《無限長單位脈沖響應IIR數(shù)字濾波器的設計》.ppt

本章主要內(nèi)容 數(shù)字濾波器的基本概念； 模擬濾波器的設計； 用脈沖響應不變法設計IIR數(shù)字低通濾波器； 雙線性變換法設計IIR數(shù)字低通濾波器；,第五章 無限長單位脈沖響應（IIR）數(shù)字濾波器的設計,1、什么是濾波器(Filter) 濾波：把一個信號處理成另一個信號的過程； 濾波器：是一種具有頻率選擇的網(wǎng)絡（系統(tǒng)），輸入信號的某些頻率分量可以無衰減（或衰減很?。┩ㄟ^，有些頻率分量被阻止（衰減很大）通過。 2、濾波器的分類 模擬濾波器（Analog Filter，AF）； 數(shù)字濾波器（Digital Filter，DF）；,5.1 數(shù)字濾波器的基本概念,一、濾波器的基本概念,3、什么是數(shù)字濾波器 輸入和輸出均是數(shù)字信號，該濾波器的單位脈沖響應也是數(shù)字序列。通過一定運算關(guān)系(數(shù)值運算)，改變輸入數(shù)字信號所含頻率成份的相對比例或濾除某些頻率成份的器件。,4、數(shù)字濾波器的特點(相對模擬濾波器) 精度高、穩(wěn)定性好、實現(xiàn)靈活、不要求阻抗匹配、嚴格的線性相位和多維濾波、濾波自適應。,5、數(shù)字濾波器處理模擬信號 通過A/DC和D/AC，使用數(shù)字濾波器對模擬信號的處理。,線性時不變系統(tǒng)輸入和輸出的關(guān)系,二、數(shù)字濾波原理,FT的時域卷積定理,1、一般分類 經(jīng)典濾波器：輸入信號中的有用的頻率成分和希望濾除的頻率成分占用不同的頻帶，通過選頻濾波器達到濾波的目的。 現(xiàn)代濾波器：信號和干擾的頻帶相互重疊，要利用信號的統(tǒng)計分布規(guī)律，從干擾中最佳提取信號，如：維納濾波器、卡爾曼濾波器和自適應濾波器等。,三、數(shù)字濾波器的分類,2、從濾波器的功能（按頻率特性）來分類 分為低通、高通、帶通、帶阻、全通濾波器,理想濾波器的幅度特性,特點： (1) h(n)是非因果且無限長，不可能實現(xiàn)，只能盡可能逼近； (2) H(ejw)以2為周期，低通的中心頻帶處于2的整數(shù)倍處，高通的中心頻帶處于的奇數(shù)倍附近。,DF中，一般考察其半個周期=0，的頻域特性；,3、從濾波器的單位脈沖響應的長短分類,N階IIR濾波器系統(tǒng)函數(shù),N-1階FIR濾波器系統(tǒng)函數(shù),無限脈沖響應(IIR)數(shù)字濾波器,有限脈沖響應(FIR)數(shù)字濾波器：,這里介紹的數(shù)字濾波器屬于選頻濾波器 1、數(shù)字濾波器的傳輸函數(shù)H(ejw),j(ej),四、數(shù)字濾波器的技術(shù)要求,|H(ejw)|：系統(tǒng)的幅頻特性，表示信號通過該濾波器后各頻率成分衰減情況。,(ej)：系統(tǒng)的相頻特性：反映信號通過濾波器后各頻率成分的延時情況。,注意：一般選頻濾波器的技術(shù)要求由幅度特性給出，對相位特性不作要求；,2、數(shù)字濾波器的幅頻特性|H(ejw)|的指標,指標說明： p：通帶截止頻率，通帶頻率范圍：0p ； S：阻帶截止頻率，阻帶頻率范圍：s ； C：3dB截止頻率；過渡帶（ps）：單調(diào)下降 P：通帶最大衰減；S：阻帶最小衰減 1：通帶內(nèi)幅度響應誤差范圍；2：阻帶內(nèi)幅度響應誤差范圍；,用dB數(shù)表示,衰減指標p和s的定義,如將|H(ej0)|歸一化為1，上兩式則表示成,當幅度衰減到2/2時，所對應頻率c，此時P3dB，稱c為3dB通帶截止頻率。,用衰減表示的低通濾波器的技術(shù)指標,五、數(shù)字濾波器設計概述,1、數(shù)字濾波器的設計過程 按任務要求，確定濾波器的性能指標； 用一個因果穩(wěn)定的離散線性時不變系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)去逼近這個性能要求。 用一個有限精度的算法來實現(xiàn)這個系統(tǒng)函數(shù)。 實際的技術(shù)實現(xiàn)：計算機軟件、專用數(shù)字濾波器硬件或軟硬件相結(jié)合的方法實現(xiàn)。,2、數(shù)字濾波器的頻率響應特性 數(shù)字濾波器頻率響應特性的三個參量： (1)幅度平方響應：濾波器的衰減特性,(2)相位響應,因為h(n)是實序列,(ej),j(ej),濾波器為線性相位響應時，通帶內(nèi)群時延特性為常數(shù),3、IIR數(shù)字濾波器的設計方法 （1）零極點位置累試法 濾波器的特性可由其系統(tǒng)函數(shù)的零極點確定，幅頻特性在單位圓內(nèi)極點處出現(xiàn)峰值，在零點處出現(xiàn)谷值。所謂累試，通過多次改變零極點的位置或增加新的零極點來達到要求。只適用于設計簡單低階（一、二階）的濾波器。 （2）用模擬濾波器的理論來設計IIR數(shù)字濾波器 先設計一個合適的模擬濾波器，然后將其變換成滿足預定指標的數(shù)字濾波器。 （3）計算機輔助設計法 最優(yōu)化的設計方法，先確定一種最佳準則，直接在頻域或時域中進行設計。,理論和設計方法成熟，有若干典型的模擬濾波器可以選擇。如：巴特沃斯(Butterworth)濾波器、切比雪夫(Chebyshev)濾波器、橢圓(Kllipse)濾波器、貝塞爾(Bessel)濾波器等，這些濾波器都有嚴格的設計公式、現(xiàn)成的曲線和圖表供設計人員使用。,5.2 模擬濾波器的設計,各種理想模擬濾波器的幅度特性,低通濾波器技術(shù)指標可由幅度特性或幅度平方特性給出；,一、模擬低通濾波器的技術(shù)指標及逼近方法,p和s分別稱為通帶截止頻率和阻帶截止頻率，單位rad/s; c稱為3dB截止頻率 p是通帶(0p)中的最大衰減系數(shù)，s是阻帶s的最小衰減系數(shù); 圖中幅度1表示用頻率為0時的幅度作為基準幅度來進行歸一化；,p和s一般用dB表示，對于單調(diào)下降的幅度特性，可表示成：,|Ha(j0)|2,|Ha(j0)|2,=0處幅度歸一化為1，即|Ha(j0)|=1,c稱為3dB截止頻率,c=,給出模擬濾波器的技術(shù)指標 ；,二、用模擬濾波器逼近方法設計數(shù)字IIR濾波器步驟,設計傳輸函數(shù)Ha(s)：使其幅度平方函數(shù)滿足給定指標ap和as,|Ha(j)|2 = Ha(j)Ha*(j) = Ha(s)Ha(-s)|S=j,確定Ha(s)：系統(tǒng)Ha(s)應是穩(wěn)定的系統(tǒng)，因此，極點應位于S 左半平面內(nèi)。,N： 濾波器的階數(shù)； ： 濾波器的參數(shù)； p：濾波器通帶截止頻率；,三、巴特沃思低通濾波器,1、巴特沃思低通濾波器的幅度平方函數(shù)的分析,衰減特性：,|Ha(j0)|=1,采用歸一化基準頻率,巴特沃思濾波器的幅度平方函數(shù), c，幅度迅速下降，N越大，幅度下降越快，過渡帶越窄,當=0時，,當=c時，,所示c是3dB截止頻率,1,2、由幅度平方函數(shù)|Ha(j)|2確定系統(tǒng)函數(shù)Ha(s),此式表明幅度平方函數(shù)有2N個極點，極點sk用下式表示：,其中，k=0,1,(2N-1),2N個極點等間隔分布在半徑為c的圓上，間隔是/N rad，左半平面N個點構(gòu)成Ha(s)傳輸函數(shù)，右半平面N個點構(gòu)成Ha(-s)傳輸函數(shù)。,Ha(s)表示為：,由于各濾波器的幅頻特性不同，為使設計統(tǒng)一，將所有的頻率歸一化。采用對3dB截止頻率c歸一化，歸一化后的Ha(s)表示為 ：,知道濾波器的階數(shù)N，可得歸一化的傳輸函數(shù)，去歸一化p=j=s/ c ,可得到實際的傳輸函數(shù)Ha(s),令s/c = j/c，=/c，稱為歸一化頻率，令p=j，p稱為歸一化復變量，歸一化巴特沃斯的傳輸函數(shù)為：,歸一化極點 ， k=0,1,N-1,3、根據(jù)給出的技術(shù)指標P、S、p、S，求濾波器階數(shù)N,用上式求出的N可能有小數(shù)部分，應取大于等于N的最小整數(shù)。,根據(jù)求極點公式：,4、總結(jié)巴特沃思濾波器的設計步驟,（1）根據(jù)給出的技術(shù)指標P、S、p、S，確定濾波器階數(shù)N,（2）求歸一化極點pk，確定歸一化傳輸函數(shù)Ha(p),或：根據(jù)階數(shù)N，查P206 表5.2.1得到極點和歸一化傳輸函數(shù),，k=0,1,N-1。再帶入：,阻帶指標有富裕度,通帶指標有富裕度,（3）求3dB截止頻率c,將p=s/c，代入Ha(p)中得：Ha(s)=Ha (p)| p=s/c,(4)將Ha(p)去歸一化，得到實際的濾波器傳輸函數(shù)Ha(s),表示兩極點P1、PN-2,例：設計一個巴特沃思低通濾波器，在 時衰減不大于1dB，在 時衰減不小于10dB。,解：(1) 求階數(shù)：,取N2,（2）求歸一化的系統(tǒng)函數(shù),k=0,1,p0,p1,也可查表5.2.1直接得出Ha(p),（3）確定3dB截止頻率c,(4)確定濾波器的系統(tǒng)函數(shù),濾波器的頻率響應,利用模擬濾波器設計IIR數(shù)字濾波器設計思想,5.3 用脈沖響應不變法設計IIR數(shù)字低通濾波器,設計技術(shù)成熟 有相當簡便的 公式和圖表,要求DF特性 模仿AF的特性,實際上是個映射問題,(1)數(shù)字濾波器的頻率響應模仿模擬濾波器的頻響，s平面的虛軸映射z平面的單位圓，相應的頻率之間成線性關(guān)系。 (2)因果穩(wěn)定的模擬濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器，仍是因果穩(wěn)定的。,對轉(zhuǎn)換關(guān)系的兩點要求：,時間特性上的模仿,頻率響應上的模仿,Ha(s)LT-1Ha(s)ha(t)時域采樣h(n)ZTh(n)H(z),所以說脈沖響應不變法是一種時域上的變換方法,一、變換原理,1、基本思想,使h(n)模仿ha(t)，讓h(n)正好等于ha(t)的采樣值,過程：,2、S平面和Z平面之間的映射關(guān)系（復習）,（1）采樣信號的拉氏變換與序列的z變換之間的映射關(guān)系,ha(t)的采樣信號表示為:,對 進行拉氏變換，得到,結(jié)論：采樣信號的拉氏變換是原模擬信號的拉氏變換在S平面沿虛軸以s=2/T為周期進行的周期延拓；,將s=j代入上式，得：,(2) 模擬信號的拉氏變換與采樣信號的拉氏變換之間的關(guān)系,說明：采用脈沖響應不變法將AF變換為數(shù)字DF時 Ha(s)沿虛軸以s=2/T為周期進行周期延拓; 再經(jīng)過Z=eST的映射關(guān)系映射到Z平面上，從而得到H(z),(3) 模擬信號的拉氏變換與序列的Z變換之間的映射關(guān)系,設：S=j，z=rejw,頻率域的坐標變換是線性的，滿足轉(zhuǎn)換關(guān)系的第1個要求。,r= eT,3、分析,因果穩(wěn)定 模仿頻響,=T,問題：轉(zhuǎn)換是否滿足對轉(zhuǎn)換關(guān)系提出的2點要求？,z = eST,0時，S平面的右半平面映射到Z平面的單位圓外(r=|z|1) 結(jié)論：若Ha(s)是因果穩(wěn)定的，則轉(zhuǎn)換后的H(z)也是因果穩(wěn)定的。,r= eT,因果穩(wěn)定的分析,當不變，角頻率變化2/T整數(shù)倍，映射值不變，S平面上每一條寬度為2/T的水平橫帶都重迭地映射到Z平面的整個全平面上 每條水平橫帶的左半部分映射到Z平面單位圓內(nèi)； 水平橫帶右半部分映射到Z平面的單位圓外； j虛軸上每2/T段都對應著單位圓一周,由于z=esT是周期函數(shù),4、混疊失真,頻率混疊,否則，設計出來的DF在w=附近產(chǎn)生頻率混疊。使設計出來的DF不能很好地重現(xiàn)AF的頻響，滿足不了設計要求。,數(shù)字濾波器的頻響與模擬濾波器的頻響的關(guān)系,當AF的頻響是限帶的，且?guī)抻谡郫B頻率以內(nèi)時，即:,DF不產(chǎn)生混疊失真,結(jié)論：脈沖響應不變法只適合設計帶限濾波器，如：低通、帶通濾波器的設計，不適合高通、帶阻濾波器的設計。,1、設模擬濾波器Ha(s)只有單階極點，且分母多項式的階次高于分子多項式的階次，將Ha(s)用部分分式表示：,si為Ha(s)的單階極點,二、變換方法,等間隔采樣，采樣間隔為T,z變換,結(jié)論: S平面的單極點s=sk映射到Z平面的極點z=esiT。 Ha(s)部分分式的系數(shù)與H(z)部分分式的系數(shù)相同。 不保證整個平面與平面都存在其極點那樣的代數(shù)對應關(guān)系。 若所有sk在s左半平面，則所有zk在單位圓內(nèi)。因此，AF 穩(wěn)定，則DF穩(wěn)定。,為使數(shù)字濾波器的增益不受采樣間隔的影響，故作以下修正,（1）確定數(shù)字濾波器的一組通、阻帶截止頻率 ，通帶內(nèi)容許的最大衰減 為 ，阻帶內(nèi)容許的最小衰減為 。 （2）采用變換公式 把數(shù)字濾波器的這組頻率指標 轉(zhuǎn)換成相應 的模擬濾波器的一組頻率指標 ，而 、 不變。 （3）根據(jù)模擬濾波器的技術(shù)要求，設計其系統(tǒng)函數(shù) 。 （4）由 求數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù) 。 （5）利用 校核所設計的數(shù)字濾波器是否滿足技術(shù)指標要求。,三、設計步驟,注意：參數(shù)T可任選,注：s阻帶截止頻率,例：已知模擬低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為 ,用脈沖響應不變法將 轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù) 。,解：首先將 展為部分分式的形式,極點為：,數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為：,設T=1s，得：,設T=0.1s，得：,將 三者的幅度特性用它們的最大值歸一化后的 幅度特性如圖所示。,AF的幅度特性,DF的幅度特性,例：用脈沖響應不變法設計巴特沃思數(shù)字低通濾波器，要求在頻率小于 的通帶內(nèi)，幅度特性下降小于等于1dB；在頻率 到 之間的阻帶衰減大于等于15dB。,解：（1）待設計的數(shù)字低通濾波器的技術(shù)指標為：,查表得到歸一化系統(tǒng)函數(shù)為,求3dB截止頻率,去歸一化,（4）求相應的數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù),（5）檢查設計的數(shù)字濾波器是否滿足給定的指標要求,四、脈沖響應不變法的優(yōu)缺點 優(yōu)點： 1、頻率變換是線性關(guān)系; w=T ，數(shù)字濾波器可以很好重現(xiàn)模擬濾波器的頻響特性； 2、數(shù)字濾波器的單位脈沖響應完全模仿模擬濾波器的單位沖激響應，時域特性逼近好；,缺點： 1. 有頻譜混迭失真現(xiàn)象；(S平面到Z平面有多值映射關(guān)系) 2. 由于頻譜混迭，使應用受到限制，只適合于用來設計限帶的濾波器，如低通和帶通濾波器。,脈沖響應不變法的缺點:產(chǎn)生頻率譜混迭現(xiàn)象。,5.4 用雙線性變換法設計IIR數(shù)字低通濾波器,原因：s平面到z平面是多值對單值的映射關(guān)系，模擬低通的最高頻率超過了折疊頻率/T，數(shù)字化后在= 形成頻譜混疊現(xiàn)象。,解決方法：采用非線性壓縮方法，將整個頻率軸上的頻率范圍壓縮到/T之間，而后再用z=eST轉(zhuǎn)換到z平面上。,步驟： 首先把整個s平面壓縮變換到某一中介的s1平面的一條從 到 ，寬度為 的橫帶里（s1平面的橫帶和s平面是單值對應關(guān)系）； 再通過標準變換關(guān)系 ，將此橫帶變換到整個z平面上去；,一、變換原理,好處： s平面與z平面成為一一對應的單值映射關(guān)系，消除了頻譜混疊現(xiàn)象。,1、非線性壓縮：(S平面S1平面映射),T：時域采樣間隔,采用正切變換實現(xiàn)非線性頻率壓縮，設Ha(s)，s=j，經(jīng)過非線性頻率壓縮后用Ha(s1)表示，s1=j1 ，則：,表明：當1從/T經(jīng)過0變化到-/T時，則由經(jīng)過0變化到-，這樣，實現(xiàn)了s平面上整個虛軸完全壓縮到s1平面上虛軸的/T之間。,2、S1平面與S平面的關(guān)系,s到z和由z到s的變換都是線性變換，所以稱為雙線性變換,二、逼近情況分析,1、因果穩(wěn)定性分析,當 時， ，說明s平面的左半平面映射到z平面的單位圓內(nèi)；,當 時， ，說明s平面的右半平面映射到z平面的單位圓外；,當 時， ，說明s平面的虛軸映射到z平面的單位圓上；,結(jié)論：因果穩(wěn)定的模擬濾波器經(jīng)雙線性變換后所得到的數(shù)字濾波器也一定是因 果穩(wěn)定的。,2、模擬頻率和數(shù)字頻率之間的關(guān)系,設：z=ej ，s=j，帶入左式,說明：s平面上 與z平面的是非線性正切關(guān)系，消除了頻率混疊現(xiàn)象。,代價：影響數(shù)字濾波器頻響逼真模擬濾波器的頻響的逼真度，存在幅度失真和相位失真。,零頻附件，和接近線性關(guān)系；增加，和存在嚴重的非線性關(guān)系； 如果的刻度是均勻的，通過非線性正切關(guān)系，映射到z平面的刻度不均勻，隨增加越來越密，即邊界頻率發(fā)生畸變。 一線性相位的模擬濾波器，經(jīng)雙線性變換后成為非線性相位的數(shù)字濾波器； 如果模擬濾波器具有片段常數(shù)特性，則轉(zhuǎn)換到z平面具有片段常數(shù)特性。適于片段常系數(shù)濾波器的設計。,幅度特性失真,相位特性失真,3、雙線性變換法的幅度失真和相位失真,對邊緣臨界頻率點產(chǎn)生的畸變，可通過頻率的預畸變加以校正。,pp /T,ss /T,4、雙線性變換法的頻率預畸變,例：數(shù)字低通濾波器的兩個截止頻率： p和s，如果按照線性變換所對應的模擬濾波器的截止頻率分別為：,即通過非線性的頻率變換公式，得到的數(shù)字濾波器的截止頻率就不等于原頻率,解決方法：數(shù)字頻率轉(zhuǎn)換成模擬頻率時，先進行預畸變的處理：,2arctan(T/2),p=! p,S=! S,1、優(yōu)點 消除了頻譜混迭失真；頻率映射 s平面與z平面是一一對應的單值映射關(guān)系，避免了脈沖響應不變法的頻譜“混迭”現(xiàn)象。 2、缺點 以頻率變換的非線性為代價，模擬域和數(shù)字域進行非線性映射，其瞬時響應不如脈沖響應不變法好。,5、總結(jié)雙線性變換法的特點,四、雙線性變換法設計數(shù)字濾波器的步驟,（1）確定數(shù)字濾波器的通帶和阻帶截止頻率 ，通帶內(nèi)容許的最大衰減P及阻帶內(nèi)容許的最小衰減S 。,（2）采用頻率預畸變的方法把數(shù)字濾波器的通帶和阻帶截止頻率變換成相應的模擬濾波器的通帶和阻帶截止頻率 ，通帶最大衰減及阻帶最小衰減不變。,（3）根據(jù)模擬濾波器的技術(shù)指標，設計其系統(tǒng)函數(shù)Ha(s),（4）求數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z),（5）檢驗所設計的數(shù)字濾波器是否滿足技術(shù)指標要求。,例：已知模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù) ，試用雙線性變換法將 轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù) 。,設T=1s，則：,解：,雙線性變換法設計的數(shù)字濾波器的頻響限制在0和之間，不存在頻率響應的混疊現(xiàn)象。,例：用雙線性變換法設計巴特沃思數(shù)字低通濾波器，要求在頻率小于 的通帶內(nèi)，幅度特性下降小于等于1dB；在頻率 到 之間的阻帶衰減大于等于15dB。,（2）確定模擬低通濾波器的技術(shù)指標，取T=1。,取N=6,（3）設計巴特沃思模擬低通濾波器：,（4）求數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù) ：,（5）校核所設計的數(shù)字濾波器是否滿足給定的指標要求,例：用雙線性變換法設計數(shù)字低通濾波器，要求在頻率小于等于100Hz的通帶內(nèi)，幅度的衰減特性不大于2dB；在頻率大于等于300Hz的阻帶內(nèi)，衰減不小于15dB ，采樣頻率為1000Hz，采用巴特沃思型濾波器。,采樣頻率為1000Hz，所以T=0.001s，待設計的數(shù)字低通濾波器的技術(shù)指標為：,解:（1）確定待設計的數(shù)字低通濾波器的技術(shù)指標：,（2）確定模擬低通濾波器的技術(shù)指標：,設T=1s,（3）設計模擬巴特沃思低通濾波器：,取N=2,（4）由求其相應數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)：,（5）校核所設計的數(shù)字濾波器是否滿足給定的指標要求：,所設計的數(shù)字濾波器滿足給定的指標要求。,1、已知模擬濾波器的傳輸函數(shù)為 ，設采樣周期T=0.1s，采用脈沖響應不變法將其轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器，求該數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)。 2、用雙線性變換法設計IIR數(shù)字濾波器，要求通帶截止頻率為/5rad，通帶內(nèi)容許的最大衰減為3dB，阻帶截止頻率為3/5rad，阻帶的最小衰減為20dB，模擬濾波器采用巴特沃斯低通濾波器。,本章作業(yè),