2013年高考數(shù)學(xué) 易錯點點睛與高考突破 專題10 空間直線與平面

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1、2013年高考數(shù)學(xué) 易錯點點睛與高考突破 專題10 空間直線與平面 1.空間直線與平面的位置關(guān)系 2.空間角 3.空間距離 4.簡單幾何體 5.利用三垂線定理作二面角的平面角 6.求點到面的距離 7.折疊問題 在選擇題中,常以其中的某個知識點作為一個選項，填空題則常常是多項選填題。在解答題中，常常是第一問證平行或垂直，主要還是考查對判定定理及性質(zhì)定理的應(yīng)用，重在添加輔助線。預(yù)計這部分內(nèi)容仍然是2013年考試試題的重點，尤其以證明直線與平面平行或垂直作為解答題的第一問題型居多。 難點 1利用三垂線定理作二面角的平面角 1.如圖10-30，ABCD中，PA⊥平面ABCD，M、N

2、、R分別是AB、PC、CD的中點， （1）求證：直線AR∥平面PMC； （2）求證：直線MN⊥直線AB； （3）若平面PDC與平面ABCD所成的二面角（銳角）為θ，能束確定θ使直線MN是異面直線AB與PC的公垂線，若能確定，求出θ的值；若不能確定，說明理由。 難點 2 求點到面的距離 1． 如圖，PA⊥平面AC，四邊形ABCD是矩形，E、F分別是AB、PD的中點。 （1）求證：AF∥平面PCE； （2）若二面角P—CD—B為45°，AD=2，CD=3。 （i）求二面角P—EC—A的大小； （ii）求點F到平面PCE的距離。 2．如圖10-33，在棱長為a的正方體，

3、ABCD—A1B1C1D1中，E、F分別為棱AB和BC的中點，EF與BD相交于H。 （1）求二面角B1—EF—B的大?。? （2）試在棱BB1上找一點M，使D1M⊥平面B1EF，并證明你的結(jié)論； （3）求D1到平面B1EF的距離。 到面B1EF的距離為a。 難點 3折疊問題 1． 如圖10-35，△BCD內(nèi)接于直角梯形A1A2A3D，已知沿△BCD三邊把△A1BD、 △A2BC、△A3CD翻折上去，恰好使A1、A2、A3重合于A。 arctan 2．如圖10-37，已知ABCD中，AD=BC，AD∥BC，且AB=3，AD=2，BD=，沿BD將其折成一個二面角A—BD—C，使得A

4、B⊥CD。 【易錯點點睛】 易錯點1 空間直線與平面的位置關(guān)系 1．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點，作EF⊥PB于點F. （1）證明：PA//平面EDB； （2）證明：BP⊥平面EFD； （3）求二面角C—PD—D的大小. 【錯誤解答】第（2）問證明：∵PD=DC，E為PC的中點，∴DE⊥PC，∴DF在平面2．下列五個正方體圖形中，l是正方體的一條對角線，點M、N、P分別為其所在棱的中點，能得出l⊥面MNP的圖形的序號是_________.(寫出所有符合要求的圖形序號) 3．如圖10-4所示，在正三棱錐

5、A—BCD中，∠BAC=30°，AB=a，平行于AD、BC的截面EFGH分別交AB、BD、DC、CA于E、F、G、H。 （1）判定四邊形EFGH的形狀，并說明理由； （2）設(shè)P是棱AD上的點，當(dāng)AP為何值時，平面PBC⊥平面EFGH，請給出證明。 【錯誤解答】（1）∵AD∥平面EFGH，又平面ACD平面EFGH=HG，∴AD∥HG，【特別提醒】 解線面位置關(guān)系的題目，首先要熟悉各種位置關(guān)系的判定方法及性質(zhì)，其次解題時應(yīng)將判定與性質(zhì)結(jié)合起來，多用分析法，如要證a∥α則過a作一平面β，使βα=b，再證a∥b；第三要善于轉(zhuǎn)化，如兩條羿面直線是否垂直，要用三垂線定理將其

6、轉(zhuǎn)化為兩相交直線是否垂直。線面的位置關(guān)系是立體幾何的基礎(chǔ)，學(xué)習(xí)時應(yīng)予以重視。 【變式訓(xùn)練】 1 如圖10-5 所示的四個正方體圖形中，A、B為正方體的四個項點，M、N、P分別為其所在棱的中點，能得出AB∥平面MNP的圖形的序號是____________?.(寫出所有符合要求的圖形序號) 答案：①③ 解析：①中平面MNP//平面AB， ∴AB//平面 MNP；②中取下底面中心O，MP的中點C，連接NO， NC，則由已知AB//NO，AB■NC．∴AB■面MNP；③ 中AB//MP,∴AB//平面MNP；④中AB■面MNP． ∴填①③． 2 如圖

7、，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1，E是棱BB1的中點。 （3）設(shè)AB=a，求三棱錐A-A1EC的體積。 答案： VA1-A1EC=VE-AA1C=·EF··AA1·AC 3 已知正三棱錐P-ABC的三條側(cè)棱兩兩互相垂直，G是側(cè)面△PAB的重心，E是BC上的一點，且BE=BC，F(xiàn)是PB上一點，且 PF=PB，如圖 （1）求證：GF⊥平面PBC； 答案：連接BG并延長交AP于M，由C為APAB的重心，則易錯點 2空間角 1．如圖10-8，在三棱錐S—ABC中，△ABC是邊長為4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=2，M、N分別為AB、SB的中點。 （1

8、）證明：AC⊥SB； （2）求二面角N—CM—B的大?。? （3）求點B到平面CMN的距離。 2．在長方體ABCD—A1B1C1D1中，已知AB=4，AD=3，AA1=2，E、F分別是線段AB、BC上的點，且EB=FB=1。 （1）求二面角C—DE—C1的正切值 （2）求直線EC1與FD1所成角的余弦值。 （2）設(shè)EC1與FD1所成的角為β，則cosβ= 3．如圖10-11，四棱錐P—ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，AE⊥PD，EF∥CD，AM=EF。 （1）證明MF是異面直線AB與PC的公垂線； （2）若PA=3AB，求直線AC與平面EAM

9、所成角的正弦值。 【錯誤解答】 第（2）問：由（1）知PC⊥MF，∴AF為AC在面EAM內(nèi)的射影，∴∠CAF為AC與平面EAM所成的角，通過解三角形FAC，解得sin∠CAF=.∴AC與平面EAM所成的角的正弦值為。 【易錯點點睛】直線AC與平面EAM所成的角不是就得不出AF為AC在面EAM內(nèi) ∴sinα=。 【特別提醒】 空間的各種角是對點、直線、平面所組成的穿間圖形的位置關(guān)系進行定性分析和宣量計算的重要組成部分，空間角的度量都是轉(zhuǎn)化為平 面角來實現(xiàn)的，要熟練掌握種類角轉(zhuǎn)化為平面角的常用方法，為了實現(xiàn)這種轉(zhuǎn)化，一是靠經(jīng)驗和知識的積累；二是利祿識圖和畫圖的訓(xùn) 練；三要以推理為

10、主要依據(jù)，求角的一般步驟是：（1）找出或作出要求的角；（2）證明它符合定義；（3）在某一三角形中進行計算，得 結(jié)果，當(dāng)然在解選擇或填空題時，一些間接方法也經(jīng)常用。 【變式訓(xùn)練】 1 如圖，在矩形ABCD中，AB=1，BC=a，現(xiàn)沿AC折成二面角D—AC—B，使BD為異面直線AD、BC的公垂線。 （1）求證：平面ABD⊥平面ABC； 2 如圖，在長方體ABCD—A1B1C1D1中，E、F分別為BB1、DD1上的點，且AE⊥A1B，AF⊥A1D。 （1）求證：A1C⊥平面AEF ∴直線AM與平面AEF的所成的角為 arcsin 3 已知

11、四棱錐P—ABCD，底面是邊長為2的正方形，側(cè)棱PA⊥底面ABCD，M、N分別為AD、BC的中點。MQ⊥PD于Q，直線PC與平面PBA所成角的正弦值為 如圖所示。 ∴PC=可得PA=2. （3）求二面角P—MN—Q的余弦值。 答案：由（1）知，MN⊥PM，MN⊥QM. ∴∠PMQ是二面角P—MN—Q的平面角.由（2）知△PMQ為等腰直角三形.且AM=DM=1. ∴二面角P—MN—Q的余弦值為 易錯點 3空間距離 1．在空間中，與一個△ABC三邊所在直線距離都相等的點的集合是 （ ） A．一條直線 B．兩條直線 C．三條直線 D．四條直線 【錯誤解答】

12、設(shè)該點為P，且P在平面ABC上的射影為O，因為P到△ABC三邊所在2．如圖10-15，在棱長為4的正方體ABCD—A1B1C1D1中，O是正方形A1B1C1D1的中心，點P在棱CC1上，且CC1=4CP。 （1）求直線AP與平面BCC1B1所成角的大小（結(jié)果用反三角表示）； （2）設(shè)O點在平面D1AP上的射影為H，求證：D1H⊥AP； （3）求點P到平面ABD1的距離。 3．如圖10-17，在三棱錐V—ABC中，底面△ABC是以∠B為直角的等腰直角三角形，又V在底面ABC上的射影在線段AC上且靠近C點，且AC=4，VA=，VB與底面ABC成45°角。 【特別提醒】 空間中的距離以點

13、到面的距離為中心內(nèi)容，大多數(shù)距離問題都可以轉(zhuǎn)化為點到面的距離，求法比較靈活，主要有：（1）直接法。過該點作面的垂線，求出垂線段的長度，不過不能只顧作，計算不出來，應(yīng)先利用線面的位置關(guān)系判斷垂足的位置；（2）間接解法：利用三棱錐的體積進行等積變換來求解；（3）利用空間向量求解，公式是，其中n為平面的法向量，a為過該點的平面的一條斜線段所確定的一個向量。 【變式訓(xùn)練】 如圖，已知正三棱柱ABC—A1B1C1的各條棱長都為a， P為A1B上的點。 （1）試確定的值，使得PC⊥AB； 答案：過P作PM⊥AB于M，連結(jié)CM，∵ABC-A1B1C1為正三棱柱，∴PM⊥平面ABC，∴PC在下底面上的

14、射影為CM，∵PC⊥AB，∴CM⊥AB，又△ABC為等邊三角形，∴M為AB中點，即P為A1B的中點， （2）若，求二面角P—AC—B的大?。? BH= 3 已知斜三棱柱ABC—A1B1C1的側(cè)面，A1ACC1與底面ABC垂直，∠ABC=90°，BC=2，AC=2，且AA1⊥A1C，AA1⊥A1C。如圖所示。 易錯點 4簡單幾何體 1．如圖10-22，在正三棱柱ABC—A1B1C1中，AB=3，AA1=4，M為AA1的中點，P是BC上一點，且由P沿棱柱側(cè)面經(jīng)過棱CC1到M的最短路線長為，設(shè)這條最短路線與CC1的交點為N。 求：（1）該三棱柱側(cè)面展開圖的對角線長；

15、 （2）PC與NC的長； （3）平面NMP與平面ABC所成二面角（銳角）的大?。ㄓ梅慈呛瘮?shù)表示）。 2．如圖，直四棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面ABCD為平行四邊形，其中AB=，BD=BC=1，AA1=2，E為DC中點，點F在DD1上，且DF=。 （1）求異面直線BD與A1D1的距離； （2）EF與BC1是否垂直？請說明理由； （3）求二面角E—FB—D的正切值。 同正解一； 由已知可得∠ADB=90°，DD1⊥平面ABCD，∴以、、分別為x,軸y軸,z軸的正方向，建立空間坐標(biāo)系，F(xiàn)（0，0，）、E（）、A（1，0，0）、D1（0，0，2），∴= =（-1，0，2）

16、又BC1∥AD1，∴EF⊥AD1。 【特別提醒】 棱柱、棱錐、球是幾何中的重要載體，學(xué)習(xí)中除了牢固掌握有關(guān)概念、性質(zhì)、面積體積公式之外，還要靈活運用有關(guān)知識進行位置益壽延年 判斷與論證，進而達到計算的目的，在計算時要注意把某些平面圖形分離現(xiàn)來運用平面幾何的知識來進行計算，這是立體幾何中計算問題的重要方法和技巧。 【變式訓(xùn)練】 1 如圖，正四面體ABCD的棱長為1，P、Q分別為AB、CD上兩點，且AP=CQ=λ， 求出正四面體側(cè)面上從P到Q的最小距離。 （2）若CC1與平面ABB1A1的距離為1，A1C=，AB1=5，求三棱錐A1—ACD的體積。 【20

17、13高考突破】 1.已知是兩條不同直線，是三個不同平面，下列命題中正確的是（ ） A． B． C． D． 2.已知平面α⊥平面β，α∩β= l，點A∈α，Al，直線AB∥l，直線AC⊥l，直線m∥α，m∥β，則下列四種位置關(guān)系中，不一定成立的是（ ） A. AB∥m B. AC⊥m C. AB∥β D. AC⊥β 【答案】Ｄ 【解析】容易判斷Ａ、Ｂ、Ｃ三個答案都是正確的，對于Ｄ，雖然，但ＡＣ不一定在平面內(nèi)，故它可以與平面相交、平行，故不一定垂直； 3.在正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為棱AA1，CC1的中點，則在空間中與三條直

18、線A1D1，EF，CD都相交的直線（ ） A．不存在 B．有且只有兩條 C．有且只有三條 D．有無數(shù)條 5.如圖，AB是平面的斜線段，A為斜足，若點P在平面內(nèi)運動，使得△ABP的面積為定值，則動點P的軌跡是 6.對兩條不相交的空間直線和，必定存在平面，使得（ ） （A） （B） （C） （D） 答案：B 解析：本小題主要考查立體幾何中線面關(guān)系問題?！邇蓷l不相交的空間直線和，∴存在平面，使得。 7 如圖，在正四棱錐S—ABCD中，E是BC的中點，P點在側(cè)面△SCD內(nèi)及其邊界上運動，并且總有PE⊥AC。 （1）證明SB⊥

19、AC； （2）指出動點P的軌跡，并證明你的結(jié)論； 8、如圖，正三棱柱ABC—A1B1C1底面邊長為a，側(cè)棱長為，D是A1C1的中點。 （1）求證：BC1∥平面B1DA； 答案：如圖，連結(jié)A1B交AB1于E，則E為A1B的中點，又D為A1C1的中點，∴DE∥BC1又DE面AB1D，∴BC1∥平面AB1D. （2）求證：平面AB1D⊥平面A1ACC1； 9 菱形ABCD的邊AB=5，對角線BD=6，沿BD折疊得四面體ABCD，已知該四面體積不小于8，求二面角A—BC—C的取值范圍。 10 已知△BCD中，∠BCD=90°，BC=CD=1，AB⊥平面BCD，∠ADB=60

20、°E、F分別是AC、AD上的動點，且（0<λ<1），如圖。 （1）求證：不論λ為何值，恒有平面BEF⊥平面ABC； （2）當(dāng)λ為何值時，平面BEF⊥平面ACD。 11 如圖，直三棱柱ABC—A1B1C1中，底面是以∠ABC為直角的等腰直角三角形，AC=2a,BB=3a,Do A1C1的中點。 （1）求BE與A1C所成的角； 答案：如圖，取A1B的中點M，連結(jié)MB，E為B1C的中點，∴EM∥A1C，EM=A1C∴∠MEB（或補角）為直線BE與A1C所成的角. （2）在線段AA1上是否存在點F，使CF⊥平面B1DF，若存在，求出AF；若不存在，請說明理由。

21、 12、如圖，直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ACB=90°，BC=AC=2，AA1=4，D為棱CC1上一動點，M、N分別為△ABD、△A1B1R的重心。 ∴D為CC1的中點，∴C1D=2 VD-A1B1C1=VC1-A1B1D=·2··2·2=·h·×(2)2, ∴h=. （3）若點C在平面ABD上的射影恰好為M，試判斷點C1在平面A1B1D上的射影是否為N？并說明理由。 13 如圖，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ACB=90°，B1B=BC=CA=4，D1是A1B1中點E是BC1的中點，BD1交AB1于點F （3）求點C到平面BEF的距離。 答案：(解法一) ∵E為B1C的中點，∴C到平面BEF的距離等于B1到平面BEF的距離，∵ABC-A1B1C1為直棱柱，A1C1=B1C1，D1為中點，∴C1D1⊥A1B1，∴C1D1平面A1B1BA，14.在四面體ABCD中，CB=CD，， ∵BD面BCD，∴面面