高中數學競賽平面幾何中的幾個重要定理.doc

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平面幾何中幾個重要定理及其證明 一、 塞瓦定理 1．塞瓦定理及其證明 定理：在ABC內一點P，該點與ABC的三個頂點相連所在的三條直線分別交ABC三邊AB、BC、CA于點D、E、F，且D、E、F三點均不是ABC的頂點，則有 ． 證明：運用面積比可得． 根據等比定理有 ， 所以．同理可得，． 三式相乘得． 注：在運用三角形的面積比時，要把握住兩個三角形是“等高”還是“等底”，這樣就可以產生出“邊之比”． 2．塞瓦定理的逆定理及其證明 定理：在ABC三邊AB、BC、CA上各有一點D、E、F，且D、E、F均不是ABC的頂點，若，那么直線CD、AE、BF三線共點． 證明：設直線AE與直線BF交于點P，直線CP交AB于點D/，則據塞瓦定理有 ． 因為 ，所以有．由于點D、D/都在線段AB上，所以點D與D/重合．即得D、E、F三點共線． 注：利用唯一性，采用同一法，用上塞瓦定理使命題順利獲證． 二、 梅涅勞斯定理 3．梅涅勞斯定理及其證明 定理：一條直線與ABC的三邊AB、BC、CA所在直線分別交于點D、E、F，且D、E、F均不是ABC的頂點，則有 ． 證明：如圖，過點C作AB的平行線，交EF于點G． 因為CG // AB，所以 ————（1） 因為CG // AB，所以 ————（2） 由（1）÷（2）可得，即得． 注：添加的輔助線CG是證明的關鍵“橋梁”，兩次運用相似比得出兩個比例等式，再拆去“橋梁”（CG）使得命題順利獲證． 4．梅涅勞斯定理的逆定理及其證明 定理：在ABC的邊AB、BC上各有一點D、E，在邊AC的延長線上有一點F，若， 那么，D、E、F三點共線． 證明：設直線EF交AB于點D/，則據梅涅勞斯定理有 ． 因為 ，所以有．由于點D、D/都在線段AB上，所以點D與D/重合．即得D、E、F三點共線． 注：證明方法與上面的塞瓦定理的逆定理如出一轍，注意分析其相似后面的規(guī)律． 三、 托勒密定理 5．托勒密定理及其證明 定理：凸四邊形ABCD是某圓的內接四邊形，則有 AB·CD + BC·AD = AC·BD． 證明：設點M是對角線AC與BD的交點，在線段BD上找一點，使得DAE =BAM． 因為ADB =ACB，即ADE =ACB，所以ADE∽ACB，即得 ，即 ————（1） 由于DAE =BAM，所以DAM =BAE，即DAC =BAE。而ABD =ACD，即ABE =ACD，所以ABE∽ACD．即得 ，即 ————（2） 由（1）+（2）得 ． 所以AB·CD + BC·AD = AC·BD． 注：巧妙構造三角形，運用三角形之間的相似推得結論．這里的構造具有特點，不容易想到，需要認真分析題目并不斷嘗試． 6．托勒密定理的逆定理及其證明 定理：如果凸四邊形ABCD滿足AB×CD + BC×AD = AC×BD，那么A、B、C、D四點共圓． 證法1（同一法）： 在凸四邊形ABCD內取一點E，使得，，則∽． 可得AB×CD = BE×AC ———（1） 且 ———（2） 則由及（2）可得∽．于是有 AD×BC = DE×AC ———（3） 由（1）+（3）可得 AB×CD + BC×AD = AC×( BE + DE )． 據條件可得 BD = BE + DE，則點E在線段BD上．則由，得，這說明A、B、C、D四點共圓． 證法2（構造轉移法） 延長DA到A/，延長DB到B/，使A、B、B/、A/四點共圓．延長DC到C/，使得B、C、C/、B/四點共圓．（如果能證明A/、B/、C/共線，則命題獲證） 那么，據圓冪定理知A、C、C/、A/四點也共圓． 因此，，． 可得 . 另一方面，，即． 欲證=，即證 即 ． 據條件有 ，所以需證 ， 即證，這是顯然的．所以，，即A/、B/、C/共線．所以與互補．由于，，所以與互補，即A、B、C、D四點共圓． 7．托勒密定理的推廣及其證明 定理：如果凸四邊形ABCD的四個頂點不在同一個圓上，那么就有 AB×CD + BC×AD > AC×BD 證明：如圖，在凸四邊形ABCD內取一點E，使得，，則∽． 可得AB×CD = BE×AC ————（1） 且 ————（2） 則由及（2）可得∽．于是 AD×BC = DE×AC ————（3） 由（1）+（3）可得 AB×CD + BC×AD = AC×( BE + DE ) 因為A、B、C、D四點不共圓，據托勒密定理的逆定理可知 AB×CD + BC×ADAC×BD 所以BE + DEBD，即得點E不在線段BD上，則據三角形的性質有BE + DE > BD．所以AB×CD + BC×AD > AC×BD． 四、 西姆松定理 8．西姆松定理及其證明 定理：從ABC外接圓上任意一點P向BC、CA、AB或其延長線引垂線，垂足分別為D、E、F，則D、E、F三點共線． 證明：如圖示，連接PC，連接 EF 交BC于點D/，連接PD/． 因為PEAE，PFAF，所以A、F、P、E四點共圓，可得FAE =FEP． 因為A、B、P、C四點共圓，所以BAC =BCP，即FAE =BCP． 所以，FEP =BCP，即D/EP =D/CP，可得C、D/、P、E四點共圓． 所以，CD/P +CEP = 1800。而CEP = 900，所以CD/P = 900，即PD/BC． 由于過點P作BC的垂線，垂足只有一個，所以點D與D/重合，即得D、E、F三點共線． 注：（1）采用同一法證明可以變被動為主動，以便充分地調用題設條件．但需注意運用同一法證明時的唯一性． （2）反復運用四點共圓的性質是解決此題的關鍵，要掌握好四點共圓的運用手法． 五、 歐拉定理 9．歐拉定理及其證明 定理：設ΔABC的重心、外心、垂心分別用字母G、O、H表示．則有G、O、H三點共線（歐拉線），且滿足． 證明（向量法）：連BO并延長交圓O于點D。連接CD、AD、HC，設E為邊BC的中點，連接OE和OC．則 ——— ① 因為 CD⊥BC，AH⊥BC，所以 AH // CD．同理CH // DA． 所以，AHCD為平行四邊形． 從而得．而，所以． 因為，所以 ——— ② 由①②得： ———— ③ 另一方面，． 而，所以 —— ④ 由③④得：．結論得證． 注：（1）運用向量法證明幾何問題也是一種常用方法，而且有其獨特之處，注意掌握向量對幾何問題的表現手法； （2）此題也可用純幾何法給予證明． 又證（幾何法）：連接OH，AE，兩線段相交于點G/；連BO并延長交圓O于點D；連接CD、AD、HC，設E為邊BC的中點，連接OE和OC，如圖． 因為 CD⊥BC，AH⊥BC，所以 AH // CD．同理CH // DA． 所以，AHCD為平行四邊形． 可得AH = CD．而CD = 2OE，所以AH = 2OE． 因為AH // CD，CD // OE，所以AH // OE．可得AHG/∽EOG/．所以． 由，及重心性質可知點G/就是ABC的重心，即G/與點G重合．所以，G、O、H三點共線，且滿足． 六、 蝴蝶定理 10．蝴蝶定理及其證明 定理：如圖，過圓中弦AB的中點M任引兩弦CD和EF，連接CF和ED，分別交AB于P、Q，則PM = MQ． 證明：過點M作直線AB的垂線l，作直線CF關于直線l的對稱直線交圓于點C/、F/，交線段AB于點Q/．連接FF/、DF/、Q/F/、DQ/．據圓的性質和圖形的對稱性可知： MF/Q/ =MFP，F/Q/M =FPM； 且FF/ // AB，PM = MQ/． 因為C、D、F/、F四點共圓，所以 CDF/ +CFF/ = 1800， 而由FF/ // AB可得Q/PF +CFF/ = 1800，所以 CDF/ =Q/PF，即MDF/ =Q/PF． 又因為Q/PF =PQ/F/，即Q/PF =MQ/F/．所以有 MDF/ =MQ/F/． 這說明Q/、D、F/、M四點共圓，即得MF/Q/ =Q/DM． 因為MF/Q/ =MFP，所以MFP =Q/DM．而MFP =EDM，所以EDM =Q/DM．這說明點Q與點Q/重合，即得PM = MQ． 此定理還可用解析法來證明： 想法：設法證明直線DE和CF在x軸上的截距互為相反數． 證：以AB所在直線為x軸，線段AB的垂直平分線為y軸建立直角坐標系，M點是坐標原點． 設直線DE、CF的方程分別為 x = m1 y + n 1，x = m2 y + n 2； 直線CD、EF的方程分別為 y = k1 x ，y = k2 x ． 則經過C、D、E、F四點的曲線系方程為 (y –k1 x )(y –k2 x)+(x –m1 y–n1)(x –m2 y –n2)=0． 整理得(+k1k2)x 2+(1+m1m2)y 2–[(k1+k2)+(m1+m2)]xy 　　–(n1+n2)x+(n1m2+n2m1)y+n1n2=0． 由于C、D、E、F四點在一個圓上，說明上面方程表示的是一個圓，所以必須 + k1 k2 = 1 +m1 m2 ≠ 0， 且(k1+k2)+(m1+m2)=0． 若=0，則k1k2=1，k1+k2=0，這是不可能的，故≠0； 又y軸是弦AB的垂直平分線，則圓心應落在y軸上，故有( n1 + n2 ) = 0，從而得n1 + n2 = 0． 這說明直線DE、CF在x軸上的截距互為相反數，即得PM = MQ．