2013年高考數(shù)學(xué) 回歸基礎(chǔ)知識(shí) 二、函數(shù)及其表示

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1、2013年高考數(shù)學(xué)回歸基礎(chǔ)知識(shí)：二、函數(shù)及其表示 二、函數(shù)及其表示 (一)函數(shù)的概念 1、定義 一般地，我們說(shuō)： 設(shè)A，B是非空的數(shù)集，如果按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對(duì)應(yīng)，那么就稱(chēng)f：A→B為集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)，記作 其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫函數(shù)的定義域；與x的值相對(duì)應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合叫做函數(shù)的值域，顯然，值域是集合B的子集。 2、函數(shù)的三要素 (1)函數(shù)的三要素是指定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系和值域。 (2)由于值域是由定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系決定的，所以，如果兩個(gè)函數(shù)的定義域相同，并且對(duì)應(yīng)關(guān)系

2、完全一致，我們就稱(chēng)這兩個(gè)函數(shù)相等。 拓展與提示：(1)函數(shù)符號(hào)y=f(x)是由德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茲在18世紀(jì)引入的。 (2)注意區(qū)別f(a)和f(x)，f(x)是指函數(shù)解析式，f(a)是指自變量為a時(shí)的函數(shù)值。 3、區(qū)間。設(shè)a，b是兩個(gè)實(shí)數(shù)，而且a

3、 閉區(qū)間 ［a，b］ 開(kāi)區(qū)間 (a， b) 半開(kāi)半 閉區(qū)間 實(shí)數(shù)集常用區(qū)間表示為，“∞”讀作“無(wú)窮大”。 “”讀作“負(fù)無(wú)窮大”，“+∞”讀作“正無(wú)窮大” 集合 符號(hào) 數(shù)軸表示 拓展與提示：(1)在數(shù)軸上，用實(shí)心點(diǎn)表示包括在區(qū)間內(nèi)的端點(diǎn)，用空心點(diǎn)表示不包括在區(qū)間內(nèi)的端點(diǎn)。 (2)求函數(shù)定義域，主要通過(guò)下列途徑實(shí)現(xiàn)。 ①若f(x)是整式，則定義域?yàn)镽； ②若f(x)為分式，則定義域?yàn)槭狗帜覆粸榱愕娜w實(shí)數(shù)； ③若f(x)為偶次根式，則定義域?yàn)槭贡婚_(kāi)方數(shù)為非負(fù)數(shù)的全體實(shí)數(shù)； ④若f(x)的定義

4、域?yàn)椋踑,b］，則f［g(x)］的定義域是a≤g(x)≤b的解集； ⑤若f［g(x)］的定義域?yàn)椋踑，b］，則f(x)的定義域是g(x)在下的值域。 例1 求下列函數(shù)的定義域 解析 要使有意義，則必須 ，即x≥-1且x≠2， 故所求函數(shù)的定義域?yàn)? 例2 (1)已知函數(shù)f(x)的定義域是［-1，3］，求f(x+1)和f(x2)的 定義域 (2)已知函數(shù)f(2x+3)的定義域?yàn)?，求f(x-1)的定義域 解析 (1)∵f(x)的定義域?yàn)椋?1，3］， ∴f(x+1)的定義域由-1≤x+1≤3確定，即-2≤x≤2， ∴f(

5、x+1)的定義域?yàn)椋?2，2］. f(x2)的定義域由-1≤x2≤3確定，即 ∴f(x2)的定義域?yàn)閇] (2)∵函數(shù)f(2x+3)的定義域?yàn)椋? ∴2x+3中的x滿足-1

6、)叫做y=f(x)的反函數(shù)，記作，一般寫(xiě)成. 拓展與提示：(1)函數(shù)y=f(x)的定義域和值域分別是它的反函數(shù)的值域和定義域； (2)函數(shù)y=f(x)的圖象和它的反函數(shù)的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱(chēng)。 (二)函數(shù)的表示法 1、函數(shù)的三種表示法 解析法，就是用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。 圖象法，就是用圖象表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。 列表法，就是列出表格來(lái)表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。 拓展與提示：(1)函數(shù)用列表法表示時(shí)，其定義域是表中自變量所取值的全體，其值域是表中對(duì)應(yīng)函數(shù)值的全體。 (2)函數(shù)用圖象法表示時(shí)，其定義域是圖象投射到x軸上的區(qū)域范圍，其值域是圖

7、象投射到y(tǒng)軸上的區(qū)域范圍。 2、分段函數(shù) 若函數(shù)在定義域的不同子集上對(duì)應(yīng)關(guān)系不同，可用幾個(gè)式子來(lái)表示函數(shù)，這種形式的函數(shù)叫分段函數(shù)，它是一類(lèi)重要函數(shù)，形式是： 分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù)，而不是幾個(gè)函數(shù)，對(duì)于分段函數(shù)必須分段處理，其定義域?yàn)镈1∪D2∪…∪Dn. 拓展與提示：分段函數(shù)中，分段函數(shù)的定義域的交集為空集。 例 中國(guó)移動(dòng)通信已于2006年3月21日開(kāi)始在所屬18個(gè)省、市移動(dòng)公司陸續(xù)推出“全球通”移動(dòng)電話資費(fèi)“套餐”，這個(gè)套餐的最大特點(diǎn)是針對(duì)不同用戶采用了不同的收費(fèi)方法，具體方案如下： 方案代號(hào) 基本月租(元) 免費(fèi)時(shí)間(分鐘) 超過(guò)免費(fèi)

8、時(shí)間話費(fèi)(元/分鐘) 1 30 48 0.60 2 98 170 0.60 3 168 330 0.50 4 268 600 0.45 5 388 1000 0.40 請(qǐng)問(wèn)：“套餐”中第3種收費(fèi)方式的月話費(fèi)y與月通話量t(月通話量是指一個(gè)月內(nèi)每次通話用時(shí)之和)的函數(shù)關(guān)系式。 解析 “套餐”中第3種收費(fèi)函數(shù)為 3、復(fù)合函數(shù) 若y是u的函數(shù)，u又是x的函數(shù)，即y=f(u),u=g(x),x∈(a, b),u∈(m,n)，那么y關(guān)于x的函數(shù)y=f［g(x)］，x∈(a,b)叫做f和g的復(fù)合函數(shù)，u叫做中間變量，u的取值范圍是g(x)的值域。 4

9、、映射 設(shè)A，B是兩個(gè)非空的集合，如果按某一個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，使對(duì)于集合A中的任何一個(gè)元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對(duì)應(yīng)，那么就稱(chēng)對(duì)應(yīng)f：A→B為從集合A到集合B的一個(gè)映射。 拓展與提示：(1)映射包括集合A、B以及從A到B的對(duì)應(yīng)法則f，三者缺一不可，且A、B必須非空。 (2)A中的元素在B中都能找到唯一的元素和它對(duì)應(yīng)，而B(niǎo)中的元素卻不一定在A中找到對(duì)應(yīng)元素，即使有，也不一定只有一個(gè)。 5、函數(shù)解析式的求法 ①待定系數(shù)法。若已知函數(shù)類(lèi)型，可設(shè)出所求函數(shù)的解析式，然后利用已知條件列方程或方程組，再求系數(shù)。 ②換元法。若已知函數(shù)的解析式，可令，并由此求

10、出x=g(t)，然后代入解析式求得y=f(t)的解析式，要注意t的取值范圍為所求函數(shù)的定義域。 ③賦值法：可令解析式中的自變量等于某些特殊值求解。 ④列方程(組)法求解。若所給式子中含有f(x)，或f(x),f(-x)等形式，可考慮構(gòu)造另一個(gè)方程，通過(guò)解方程組獲解。 5．配湊法 例 解答下列各題： (1)已知f(x)=x2-4x+3，求f(x+1)； (2)已知f(x+1)=x2-2x，求f(x)； (3)已知二次函數(shù)g(x)滿足g(1)=1,g(-1)=5，圖象過(guò)原點(diǎn)，求g(x)。 解析 (1)f(x+1)=(x+1)2-4(x+1)+3=x2-2x (2)方法一：(配湊法) f(x+1)=(x+1)2-2x-1-2x=(x+1)2-4x-1=(x+1)2-4(x+1)+3， ∴f(x)=x2-4x+3 方法二：(換元法)令x+1=t，則x=t-1， f(t)=(t-1)2-2(t-1)=t2-4t+3， ∴f(x)=x2-4x+3. (2)由題意設(shè)g(x)=ax2+bx+c，a≠0. ∵g(1)=1,g(-1)=4，且圖象過(guò)原點(diǎn)， ∴ 解得 ∴g(x)=3x2-2x.