3、){0,,1}
二、填空題
8.若Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,且S8-S3=10,則S11的值為 .
9.(2013·渭南模擬)已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若a4+a10=-10,S3=0,則Sn的表達(dá)式為 .
10.(2013·合肥模擬)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為正數(shù),若a1+a2+a3=15,a1a2a3=80,則a11+a12+a13= .
11.(能力挑戰(zhàn)題)設(shè)等差數(shù)列{an},{bn}的前n項(xiàng)和分別為Sn,Tn,若對(duì)任意自然數(shù)n都有=,則+的值為 .
三、解答題
12.已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列,且a2=-1,a5=5.
(1)
4、求{an}的通項(xiàng)an.
(2)求{an}前n項(xiàng)和Sn的最小值.
13.(2013·南昌模擬)已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且a2=-5,S5=-20.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.
(2)求使不等式Sn>an成立的n的最小值.
14.(2013·阜新模擬)已知數(shù)列{an}中a1=,an=2-(n≥2,n∈N+),數(shù)列{bn}滿足bn=(n∈N+).
(1)求證數(shù)列{bn}是等差數(shù)列.
(2)若Sn=(a1-1)·(a2-1)+(a2-1)·(a3-1)+…+(an-1)·(an+1-1),是否存在a與b∈Z,使得:a≤Sn≤b恒成立?若有,求出a的最大值與b的最小值,
5、若沒有,請(qǐng)說明理由.
15.(能力挑戰(zhàn)題)數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1=(n2+n-λ)an(n=1,2,…),λ是常數(shù).
(1)當(dāng)a2=-1時(shí),求λ及a3的值.
(2)數(shù)列{an}是否可能為等差數(shù)列?若可能,求出它的通項(xiàng)公式;若不可能,說明理由.
答案解析
1.【思路點(diǎn)撥】利用首項(xiàng)a1與公差d的關(guān)系整體代入求解,也可直接利用等差數(shù)列的性質(zhì)求解.
【解析】選B.方法一:
∵a4+a8=(a1+3d)+(a1+7d)=2a1+10d,a2+a10=(a1+d)+(a1+9d)=2a1+10d,
∴a2+a10=a4+a8=16.
方法二:由等差數(shù)列的性質(zhì)得
a2
6、+a10=a4+a8=16.
2.【解析】選B.由a2+a9=a6得a5+a6=a6,由此得a5=0,故S9=9a5=0.
3.【解析】選B.由a2=3a4-6,得a1+d=3(a1+3d)-6,即a1=-4d+3,S9=9a1+36d=
9(-4d+3)+36d=27.
4.【解析】選C.在等差數(shù)列{an}中,a3+a4+a5=12,由等差數(shù)列的性質(zhì)可知a3+a5=a4+a4,所以a4=4.根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可知a1+a2+…+a7=7a4=28,故選C.
5.【解析】選A.設(shè)公差為d,則由=4,得=4,即4a1+6d=8a1+4d,
即d=2a1.
===.
6.【思路點(diǎn)撥
7、】根據(jù)已知得到a3+a9=0,從而確定出a6=0,然后根據(jù)選項(xiàng)即可判斷.
【解析】選D.∵d<0,|a3|=|a9|,∴a3>0,a9<0,
且a3+a9=0,∴a6=0,a5>0,a7<0,
∴S5=S6.
【變式備選】(2013·聊城模擬)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若a3+a17=10,則S19= ( )
(A)55 (B)95
(C)100 (D)不能確定
【解析】選B.∵a3+a17=10,∴a10=5,那么S19=19a10=95.
7.【解析】選B.等差數(shù)列{an}中,設(shè)=是與n無關(guān)的常數(shù)m,所以a1+(n-1)d=ma1+m(2n-1)d對(duì)任意
8、n恒成立,即(2md-d)n+(ma1-md+d-a1)=0對(duì)任意n恒成立,
故由第一個(gè)方程得d=0或者m=.若d=0,代入第二個(gè)方程可得m=1(因?yàn)閍1≠0);若m=,代入第二個(gè)方程得d=a1.
8.【解析】S8-S3=10?-=10
?5a1+8a8-3a3=20
?10a1+50d=20?a1+5d=2?a6=2
?S11==11a6=22.
答案：22
9.【解析】設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,
由已知條件可得a1+a2+a3=3a2=0,
即
解得故Sn=n-=.
答案：
10.【解析】由已知,得
即消去d,得
-10a1+16=0,解得a1=2或a1=8
9、,
當(dāng)a1=2時(shí),d=3,
a11+a12+a13=a1+10d+a1+11d+a1+12d=3a1+33d=105;
當(dāng)a1=8時(shí),d=-3,不適合題意,舍去.
答案：105
11.【解析】∵{an},{bn}為等差數(shù)列,
∴+=+===.
∵====,∴=.
答案：
【方法技巧】巧解等差數(shù)列前n項(xiàng)和的比值問題
關(guān)于等差數(shù)列前n項(xiàng)和的比值問題,一般可采用前n項(xiàng)和與中間項(xiàng)的關(guān)系,尤其是項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)時(shí)Sn=na中,也可利用首項(xiàng)與公差的關(guān)系求解.另外,熟記以下結(jié)論對(duì)解題會(huì)有很大幫助:若數(shù)列{an}與{bn}都是等差數(shù)列,且前n項(xiàng)和分別是Sn與Tn,則=.
【變式備選】已知兩個(gè)等
10、差數(shù)列{an}和{bn}的前n項(xiàng)和分別為An和Bn,且=,則使得為整數(shù)的正整數(shù)n的個(gè)數(shù)是 ( )
(A)2 (B)3 (C)4 (D)5
【解析】選D.由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和及等差中項(xiàng),可得===
====7+(n∈N+),
故n=1,2,3,5,11時(shí),為整數(shù).故選D.
12.【解析】(1)設(shè){an}的公差為d,由已知條件,解得a1=-3,d=2.
所以an=a1+(n-1)d=2n-5.
(2)Sn=na1+d=n2-4n=(n-2)2-4.
所以n=2時(shí),Sn取到最小值-4.
【變式備選】在數(shù)列{an}中,an=43-3n,則當(dāng)n為何值時(shí),前n項(xiàng)和Sn取得最
11、大值.
【解析】方法一:∵an=43-3n,
∴an+1-an=[43-3(n+1)]-(43-3n)=-3.
又a1=40,
∴數(shù)列{an}是首項(xiàng)為40,公差為-3的等差數(shù)列,
∴Sn=na1+d=40n-
=-n2+n=-(n-)2+,
∴當(dāng)n=14時(shí),Sn最大.
方法二:令an=43-3n≥0,解得n≤=14,
即當(dāng)n≤14時(shí),an>0,當(dāng)n≥15時(shí),an<0,
∴S14最大,即當(dāng)n=14時(shí),Sn最大.
13.【解析】(1)設(shè){an}的公差為d,
依題意,得
a2=a1+d=-5,S5=5a1+10d=-20.
解得
所以an=-6+(n-1)·1=n-7.
12、
(2)因?yàn)閍n=n-7,所以
Sn=n=.
令>n-7,
即n2-15n+14>0,
解得n<1或n>14.
又n∈N+,所以n>14.
所以n的最小值為15.
【變式備選】等差數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù),其前n項(xiàng)和為Sn,滿足2S2=a2(a2+1),且a1=1.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.
(2)設(shè)bn=,求數(shù)列{bn}的最小值項(xiàng).
【解析】(1)設(shè)數(shù)列{an}的公差為d.
由2S2=+a2,
可得2(a1+a1+d)=(a1+d)2+(a1+d).
又a1=1,可得d=1(d=-2舍去),
∴an=n.
(2)根據(jù)(1)得Sn=,
bn===n+
13、+1.
由于函數(shù)f(x)=x+(x>0)在(0,]上是減少的,在[,+∞)上是增加的,
而3<<4,且f(3)=3+==,
f(4)=4+==,
所以當(dāng)n=4時(shí),bn取得最小值,
且最小值為+1=,
即數(shù)列{bn}的最小值項(xiàng)是b4=.
14.【解析】(1)由題意知bn-1=,
∴bn-bn-1=-=1(n∈N+,n≥2).
∴{bn}是首項(xiàng)為b1==-,
公差為1的等差數(shù)列.
(2)依題意有Sn=(a1-1)·(a2-1)+(a2-1)·(a3-1)+…+(an-1)·(an+1-1)
=--.
設(shè)函數(shù)y=,在x>3.5時(shí),y>0,y'<0,∴y=在(3.5,+∞)上
14、是減少的,
故當(dāng)n=3時(shí),Sn=--取最小值-.
而函數(shù)y=在x<3.5時(shí),
y<0,y'=-<0,
∴其在(-∞,3.5)上也是減少的.
故當(dāng)n=2時(shí),取最大值:S2=.
a的最大值與b的最小值分別為-3,2.
15.【解析】(1)由于an+1=(n2+n-λ)an(n=1,2,…),
且a1=1,所以當(dāng)a2=-1時(shí),得-1=2-λ,
故λ=3.從而a3=(22+2-3)×(-1)=-3.
(2)數(shù)列{an}不可能為等差數(shù)列,理由如下:
由a1=1,an+1=(n2+n-λ)an,得
a2=2-λ,a3=(6-λ)(2-λ),
a4=(12-λ)(6-λ)(2-λ).
若存在λ,使{an}為等差數(shù)列,則a3-a2=a2-a1,
即(5-λ)(2-λ)=1-λ,解得λ=3.
于是a2-a1=1-λ=-2,
a4-a3=(11-λ)(6-λ)(2-λ)=-24.
這與{an}為等差數(shù)列矛盾.
所以,對(duì)任意λ,{an}都不可能是等差數(shù)列.
2014屆高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 課時(shí)提升作業(yè)(三十) 第五章 第二節(jié) 等差數(shù)列 文
