意微小的剛體位移時，體系上所有的主動力在位移上所作的總功(各力所作的功的代數(shù)和)恒對于零。 虛功原理用公式表示為： 這就是虛功方程，其中P和 相應的代表力和虛

17、位移。,虛功原理-用于彈性體的情況,虛功方程是按剛體的情況得出的，即假設(shè)圖中的杠桿是絕對剛性，沒有任何的變形，因而在方程中沒有內(nèi)功項出現(xiàn)，而只有外功項。 將虛功原理用于彈性變形時，總虛功要包括外力虛功(W)和內(nèi)力虛功(U)兩部分，即： W - U ；內(nèi)力虛功(- U)前面有一負號，是由于彈性體在變形過程中，內(nèi)力是克服變形而產(chǎn)生的，所有內(nèi)力的方向總是與變形的方向相反，所以內(nèi)力功取負值。 根據(jù)虛功原理，總功等于零得： W - U = 0 外力虛功 （W） = 內(nèi)力虛功 （U） 彈性力學中的虛功原理可表達為：在外力作用下處于平衡狀態(tài)的彈性體，如果發(fā)生了虛位移，那么所有的外力在虛位移上的虛功(外力功)

18、等于整個彈性體內(nèi)應力在虛應變上的虛功(內(nèi)力功)。注意這里的虛位移是指僅滿足位移邊界條件 BC(u)的許可位移。,（4）1D問題的虛功原理求解,試函數(shù)（滿位移足邊界條件）：,由虛功原理：,（5）1D問題的最小勢能原理求解,設(shè)有滿足位移邊界條件 BC(u)的許可位移場,計算該系統(tǒng)的勢能(potential energy)為,對于包含有待定系數(shù)的試函數(shù)而言，真實的位移函數(shù)應使得該系統(tǒng)的勢能取極小值，即,由上面的計算可以看出，基于試函數(shù)的方法，包括虛功原理以及最小勢能原理，僅計算系統(tǒng)的能量，實際上就是計算積分，然后轉(zhuǎn)化為求解線性方程，不需求解微分方程，這樣就大大地降低了求解難度。同時，也可以看出，試函

19、數(shù)的方法的關(guān)鍵就是如何構(gòu)造出適合于所求問題的位移試函數(shù)，并且該構(gòu)造方法還應具有規(guī)范性以及標準化，基于“單元”的構(gòu)造方法就可以完全滿足這些要求。,2. 局部坐標系中的桿單元描述,1）桿單元的描述,(1) 單元的幾何及節(jié)點描述,2. 局部坐標系中的桿單元描述,1）桿單元的描述,(2) 單元位移場的表達,該函數(shù)將由兩個端節(jié)點的位移 ， 確定，故?。?單元節(jié)點條件為,將其代回位移試函數(shù)表達式得：,形狀函數(shù)矩陣,(3) 單元應變場的表達,幾何矩陣,(4) 單元應力場的表達,應力矩陣,(5) 單元勢能的表達,單元剛度矩陣,節(jié)點力列陣,(6) 單元的剛度方程,利用最小勢能原理，取極小值，可以得到單元的剛度方

20、程,2. 局部坐標系中的桿單元描述,2）變截面桿單元的推導,標準化過程：,1) 平面桿單元的坐標變換,3. 桿單元的坐標變換,局部坐標系中的節(jié)點位移為,整體坐標系中的節(jié)點位移為,1) 平面桿單元的坐標變換,3. 桿單元的坐標變換,等價變換關(guān)系,寫成矩陣形式,坐標變換矩陣,整體坐標系下剛度方程的推導,整體坐標系下的單元剛度矩陣,整體坐標系下的節(jié)點力列陣,由最小勢能原理可得到整體坐標系中的剛度方程,2） 空間桿單元的坐標變換,局部坐標系中的節(jié)點位移為,整體坐標系中的節(jié)點位移為,桿單元軸線在整體坐標系中的方向余弦為,2） 空間桿單元的坐標變換,剛度矩陣和節(jié)點力的變換與平面情形相同，但,2） 空間桿單

21、元的坐標變換,3.桿結(jié)構(gòu)分析的算例,各桿的彈性模量和橫截面積都為 ，試求解該結(jié)構(gòu)的節(jié)點位移、單元應力以及支反力。,（1） 結(jié)構(gòu)的離散化與編號,（1） 結(jié)構(gòu)的離散化與編號,（2）各個單元的矩陣描述,（2）各個單元的矩陣描述,（3） 建立整體剛度方程,剛度矩陣：,節(jié)點位移：,節(jié)點力：,整體剛度方程為,（3） 建立整體剛度方程,(4) 邊界條件的處理及剛度方程求解,邊界條件 BC(u)為：,(5) 各單元應力的計算,同理，可求出其它單元的應力。,(6) 支反力的計算,將節(jié)點位移的結(jié)果代入整體剛度方程中，可求出,訓練題,1. P.91習題3,4. 等效載荷。 2. 總剛度矩陣組裝方法。,二、 梁件有限

22、元分析的標準化表征與算例,1 梁件分析的基本力學原理,圖. 受分布載荷作用的簡支梁,圖. 梁問題的dx“微段”及受力平衡,梁特征：（1）梁為細長梁 ，可只用 x 坐標來刻畫， （2）主要變形為垂直于 x 的撓度，可只用撓度來描述位移場。 針對這兩個特征，可以對梁沿高度方向的變形做出以下設(shè)定：(1)變形后的直線假定；(2)小變形假定。,應變： (采用 ，沿高度方向滿足直線假定),應力： (采用 ，其它應力分量很小，不考慮)，該變量對應于梁截面上的彎矩 M。,【基本變量】 平面梁的基本變量,位移：,（中性層的撓度）,【基本方程】 平面梁的基本方程,（1） 平衡方程,（2） 幾何方程,（3） 物理方

23、程,（4） 邊界條件,或：,對以上方程進行整理, 有描述平面梁彎曲問題的基本方程：,為梁截面的慣性矩,(y方向的平衡）,(x方向的平衡）,(物理方程）,(幾何方程）,其中：,【求解原理】 （1）簡支梁的微分方程解,這是一個常微分方程，其解的形式為,由四個邊界條件求出待定參數(shù)，最后有結(jié)果,【求解原理】 （2）簡支梁的虛功原理求解,假設(shè)有一個只滿足位移邊界條件 BC(u)的位移場為,該簡支梁的虛應變能為：,由幾何方程：,該簡支梁的外力虛功為,由虛功原理,，則,【求解原理】 （3) 簡支梁的最小勢能原理求解,為提高計算精度，可以選取多項函數(shù)的組合，這里取滿足位移邊界條件 BC(u)的許可位移場為,計

24、算應變能U 為,則為使總勢能( ) 取極小值，則有,相應的外力功W 為,解出 和 后得,注：該方法得到的第一項與前面虛功原理求解出來的結(jié)果相同，與精確解相比，該結(jié)果比前面由虛功原理得到的結(jié)果更為精確，這時因為選取兩項函數(shù)作為試函數(shù)，這也是提高計算精度的重要途徑。以上求解過程所用的試函數(shù)為許可基底函數(shù)的線性組合，因此，上述求解方法也是瑞利-里茲方法。 以上的【求解原理】（2）和（3）都是基于試函數(shù)的能量方法(也稱為泛函極值方法)，基本要點是不需求解原微分方程，但需要假設(shè)一個滿足位移邊界條件 BC(u)的許可位移場。因此，如何尋找或構(gòu)建滿足所需要求的許可位移場是一個關(guān)鍵，并且，還期望這種構(gòu)建許可位

25、移場的方法還應具有標準化和規(guī)范性。下面的重點將討論通過基于“單元”的位移函數(shù)的構(gòu)建就可以滿足這些要求。,【局部坐標系中的平面梁單元 】,【單元構(gòu)造】平面純彎梁單元的描述,(1) 單元的幾何及節(jié)點描述,節(jié)點力列陣為,節(jié)點位移列陣為,(2) 單元位移場的表達,由該單元的節(jié)點位移條件,其中：,叫做單元的形狀函數(shù)矩陣,(3) 單元應變場的表達,由純彎梁的幾何方程，有梁的應變表達式,叫做單元的幾何矩陣，即,(4) 單元應力場的表達,由梁的物理方程,叫做單元的應力矩陣,其中： E 為彈性模量，,(5) 單元勢能的表達,該單元的勢能為,外力功為：,其中：,(6) 單元的剛度方程,由最小勢能原理，將式 中的,

26、對,取極小值，有單元剛度方程,【單元構(gòu)造】 一般平面梁單元的描述,為推導局部坐標系中的一般平面梁單元，在純彎梁的基礎(chǔ)上疊加進軸向位移(由于為線彈性問題，滿足疊加原理)，這時的節(jié)點位移自由度(DOF)共有 6 個。,平面梁單元圖,平面梁單元的節(jié)點位移列陣：,平面梁單元的節(jié)點力列陣：,對應于圖中的節(jié)點位移和式中節(jié)點位移列陣的排列次序，將桿單元剛度矩陣與純彎梁單元剛度矩陣進行組合，可得到單元剛度矩陣，即,【典型例題】 受均布載荷平面梁單元的等效節(jié)點載荷,解答：,討論 1：若憑一種直覺，直接按照靜力等效的方式來進行計算，即，每個節(jié)點各分一半進行靜力等效，則計算出的節(jié)點等效力為,顯然這樣計算出的 M1和

27、M2都是錯誤的！,討論 2：該等效節(jié)點載荷是按照外力功進行計算的，是通用的均布載荷的節(jié)點等效載荷，與節(jié)點的實際約束狀態(tài)沒有關(guān)系。也就是說，圖 （a）中的幾種情況的節(jié)點等效載荷都用式（*）。,(*),【典型例題】 懸臂-簡支平面連續(xù)梁的有限元分析,試確定節(jié)點 3 的豎向位移、節(jié)點 2 和節(jié)點 3 的轉(zhuǎn)角。同時計算節(jié)點 1 和節(jié)點 2 的反力。,解答：由于該梁在其中的一個位置有一個支撐，因此采用兩個梁單元。則該結(jié)構(gòu)的整體節(jié)點位移列陣,該結(jié)構(gòu)的整體剛度方程為,考慮位移邊界條件：,然后，根據(jù)下述關(guān)系求解得各節(jié)點反力和彎矩,注意：轉(zhuǎn)角 在兩個坐標系中是相同的,平面梁單元的坐標變換,設(shè)局部坐標系下的節(jié)點位

28、移列陣為,整體坐標系中的節(jié)點位移列陣為,按照兩個坐標系中的位移向量相等效的原則，可推導出以下變換關(guān)系。,與平面桿單元的坐標變換類似，梁單元在整體坐標系中的剛度方程為,其中：,空間梁單元及坐標變換,1. 空間梁單元,(1) 對應于圖 中的節(jié)點位移,有對應于桿單元的剛度矩陣為,(2) 對應于圖 中的節(jié)點位移,有對應于軸單元的剛度矩陣為,(3) 對應于圖 中 Oxy 平面內(nèi)的節(jié)點位移,(4) 對應于圖中 Oxz 平面內(nèi)的節(jié)點位移,這是梁在 Oxz 平面內(nèi)的純彎曲情形，可得到與上式類似的剛度矩陣，但所對應的節(jié)點位移是不同的。,(6) 將各分剛度矩陣進行組合以形成完整的單元剛度矩陣,2. 空間梁單元的坐

29、標變換,局部坐標系中空間梁單元的節(jié)點位移列陣為,整體坐標系中的節(jié)點位移列陣為,有了坐標變換矩陣，就很容易寫出整體坐標系下的剛度矩陣和剛度方程。,梁單元的常用等效節(jié)點載荷,表 3-4 列出了常用的梁單元在承受非節(jié)點載荷下的節(jié)點載荷等效值，該等效值是根據(jù)外力功的計算公式得到的，因此，它與梁單元的邊界條件沒有關(guān)系(表 3-4 中的圖示雖為固支，這些節(jié)點載荷等效值也可以用在其它邊界情況)。,【典型例題】 三梁平面框架結(jié)構(gòu)的有限元分析,解答：對該問題進行有限元分析的過程如下。,（1） 結(jié)構(gòu)的離散化與編號,節(jié)點位移列陣為,節(jié)點外載列陣為,支反力列陣為,總的節(jié)點載荷列陣為,（2） 各個單元的描述,單元的局部

30、坐標與整體坐標是一致的，則可以直接得到,單元和單元的情況相同，只是節(jié)點編號不同而已，其局部坐標系下的單元剛度矩陣為,這兩個單元軸線的方向余弦為,則可以計算出整體坐標下的單元剛度矩陣（單元和單元）,注意這兩個單元所對應的節(jié)點位移列陣分別為,對于單元：,對于單元：,（3） 建立整體剛度方程,組裝整體剛度矩陣并形成整體剛度方程,其中剛度矩陣的組裝關(guān)系為,（4） 邊界條件的處理及剛度方程求解,該問題的位移邊界條件為,處理該邊界條件后的剛度方程為,求解后的結(jié)果為,第2章 彈性力學基本方程及平面問題的有限元法,2.1 彈性力學簡介,本課程中的有限單元法理論要用到彈性力學的某些基本概念和基本方程。將簡單介紹

31、這些概念和方程，作為彈性力學有限單元法的預備知識。,彈性力學 區(qū)別與聯(lián)系 材料力學,1、研究的內(nèi)容：基本上沒有什么區(qū)別。 彈性力學也是研究彈性體在外力作用下的平衡和運動，以及由此產(chǎn)生的應力和變形。 2、研究的對象：有相同也有區(qū)別。 材料力學基本上只研究桿、梁、柱、軸等桿狀構(gòu)件，即長度遠大于寬度和厚度的構(gòu)件。彈性力學雖然也研究桿狀構(gòu)件，但還研究材料力學無法研究的板與殼及其它實體結(jié)構(gòu)，即兩個尺寸遠大于第三個尺寸，或三個尺寸相當?shù)臉?gòu)件。,彈性力學 區(qū)別與聯(lián)系 材料力學,3、研究的方法：有較大的區(qū)別。 雖然都從靜力學、幾何學與物理學三方面進行研究，但是在建立這三方面條件時，采用了不同的分析方法。材料力

32、學是對構(gòu)件的整個截面來建立這些條件的，因而要常常引用一些截面的變形狀況或應力情況的假設(shè)。這樣雖然大大簡化了數(shù)學推演，但是得出的結(jié)果往往是近似的，而不是精確的。而彈性力學是對構(gòu)件的無限小單元體來建立這些條件的，因而無須引用那些假設(shè)，分析的方法比較嚴密，得出的結(jié)論也比較精確。所以，我們可以用彈性力學的解答來估計材料力學解答的精確程度，并確定它們的適用范圍。,彈性力學 區(qū)別與聯(lián)系 材料力學,例如，材料力學在研究有孔的拉伸構(gòu)件通常就假定拉應力在凈截斷面均勻分布。,彈性力學 區(qū)別與聯(lián)系 材料力學,總之，彈性力學與材料力學既有聯(lián)系又有區(qū)別。它們都同屬于固體力學領(lǐng)域，但彈性力學比材料力學，研究的對象更普遍，

33、分析的方法更嚴密，研究的結(jié)果更精確，因而應用的范圍更廣泛。 但是，彈性力學也有其固有的弱點。由于研究對象的變形狀態(tài)較復雜，處理的方法又較嚴謹，因而解算問題時，往往需要冗長的數(shù)學運算。但為了簡化計算，便于數(shù)學處理，它仍然保留了材料力學中關(guān)于材料性質(zhì)的假定。,彈性力學基本方程,一 、彈性力學中的幾個基本概念： 1、體力，是分布于物體體積內(nèi)的外力，如重力、磁力、慣性力等。單位體積內(nèi)的體力亦可分解為三個成分，用記號X、Y、Z表示。 2、面力，是分布于物體表面的力，如靜水壓力，一物體與另一物體之間的接觸壓力等。單位面積上的表面力通常分解為平行于座標軸的三個成分，用記號 來表示。,3、 內(nèi)力、平均應力和應

34、力 （1）內(nèi)力（Internal forces）：是物體本身不同部分之間相互作用的力； （2）平均應力（ the average stress ）：設(shè)作用在包含P點某一個截面mn上的單元面積（ elementary area ）A 上的力為F ，則F/A 稱為A 上的平均應力； （3）應力：如果假設(shè)內(nèi)力分布連續(xù)，命 A無 限減小并趨向P點, 則F/A 將趨向一個極限 p:這個極限P就叫做物體在截面mn上，在P點的應力。,彈性體受外力以后，其內(nèi)部將產(chǎn)生應力。,內(nèi)力、平均應力和應力的概念,4. 正應力和切應力的概念 正應力：應力在作用截面法線方向的分量；切應力：應力在作用截面切線方向的分量。 正平

35、行六面體應力：從物體中取出一個微小的正平行六面體，它的棱邊分別平行于三個坐標軸，長度分別為x, y, z.正平行六面體應力如圖所示.,(1) 應力的表示 正應力用表示. 它的下表表示作用方向.如x 表示正應力沿著 x 方向;剪應力用 表示, 它有兩個下表, 例如xy 表示剪應力作用在垂直 x軸的平面上, 但沿著 y方向. (2)應力的符號 如果一個截面的外法線沿著坐標軸的正方向，這個面就稱為正面，這個面上的應力就以沿著坐標軸的正方向為正；沿著坐標軸的負方向為負。,這個應力符號的規(guī)定與材料力學的不同, 在材料力學中: 正應力的符號為拉為正, 壓為負; 而剪應力為正面向下的為正; 負面向上為正.

36、或用右手法則確定:右手姆指沿面的外法線時,其余四個手指反時針為正, 順時針為負.,材料力學中正的剪應力,彈性力學中正的剪應力,剪應力互等定律 作用在兩個互相垂直的面上并且垂直于該兩面交線的剪應力是互等的。(大小相等，正負號也相同)。因此剪應力記號的兩個角碼可以對調(diào)。,可以證明:如果 這六個量在P點是已知的，就可以求得經(jīng)過該點的任何面上的正應力和剪應力，因此，這六個量可以完全確定該點的應力狀態(tài)，它們就稱為在該點的應力分量。 一般說來，彈性體內(nèi)各點的應力狀態(tài)都不相同，因此，描述彈性體內(nèi)應力狀態(tài)的上述六個應力分量并不是常量，而是坐標x、y、z的函數(shù)。 六個應力分量的總體，可以用一個列矩陣 來表示：,

37、5、形變和正應變、剪應變的概念 （1）形變: 形狀的改變，它包含長度和角度的改變。 （2）正應變： 各線段單位長度的伸縮。以伸長為正；縮短為負。 （3）剪應變： 各線段之間的直角的改變。,6、位移 是指位置的移動. 它在 x, y 和 z 軸上的投影用 u, v 和 w, 來表示。它的符號是沿坐標軸正向為正，沿坐標軸負向為負。,二、彈性力學中關(guān)于材料性質(zhì)的基本假定,(1) 連續(xù)性:假定物體是連續(xù). 即整個物體的體積都被組成這個物體的介質(zhì)所填滿, 不留任何空隙. 這樣,物體內(nèi)的物理量,例如應力形變和應變, 才可能是連續(xù)的, 才可以用連續(xù)函數(shù)來表示; (2) 完全彈性:假定物體是完全彈性的.所謂彈

38、性, 是指物體在引起形變的外力被除去以后能恢復原形的性質(zhì). 而完全彈性是指物體能完全恢復原形而沒有任何剩余變形. (3) 均勻性:假定物體是均勻的, 整個物體由同一材料組成. (4) 各向同性:假定物體是各向同性的, 即物體的彈性性質(zhì)在所有各個方向都相同. 符合以上四個假定的物體, 稱為理想彈性體.,(5) 小變形假定:假定物體的位移和形變是微小的. 即物體的位移遠小于物體原來的尺寸, 而且應變和轉(zhuǎn)角都遠小于1. 因此, 本課程所討論的問題, 都是理想彈性體的小變形問題.,三、彈性力學的研究方法,在彈性體內(nèi)部, 考慮靜力學, 幾何學和物理學三方面條件, 分別建立三套基本方程. 此外, 在彈性體

39、的邊界上, 建立邊界條件.,位移邊界條件,邊界條件,應力邊界條件,彈性力學的基本變量,彈性力學的基本方程-平衡方程,由物體的受力平衡條件建立的方程：,彈性力學的基本方程-幾何方程,由物體的受力變形后，各應變分量和位移分量的 關(guān)系建立的方程：,彈性力學的基本方程-物理方程,由物體材料本身的物理特性建立的方程， 其中E-彈性模量； -泊松比；G-剪切彈性模量。 且對各向同性材料，,在限元法中，物理方程可表示為：,彈性力學的基本方程-邊界條件,四、彈性力學問題的解法,空間彈性力學問題共有15個方程，3個平衡方程，6個幾何方程，6個物理方程。其中包括6個應力分量 ，6個應變分量 ，3個位移分量 ，共有

40、15個未知函數(shù)，在給定邊界條件時，問題是可解的。 彈性力學問題的提法是，給定作用在物理全部邊界或內(nèi)部的作用，求解物理由此產(chǎn)生的應力場和位移場。,按照三種不同的邊界條件，彈性力學問題可分為應力邊界條件問題、位移邊界問題和混合邊界。 由于有限元模型是對實際結(jié)構(gòu)的反映，對有限元模型施加合適的載荷條件和邊界條件，是正確求解有限元解的關(guān)鍵。,根據(jù)先求出的基本未知量的不同，彈性力學問題有三種方法：,（1）應力法：以應力分量作為基本未知量，此時將一切未知量和基本方程都轉(zhuǎn)換為用應力表示。求得應力分量后，由物理方程求應變分量，再由幾何方程求出位移分量。 （2）位移法：以位移分量作為基本未知量，此時將一切未知量和

41、基本方程都轉(zhuǎn)換為用位移表示。求得位移分量后，用幾何方程求應變分量，再由物理方程求應力分量。目前，有限元法中多采用位移法的思想。 （3）混合法：采用各點的一部分位移分量和一部分應力分量作為基本未知量，混合求解。,五、 虛功原理及虛功方程,圖1-8a示一平衡的杠桿，對C點寫力矩平衡方程： 圖1-8b表示杠桿繞支點C轉(zhuǎn)動時的剛體位移圖： 綜合可得： 即： 上式是以功的形式表述的。表明：圖a的平衡力系在圖b的位移上作功時，功的總和必須等于零。這就叫做虛功原理。,虛功原理,進一步分析。當杠桿處于平衡狀態(tài)時， 和 這兩個位移是不存在的，但是如果某種原因，例如人為地振一下讓它傾斜，一定滿足上式的關(guān)系。 將這

42、個客觀存在的關(guān)系抽象成一個普遍的原理，去指導分析和計算結(jié)構(gòu)。 對于在力的作用下處于平衡狀態(tài)的任何物體，不用考慮它是否真正發(fā)生了位移，而假想它發(fā)生了位移，(由于是假想，故稱為虛位移)，那么，物體上所有的力在這個虛位移上的總功必定等于零。這就叫做虛位移原理，也稱虛功原理。在圖1-8a中的 和 所作的功就不是發(fā)生在它本身(狀態(tài)a)的位移上，(因為它本身是平衡的，不存在位移)，而是在狀態(tài)(b)的位移上作的功?？梢?，這個位移對于狀態(tài)(a)來說就是虛位移，亦即是狀態(tài)(a)假象的位移。,虛功原理,必須指出，虛功原理的應用范圍是有條件的，它所涉及到的兩個方面，力和位移并不是隨意的。對于力來講，它必須是在位移過

43、程中處于平衡的力系；對于位移來講，雖然是虛位移，但并不是可以任意發(fā)生的。它必須是和約束條件相符合的微小的剛體位移。 還要注意，當位移是在某個約束條件下發(fā)生時，則在該約束力方向的位移應為零，因而該約束力所作的虛功也應為零。這時該約束力叫做被動力。(如圖1-8中的反力 ，由于支點C沒有位移，故 所作的虛功對于零)。反之，如圖1-8中的 和 是在位移過程中作功的力，稱為主動力。因此，在平衡力系中應當分清楚哪些是主動力，哪些是被動力，而在寫虛功方程時，只有主動力作虛功，而被動力是不作虛功的。,虛功原理與虛功方程,虛功原理表述如下： 在力的作用下處于平衡狀態(tài)的體系，當發(fā)生與約束條件相符合的任意微小的剛體

44、位移時，體系上所有的主動力在位移上所作的總功(各力所作的功的代數(shù)和)恒對于零。 虛功原理用公式表示為： 這就是虛功方程，其中P和 相應的代表力和虛位移。,虛功原理-用于彈性體的情況,虛功方程是按剛體的情況得出的，即假設(shè)圖1-8的杠桿是絕對剛性，沒有任何的變形，因而在方程中沒有內(nèi)功項出現(xiàn)，而只有外功項。 將虛功原理用于彈性變形時，總功W要包括外力功(T)和內(nèi)力功(U)兩部分，即： W = T - U ；內(nèi)力功(-U)前面有一負號，是由于彈性體在變形過程中，內(nèi)力是克服變形而產(chǎn)生的，所有內(nèi)力的方向總是與變形的方向相反，所以內(nèi)力功取負值。 根據(jù)虛功原理，總功等于零得： T - U = 0 外力虛功 T

45、 = 內(nèi)力虛功 U 彈性力學中的虛功原理可表達為：在外力作用下處于平衡狀態(tài)的彈性體，如果發(fā)生了虛位移，那么所有的外力在虛位移上的虛功(外力功)等于整個彈性體內(nèi)應力在虛應變上的虛功(內(nèi)力功)。,六、兩種平面問題,彈性力學可分為空間問題和平面問題，嚴格地說，任何一個彈性體都是空間物體，一般的外力都是空間力系，因而任何實際問題都是空間問題，都必須考慮所有的位移分量、應變分量和應力分量。但是，如果所考慮的彈性體具有特殊的形狀，并且承受的是特殊外力，就有可能把空間問題簡化為近似的平面問題，只考慮部分的位移分量、應變分量和應力分量即可。 平面應力問題 平面應變問題,平面應力問題,厚度為t的很薄的均勻木板。

46、只在邊緣上受到平行于板面且不沿厚度變化的面力，同時，體力也平行于板面且不沿厚度變化。 以薄板的中面為xy面，以垂直于中面的任一直線為Z軸。由于薄板兩表面上沒有垂直和平行于板面的外力，所以板面上各點均有： 另外由于平板很薄，外力又不沿厚度變化，可認為在整個薄板內(nèi)各點均有： 于是，在六個應力分量中，只需要研究剩下的平行于XOY平面的三個應力分量，即 ，所以稱為平面應力問題。,平面應力問題,應力矩陣(1-2),可以簡化為：,物理方程(1-10)中后兩式可見，這時的剪應變： 由物理方程(1-10)中的第三式可見： 一般 ， 并不一定等于零，但可由 及 求得，在分析問題時不必考慮。于是只需要考慮 三個應

47、變分量即可，于是應變矩陣(1-3-2)簡化為：,平面應力問題,物理方程(1-10)簡化為： 轉(zhuǎn)化成應力分量用應變分量表示的形式：,平面應力問題,將(1-21)式用矩陣方程表示： 它仍然可以簡寫為： 彈性矩陣D則簡化為：,平面應力問題,只有 三個應變分量需要考慮，所以幾何方程(1-3) 簡化為：,平面應力問題,彈性體的虛功方程(1-17) 簡化為,平面應變問題,一縱向(即Z向)很長，且沿橫截面不變的物體，受有平行于橫截面而且不沿長度變化的面力和體力，如圖1-11所示。 由于物體的縱向很長(在力學上可近似地作為無限長考慮)，截面尺寸與外力又不沿長度變化；當以任一橫截面為xy面，任一縱線為Z軸時，則

48、所有一切應力分量、應變分量和位移分量都不沿Z方向變化，它們都只是x和y的函數(shù)。此外，在這一情況下，由于對稱(任一橫截面都可以看作對稱面)，所有各點都只會有x和y方向的位移而不會有Z方向的位移，即 w = 0 因此，這種問題稱為平面位移問題，但習慣上常稱為平面應變問題。,平面應變問題,既然w = 0，而且u及v又只是x和y的函數(shù)，由幾何方程(1-3-1) 可見 。于是只剩下三個應變分量 ， 幾何方程仍然簡化為方程(1-24)。,平面應變問題,因為 由物理方程(1-11)中后兩式可見 又由物理方程(1-11)中的第三式可見： 在平面應變問題中，雖然 ， 但 一般并不等于零，不過它可以由 及 求得，

49、在分析問題時不必考慮，于是也就只有三個應力分量 需要考慮。,平面應變問題,物理方程(1-11)簡化為：,平面應變問題,將(1-25)式用矩陣方程表示： 它仍然可以簡寫為： 彈性矩陣D則為：,平面應變問題,平面應變問題，由于在Z方向沒有外力，應力和應變也不沿Z方向變化，所以虛功方程(1-25)仍然適用，其中的t可以取為任意數(shù)值，但 必須是這個t范圍內(nèi)的外力。 需要說明一下，工程中有許多問題很接近于平面應變問題，如受內(nèi)壓力的圓管、滾柱軸承中的滾柱等等，但它們的沿Z向長度都不是無限長的。故在靠近兩端的部分，其應力應變狀態(tài)比較復雜，并不符合平面應變問題的條件；因此將這類問題當作平面應變問題來考慮時，對

50、于離開兩端有一定距離的地方，得出的結(jié)果還是相當滿意的；但對靠近兩端的部位，卻有較大的出入，往往需要加以處理。,平面應力問題與平面應變問題,對于兩種平面問題，幾何方程都是(1-24)，虛功方程都是(1-25)，物理方程都是：,平面應力問題與平面應變問題,對于平面應力情況下的彈性矩陣，應該采用(1-23)式， 而對于平面應變則采用(1-28)式， 還可注意，在(1-23)式中，若將E改換為 ，將 改換為 ， 就得出公式(1-28)。,平面應力問題與平面應變問題,在兩種平面問題中，如果 ，則和1-3中(1-4)式相似， 由幾何方程的積分得出： 其中 及 分別代表彈性體沿x及y方向的剛體移動，而 代表

51、彈性體繞Z軸的剛體轉(zhuǎn)動。,2.2 平面問題的有限元法,有限單元法的基本思路： (1) 把物體分成有限大小的單元，單元間用節(jié)點相連接。 (2) 把單元節(jié)點的位移作為基本未知量，在單元內(nèi)的位移，設(shè)成線性函數(shù)(或其它函數(shù))，保證在單元內(nèi)和單元間位移連接。 (3) 將節(jié)點的位移與節(jié)點的力聯(lián)系起來。 (4) 列出節(jié)點的平衡方程，得出以節(jié)點位移表達的平衡方程組。 (5) 求解代數(shù)方程組，得出各節(jié)點的位移，根據(jù)節(jié)點位移求出各單元中的應力。 有限單元法的基本未知量是節(jié)點位移，用節(jié)點的平衡方程來求解。,車輛工程技術(shù)中心,彈性力學平面問題的有限單元法包括三個主要步驟： 1、離散化 2、單元分析 3、單元綜合,1、

52、離散化 有限單元法的基礎(chǔ)是用所謂有限個單元的集合體來代替原來的連續(xù)體，因而必須將連續(xù)體簡化為由有限個單元組成的離散體。對于平面問題，最簡單，因而最常用的單元是三角形單元。這些單元在節(jié)點處用鉸相連，荷載也移置到節(jié)點上，成為節(jié)點荷載。在節(jié)點位移或其某一分量可以不計之處，就在節(jié)點上安置一個鉸支座或相應的連桿支座。,2、單元分析 對三角形單元，建立節(jié)點位移與節(jié)點力之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系.,節(jié)點位移,節(jié)點力,2、單元分析-單元剛度矩陣 取節(jié)點位移作基本未知量。由節(jié)點位移求節(jié)點力： 其中，轉(zhuǎn)換矩陣稱為單元剛度矩陣。單元分析的主要目的就是要求出單元剛度矩陣。 單元分析的步驟可表示如下：,3、單元綜合 將離散化了的各

53、個單元合成整體結(jié)構(gòu)，利用節(jié)點平衡方程求出節(jié)點位移。 在位移法中，主要的任務是求出基本未知量-節(jié)點位移。為此需要建立節(jié)點的平衡方程。,i點總的節(jié)點力應為： 根據(jù)節(jié)點的平衡條件，得 單元e的節(jié)點力，可按式(2-2)用節(jié)點位移表示，代入得到用節(jié)點位移表示的平衡方程。 每個可動節(jié)點有兩個未知位移，有兩個平衡方程，所以方程總數(shù)與未知位移總數(shù)相等，可以求出所有的節(jié)點位移。 單元綜合的目的就是要求出節(jié)點位移。節(jié)點位移求出后，可進一步求出各單元的應力。,2.2.1 平面問題的離散化,對任何工程平面構(gòu)件進行有限元分析，首先都是從簡化其幾何形狀，繪出其平面簡圖入手。連續(xù)體的離散化就是單元網(wǎng)格劃分。平面問題中最常用

54、的單元是三角形和矩形單元。 總之，通過單元劃分，載荷移置以及約束簡化，就形成了有限元模型。,在劃分單元時，應注意以下幾點： （1）單元類型的選擇，主要取決于結(jié)構(gòu)的幾何形狀、施加的載荷類型和要求的計算精度。 （2）單元的大?。淳W(wǎng)格的疏密），從有限元的理論上講，單元劃分越細，節(jié)點布置越多，計算結(jié)果精度越高。但相應要求計算機容量也增大，計算時間也增加。 （3）單元有疏有密，對結(jié)構(gòu)的不同部位可采用不同大小的單元。 （4）不同厚度或不同材料處，應取作為單元的邊界線，而且在該處附近的單元還應劃分的小一些，以盡可能反映出邊線兩側(cè)應力的突變情況。 （5）預留載荷位置，在分布載荷集度變化處和集中力作用處，應布

55、置節(jié)點，以利加載，并且其附近的單元也應劃分的小些，以反映此處的應力變化。,下面單元劃分是否合理？為什么？,2.2.2 單元位移函數(shù),如果彈性體的位移分量是坐標的已知函數(shù)，則可用幾何方程求應變分量，再從物理方程求應力分量。但對一個連續(xù)體，內(nèi)部各點的位移變化情況很難用一個簡單函數(shù)來描繪。 有限單元法的基本原理是分塊近似，即將彈性體劃分成若干細小網(wǎng)格，在每一個單元范圍內(nèi)，內(nèi)部各點的位移變化情況可近似地用簡單函數(shù)來描繪。對每個單元，可以假定一個簡單函數(shù)，用它近似表示該單元的位移。這個函數(shù)稱為位移函數(shù)，或稱為位移模式、位移模型、位移場。 對于平面問題，單元位移函數(shù)可以用多項式表示， 多項式中包含的項數(shù)越

56、多，就越接近實際的位移分布，越精確。但選取多少項數(shù)，要受單元型式的限制。,三節(jié)點三角形單元,六個節(jié)點位移只能確定六個多項式的系數(shù)，所以平面問題的3結(jié)點三角形單元的位移函數(shù)如下， 所選用的這個位移函數(shù)，將單元內(nèi)部任一點的位移定為座標的線性函數(shù)，位移模式很簡單。,位移函數(shù)寫成矩陣形式為：,最終確定六個待定系數(shù),令 （下標i，j，m輪換） 簡寫為,I是單位矩陣， N稱為形態(tài)矩陣， Ni稱為位移的形態(tài)函數(shù),選擇單元位移函數(shù)時，應當保證有限元法解答的收斂性，即當網(wǎng)格逐漸加密時，有限元法的解答應當收斂于問題的正確解答。因此，選用的位移模式應當滿足下列兩方面的條件： (1) 必須能反映單元的剛體位移和常量應

57、變。 6個參數(shù) 到 反映了三個剛體位移和三個常量應變。 (2) 必須保證相鄰單元在公共邊界處的位移連續(xù)性。 (線性函數(shù)的特性),例題：圖示等腰三角形單元，求其形態(tài)矩陣N。,由三角形的面積,本節(jié)利用幾何方程、物理方程，實現(xiàn)用結(jié)點位移表示單元的應變和單元的應力。 用結(jié)點位移表示單元的應變的表達式為 ，B矩陣稱為幾何矩陣。,2.2.3 單元應變和應力,對于平面應力問題:,2.2.4 單元剛度矩陣,單元節(jié)點力與單元位移的關(guān)系式，稱為單元剛度方程組。,單元剛度矩陣的性質(zhì)：,（1）單元剛度矩陣中每個元素有明確的物理意義； （2）剛度矩陣是對稱矩陣； （3）剛度矩陣是奇異矩陣；,另外，單元剛度矩陣取決于：

58、（1）單元的位移函數(shù)； （2）單元的幾何參數(shù)； （3）單元的材料性質(zhì)。,2.2.5 單元等效節(jié)點載荷,連續(xù)彈性體離散為單元組合體時，為簡化受力情況，需把彈性體承受的任意分布的載荷都向節(jié)點移置(分解)，而成為結(jié)點載荷。如果彈性體受承受的載荷全都是集中力，則將所有集中力的作用點取為節(jié)點，就不存在移置的問題，集中力就是節(jié)點載荷。但實際問題往往受有分布的面力和體力，都不可能只作用在節(jié)點上。因此，必須進行載荷移置。如果集中力的作用點未被取為節(jié)點，該集中力也要向結(jié)節(jié)移置。 將載荷移置到節(jié)點上，必須遵循靜力等效的原則。靜力等效是指原載荷與節(jié)點載荷在任意虛位移上做的虛功相等。在一定的位移模式下，移置結(jié)果是唯一

59、的，且總能符合靜力等效原則。,在線性位移模式下，對于常見的一些載荷，可以通過簡單的虛功計算，得出所需的載荷列矩陣。,均質(zhì)等厚度的三角形單元所受的重力，把1/3的重力移到每個節(jié)點,例：,總載荷的2/3移置到節(jié)點i，1/3移置到節(jié)點j，與原載荷同向,常用的等效節(jié)點外載列陣（3節(jié)點三角形單元）,載荷向節(jié)點的移置，可以用普遍公式來表示。 體力的移置 分布面力的移置 在線性位移模式下，用直接計算法簡單；非線性模式下，要用普遍公式計算。,2.2.6 總剛度矩陣,K為總剛度矩陣，R為節(jié)點力分量矩陣。 為節(jié)點位移分量矩陣。 總剛度矩陣性質(zhì)： （1）總剛度矩陣也是對稱矩陣； （2）總剛度矩陣呈稀疏帶狀分布； （

60、3）總剛度矩陣奇異矩陣。,2.2.7 邊界約束條件,有限元法中通常采用兩種方法: 劃行劃行法和乘大數(shù)法. 其中前者適用于簡單的手算練習,后者適合于實際問題的計算機處理.,2.2.8 解題步驟與算例,有限元法的一般分析步驟如下: (1)首先繪出結(jié)構(gòu)的幾何簡圖,在此基礎(chǔ)上將結(jié)構(gòu)離散; (2)其次進行單元分析; (3)組集總剛度矩陣; (4)最終求單元應力和節(jié)點應力.,【單元構(gòu)造】 平面問題的4節(jié)點矩形單元,(1) 單元的幾何和節(jié)點描述,若采用無量綱坐標,單元4個節(jié)點的幾何位置為,(2) 單元位移場的表達,由節(jié)點條件:,其中形函數(shù)：,以無量綱坐標系來表達：,寫成矩陣形式，有,其中，N(x,y)為該單

61、元的形狀函數(shù)矩陣。,(3) 單元應變場的表達,由彈性力學平面問題的幾何方程，有單元應變的表達,(4) 單元應力場的表達,由彈性力學中平面問題的物理方程，可得到單元的應力表達式,(5) 單元勢能的表達,其中，,【單元特征】 4節(jié)點矩形單元的線性應變和應力,由單元的位移表達式可知，4節(jié)點矩形單元的位移在x，y方向呈線性變化，所以稱為雙線性位移模式，正因為在單元的邊界x=a和y=b上，位移是按線性變化的，且相鄰單元公共節(jié)點上有共同的節(jié)點位移值，可保證兩個相鄰單元在其公共邊界上的位移是連續(xù)的，這種單元的位移模式是完備(completeness)和協(xié)調(diào)(compatibility)的，它的應變和應力為一

62、次線性變化，因而比3節(jié)點常應變單元精度高。,例：三角形單元與矩形單元計算精度的比較,試在以下兩種建模情形下求該系統(tǒng)的位移場、應變場、應力場、各個節(jié)點上的支反力、系統(tǒng)的應變能、外力功、總勢能。并比較這種建模方案的計算精度。,兩種建模方案：,整體的節(jié)點位移列陣為,(1) 建模方案1的有限元分析列式,總剛度矩陣為,該系統(tǒng)的剛度方程為,計算各個單元的位移場、應變場、應力場：,位移場、應變場及應力場的分布圖：,該系統(tǒng)的應變能：,外力功：,系統(tǒng)的總勢能：,(2) 建模方案2的有限元分析列式,可求出節(jié)點位移和支反力為,系統(tǒng)的節(jié)點位移列陣為,單元位移場為,應變場為,應力場為,位移場、應變場及應力場的分布圖,該

63、系統(tǒng)的應變能：,外力功：,系統(tǒng)的總勢能：,從以上計算可以看出，用三角形單元計算時，由于形函數(shù)是完全一次式，因而其應變場和應力場在單元內(nèi)均為常數(shù)；而四邊形單元其形函數(shù)帶有二次式，計算得到的應變場和應力場都是坐標的一次函數(shù)，但不是完全的一次函數(shù)，對提高計算精度有一定作用；根據(jù)最小勢能原理，勢能越小，則整體計算精度越高，比較兩種單元計算得到的系統(tǒng)勢能，可以看出，在相同的節(jié)點自由度情況下，矩形單元的計算精度要比三角形單元高。,三角形單元與矩形單元的精細網(wǎng)格的計算比較,4.4 軸對稱問題有限元分析的標準化表征,4.4.1 軸對稱問題的基本變量及方程,反之：,三維,對于平面4節(jié)點等參元，上式剛度矩陣的元素可轉(zhuǎn)化為：,這個積分很難用解析的形式進行積分，一般采用近似的數(shù)值積分方法。常用的是Gauss積分方法。它是一種高精度、高效益的積分方法。,如何確定：,3、應用等參單元應注意以下幾點問題,1）各向長度的相對大?。簡卧L度之比不宜相差太大，接近正方形的單元誤差最小，長寬比很大，誤差也很大。 2）棱邊的曲折：應使單元邊上沒有折點，如邊上不可避免有折點，應使棱邊只有凸出的折點。 3）棱邊的夾角：盡量接近90度。 4）棱邊上節(jié)點的間距：盡量均勻。,