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1、集合與函數(shù)概念
一、集合的基本概念與運算
(一)元素與集合
1.集合的定義
一般地,我們把研究對象統(tǒng)稱為元素。把一些元素組成的總體叫做集合(簡稱為集)。通常用大寫字母A,B,C,D,…表示集合,用小寫拉丁字母a,b,c,…表示元素。
2.集合中元素的特征
(1)確定性:給定的集合,它的元素必須是確定的,也就是說,給定一個集合,那么任何一個元素在不在這個集合中就確定了。例如,“中國的直轄市”構(gòu)成一個集合,北京、上海、天津、重慶在這個集合中,杭州、南京、廣州……不在這個集合中?!吧聿妮^高的人”不能構(gòu)成集合;因為組成它的元素是不確定的。
(2)互異性:一個給定集合中的元素是互不相同的
2、(或說是互異的),也就是說,集合中的元素是不重復(fù)出現(xiàn)的。相同元素、重復(fù)元素,不論多少,只能算作該集合的一個元素。
(3)無序性:在一個集合中,不考慮元素之間的順序只要元素完全相同,就認為是同一個集合。
3、集合相等
只要構(gòu)成兩個集合的元素是一樣的,我們就稱這兩個集合是相等的。
4、元素與集合的關(guān)系
如果a是集合A的元素,就是說a屬于集合A,記作a∈A;如果a不是集合A中的元素,就說a不屬于集合A,記作aA。
5、常見的數(shù)集及記法
全體非負整數(shù)組成的集合稱為非負整數(shù)集(或自然數(shù)集),記作N;
所有正整數(shù)組成的集合稱為正整數(shù)集(在自然數(shù)集中排除0的集合),記作N*或N+;
全
3、體整數(shù)組成的集合稱為整數(shù)集,記作Z;
全體有理數(shù)組成的集合稱為有理數(shù)集,記作Q;
全體實數(shù)組成的集合稱為實數(shù)集,記作R。
拓展與提示:(1)無序性常常作為計算時驗證的重要依據(jù)。
(2)注意N與N*的區(qū)別。N*為正整數(shù)集,而N為非負整數(shù)集,即0∈N但0 N*。
(3)集合的分類
按元素個數(shù)
按元素的特征可分為:數(shù)集,點集,形集等等。
特別地,至少有一個元素的集合叫做非空集合;不含有任何元素的集合叫做空集(),只含有一個元素的集合叫做單元素集。
例 已知
解析?、? ?、?
解①得x=y=1這與集合中元素的互異性相矛盾。
解②得x
4、= -1或1(舍去)
這時y=0
∴x= -1,y=0
6、集合的表示方法
(1)列舉法:把集合中的所有元素一一列舉出來,并用花括號“”括起來表示集合的方法叫做列舉法。
適用條件:有限集或有規(guī)律的無限集
形式:
(2)描述法:用集合所含元素的共同特征表示集合的方法稱為描述法,具體方法是:在花括號內(nèi)先寫上表示這個集合元素的一般符號及取值(或變化)范圍;再畫一條豎線,在豎線后寫出這個集合中元素所具有的共同特征。
適用條件:一般適合于無限集,有時也可以是有限集。
形式:,其中x為元素,p(x)表示特征。
拓展與提示:如果集合中的元素的范圍已經(jīng)很明確,那么x∈D可以省略,只寫其元素
5、x,如可以表示為。
(3)韋恩圖法:把集合中的元素寫在一條封閉曲線(圓、橢圓、矩形等)內(nèi)。
例 用適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑?,并指出它是有限集還是無限集: (1)由所有非負奇數(shù)組成的集合;
(2)由所有小于10既是奇數(shù)又是質(zhì)數(shù)的自然數(shù)組成的集合;
(3)平面直角坐標(biāo)系內(nèi)所有第三象限的點組成的集合;
(4)方程x2+x+1=0的實數(shù)根組成的集合。
解析 (1)由所有非負奇數(shù)組成的集合可表示為:
,A是無限集。
(2)滿足條件的數(shù)有3,5,7,所以所求集合為:,集合 B是有限集。
(3)所求集合可表示為:,集合C是無限集。
(4)因為方程x2+x+1=0
6、的判別式的Δ<0,故無實數(shù),所以方程x2+x+1=0的實根組成的集合是空集。
(二)集合的基本關(guān)系
1、子集:一般地,對于兩個集合A、B,如果集合A中任意一個無素都是集合B中的元素,我們就說這兩個集合有包含關(guān)系,稱集合A為集合B的子集,記作,讀作“A含于B”(或“B包含A”)。
數(shù)學(xué)表述法可簡述為:若,則集合A是集合B的子集。(如圖)
2、集合相等:如果集合A是集合B的子集,且集合B是集合A的子集,此時,集合A與集合B中的元素是一樣的,因此,集合A與集合B相等,記作A=B。數(shù)學(xué)表述法可描述為:對于集合A、B,若,且,則集合A、B相等。
3、真子集:若集合,且A≠B,則集合
7、A是集合B的真子集。
(1) 。(2) B(其中B為非空集合)。(3)對于集合A,B,C,若。(4)對于集合A,B,若。(6)含n元素的集合的全部子集個數(shù)為2n個,真子集有2n-1個,非空子集有2n-1個,非空真子集有2n-2個。(7)是不同的,前者為包含關(guān)系,后者為屬于關(guān)系。
4、空集:不含任何元素的集合叫做空集,記為,并規(guī)定:空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集。
(三)集合間的基本運算
1、并集
一般地,由所有屬于集合A或集合B的元素組成的集合,稱為集合A與B的并集,記作 (讀作“A并B”),即
可用Venn圖表示為
8、
拓展與提示:對于任意集合A、B,有(1)(2);
(3);(4)。
2、交集
一般地,由屬于集合A且屬于集合B的所有元素組成的集合,稱為集合A與B的交集,記作(讀作“A交B”),即。
拓展與提示:對于任意集合A、B,有(1) (2);
(3);(4);(5)。
可用Venn圖表示為
3、全集與補集
(1)全集:一般地,如果一個集合含有我們所研究問題中所涉及的所有元素,那么就稱這個集合為全集,通常記作U。
(2)補集:對于一個集合A,由全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合稱為集合A相對于全集U的補集,簡稱為集合A的補集,記作。
拓展
9、與提示:(1)A∩=,A∪,=U;(2)=,=,=U;
(3) =,=。
(4)下圖中的①~④分別表示為
①A∩, ②∩B , ③A∩B , ④
例 設(shè)集合,若A∩B=,求A∪B。
解析 由A∩B=得,9∈A。
∴x2=9或2x-1=9
①由x2=9得,x=±3。當(dāng)x=3時,,與元素的互異性矛盾。
當(dāng)x=-3時,,此時,
②由2x-1=9得x=5.
當(dāng)x=5時,,此時,,與題設(shè)矛盾。
綜上所述,
4、集合中元素的個數(shù):(不做要求)
在研究集合時,經(jīng)常遇到有關(guān)集合元素的個數(shù)問題,我們把含有限個元素的集合A叫做
10、有限集,用card來表示有限集合A中元素的個數(shù)。例如:.
一般地,對任意兩個有限集A,B,有card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B).
當(dāng)時僅當(dāng)A∩B=時,card(A∪B)=card(A)+card(B).
解與集合中元素個數(shù)有關(guān)的問題時,常用venn圖。
例 學(xué)校先舉辦了一次田徑運動會,某班有8名同學(xué)參賽,又舉辦了一次球類運動會,這個班有12名同學(xué)參賽,兩次運動會都參賽的有3人,兩次運動會中,這個班共有多少名同學(xué)參賽?
解析 設(shè),,那么
,
Card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B)
=8+12-3=17
答:兩次運動會中,這個班共有17名同學(xué)參賽