2013年高考數(shù)學 回歸基礎(chǔ)知識 三、函數(shù)的基本性質(zhì)

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1、2013年高考數(shù)學回歸基礎(chǔ)知識：三、函數(shù)的基本性質(zhì) 三、函數(shù)的基本性質(zhì) (一)函數(shù)的單調(diào)性 1、單調(diào)性 一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為I： 如果對于定義域I內(nèi)某個區(qū)間D上的任意兩個自變量的值x1,x2，當x1f(x2)，那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù)。如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間上具有(嚴格的)單調(diào)性，區(qū)間D叫做y=f(x)的單調(diào)

2、 區(qū)間。 拓展與提示：(1)定義中的x1,x2具有任意性，不能用特殊值代替。 (2)若f(x)在區(qū)間D1，D2上都是增(減)函數(shù)，但f(x)在D1∪D2上不一定是增(減)函數(shù)。 (3)由于定義域都是充要性命題，因此由f(x)是增(減)函數(shù)，且，這說明單調(diào)性使得自變量間的不等關(guān)系和函數(shù)值之間的不等關(guān)系可以“正逆互推”。 2、函數(shù)單調(diào)性的判斷方法 (1)定義法。用定義法判斷函數(shù)單調(diào)性的步驟為 第一步：取值。設(shè)x1、x2是該區(qū)間內(nèi)的任意兩個值，且x1

3、向有利于判斷差的符號的方向變形。 第三步：判斷f(x1)-f(x2)［或f(x2)-f(x1)］的符號。 第四步：根據(jù)定義作出結(jié)論。 簡記為“取值—作差—變形—定號—結(jié)論”。 (2)直接法。運用已知的結(jié)論，直接得到函數(shù)的單調(diào)性，常見結(jié)論有： ①函數(shù)y=-f(x)與函數(shù)y=f(x)的單調(diào)性相反；②當函數(shù)f(x)恒為正或恒為負時，函數(shù)與y=f(x)的單調(diào)性相反；③在公共區(qū)間內(nèi)，增函數(shù)+增函數(shù)，其和為增函數(shù)，增函數(shù)-減函數(shù)，其差為增函數(shù)等。 (3)圖象法：按照作圖的方法，準確作出函數(shù)的圖象，觀察判斷函數(shù)的單調(diào)性。 (4)求導法：若當x∈(a,b)時，f′(x)>0，則f(x)在(a,b

4、)上遞增；若當x∈(a,b)時，f′(x)<0，則f(x)在(a,b)上遞減。 拓展與提示：定義有如下等價形式 設(shè)x1,x2∈［a,b］，那么 ①上是增函數(shù)，上是減函數(shù)； ②在［a,b］上是增函數(shù)，上是減函數(shù)。 例 討論函數(shù)在(-2，+∞)上的單調(diào)性。 解析 設(shè)-20，即時，上式<0，即f(x2)0，即f(x2)>f(x1)。 ∴當時，在(-2，+∞)上為減函數(shù) 當時，在

5、(-2，+∞)上為增函數(shù) 3、復合函數(shù)的單調(diào)性 對于復合函數(shù)y=f［g(x)］，若t=g(x)在區(qū)間(a,b)上是單調(diào)函數(shù)，則y=f(t)在區(qū)間(g(a),g(b))或(g(b),g(a))上是單調(diào)函數(shù)；若t=g(x)與y=f(t)單調(diào)性相同(同時為增或減)，則y=f［g(x)］為增函數(shù)，若t=g(x)與g=f(x)單調(diào)性相反，則y=f［g(x)］為減函數(shù)，簡單地說成“同增異減”。 y=f(t) 增 減 增 減 t=g(x) 增 減 減 增 Y=f［g(x)］ 增 增 減 減 (二)函數(shù)的最大(小)值 1、定義 一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為I，如

6、果存在實數(shù)M滿： (1)對于任意的x∈I，都有f(x)≤M； (2)存在x0∈I，使得f(x0)=M. 那么，我們稱M是函數(shù)y=f(x)的最大值。 同樣地：如果存在實數(shù)M滿足： (1)對于任意x∈I，都有f(x)≥M； (2)存在x0∈I，使得f(x0)=M. 那么我們稱M是函數(shù)的最小值。 拓展與提示：(1)函數(shù)的最大(小)值是函數(shù)的圖象的最高點(最低點)對應(yīng)的縱坐標。 (2)一個連續(xù)不斷的函數(shù)在閉區(qū)間［a,b］上一定有最大值和最小值。 (3)求函數(shù)最值的常見方法為①構(gòu)造二次函數(shù)；②單調(diào)性法；③導數(shù)法。 2、二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值 二次函數(shù)f(x)=a

7、x2+bx+c，當a>0時，在閉區(qū)間［m,n］上的最值可分如下討論： ①若時，則最大值為f(n)，最小值為f(m)； ②若時，則最大值為f(m)，最小值為f(n)； ③若時，則最大值為f(m)或f(n)，最小值為. 例 已知，若f(x)=ax2-2x+1，在［1，3］上最大值為M(a)，最小值為N(a)，令g(a)=M(a)-N(a),求g(a)的函數(shù)表達式。 解析 . ∵，∴. 又∵∈［1，3］. ∴當， f(x)min=N(a)= 當，即時， f(x)max=M(a)=f(3)=9a-5. 當時， f(x)max=M(a)=f(1)=a-1 ∴ (三)函數(shù)

8、的奇偶性 1、定義 偶函數(shù)：一般地，如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個x，都有f(-x)=f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù)。 奇函數(shù)：一般地，如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個x，都有f(-x)=-f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù)。 拓展與提示：①并不是所有的函數(shù)都具備奇偶性，這些既不是奇函數(shù)又不偶函數(shù)的函數(shù)稱為非奇非偶函數(shù)；既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)只有一個，就是f(x)=0。 ②判斷函數(shù)奇偶性的前提條件是定義域關(guān)于原點對稱，否則稱為非奇非偶函數(shù)。 2、函數(shù)奇偶性的性質(zhì) (1)若函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，那么： ①對任意定義域的x,都有f(

9、-x)=f(x)； ②函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱； ③函數(shù)f(x)在兩個半對稱區(qū)間上的單調(diào)性是相反的。 (2)若函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，那么： ①對任意定義域內(nèi)的x，都有f(-x)=-f(x)； ②函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于坐標原點對稱； ③函數(shù)f(x)在兩個半對稱區(qū)間上的單調(diào)性是相同的。 3、函數(shù)奇偶性的判定方法 (1)定義法 f(x)是奇函數(shù) f(x)是偶函數(shù) (2)利用圖象的對稱性 f(x)是奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱。 f(x)是偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱。 例 設(shè)函數(shù)f(x)對任意x、y∈R，都有f (x+y) =f(x)+f(y)，且x>0時，f(x)<0，

10、f(1)=-2。 (1)求證：f(x)為奇函數(shù) (2)試問在-3≤x≤3時，f(x)是否有最值？如果有，求出最值；如果沒有，說明理由。 解析 (1)∵f(x)對于任意x、y∈R，都有f(x+y)=f(x)+f(y)成立 ∴令x=y=0，得f(0)=f(0)+f(0)，即f(0)=0 再令y=-x，得f(0)=f(x)+f(-x)，即f(-x)=-f(x)，∴f(x)為奇函數(shù)。 (2)設(shè)x10時，f(x)<0，∴f(x2-x1)<0，即f(x2)-f(x1)<0 ∴f(x2)