2012年中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)考點解密 探索性問題（含解析）

2012年中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)考點解密探索性問題、綜合問題精講：探索性問題是指命題中缺少一定的條件或無明確的結(jié)論，需要經(jīng)過推斷，補充并加以證明的題型探索性問題一般有三種類型：（1）條件探索型問題；（2）結(jié)論探索型問題；（3）探索存在型問題條件探索型問題是指所給問題中結(jié)論明確，需要完備條件的題目；結(jié)論探索型問題是指題目中結(jié)論不確定，不唯一，或題目結(jié)論需要類比，引申推廣，或題目給出特例，要通過歸納總結(jié)出一般結(jié)論；探索存在型問題是指在一定的前提下，需探索發(fā)現(xiàn)某種數(shù)學(xué)關(guān)系是否存在的題目 探索型問題具有較強的綜合性，因而解決此類問題用到了所學(xué)過的整個初中數(shù)學(xué)知識經(jīng)常用到的知識是：一元一次方程、平面直角坐標(biāo)系、一次函數(shù)與二次函數(shù)解析式的求法（圖象及其性質(zhì)）、直角三角形的性質(zhì)、四邊形（特殊）的性質(zhì)、相似三角形、解直角三角形等其中用幾何圖形的某些特殊性質(zhì)：勾股定理、相似三角形對應(yīng)線段成比例等來構(gòu)造方程是解決問題的主要手段和途徑因此復(fù)習(xí)中既要重視基礎(chǔ)知識的復(fù)習(xí)，又要加強變式訓(xùn)練和數(shù)學(xué)思想方法的研究，切實提高分析問題、解決問題的能力、典型例題剖析【例1】如圖261，已知拋物線的頂點為A(O，1)，矩形CDEF的頂點C、F在拋物線上，D、E在軸上，CF交y軸于點B(0，2)，且其面積為8(1)求此拋物線的解析式；(2)如圖262，若P點為拋物線上不同于A的一點，連結(jié)PB并延長交拋物線于點Q，過點P、Q分別作軸的垂線，垂足分別為S、R求證：PBPS；判斷SBR的形狀；試探索在線段SR上是否存在點M，使得以點P、S、M為頂點的三角形和以點Q、R、M為頂點的三角形相似，若存在，請找出M點的位置；若不存在，請說明理由解：方法一：B點坐標(biāo)為(0，2)，OB2，矩形CDEF面積為8，CF=4.C點坐標(biāo)為(一2，2)F點坐標(biāo)為(2，2)。設(shè)拋物線的解析式為其過三點A(0，1)，C(-22)，F(xiàn)(2，2)。得 解得此拋物線的解析式為 方法二：B點坐標(biāo)為(0，2)，OB2，矩形CDEF面積為8， CF=4.C點坐標(biāo)為(一2，2)。 根據(jù)題意可設(shè)拋物線解析式為。其過點A(0，1)和C(-22) 解得此拋物線解析式為(2)解：過點B作BN，垂足為NP點在拋物線y=+l上可設(shè)P點坐標(biāo)為PS，OBNS2，BN。PN=PSNS= 在RtPNB中PB2PBPS 根據(jù)同理可知BQQR。，又 ，同理SBPB . SBR為直角三角形 方法一：設(shè)，由知PSPBb，。假設(shè)存在點M且MS，別MR 。若使PSMMRQ，則有。即。 SR2M為SR的中點. 若使PSMQRM，則有。M點即為原點O。綜上所述，當(dāng)點M為SR的中點時PSMMRQ；當(dāng)點M為原點時，PSMMRQ 方法二：若以P、S、M為頂點的三角形與以Q、M、R為頂點三角形相似，有PSMMRQ和PSMQRM兩種情況。 當(dāng)PSMMRQ時SPMRMQ，SMPRQM 由直角三角形兩銳角互余性質(zhì)知PMS+QMR90°。 取PQ中點為N連結(jié)MN則MNPQ= MN為直角梯形SRQP的中位線,點M為SR的中點 當(dāng)PSMQRM時，。又，即M點與O點重合。點M為原點O。綜上所述，當(dāng)點M為SR的中點時，PSMMRQ；當(dāng)點M為原點時，PSMQRM。 點撥：通過對圖形的觀察可以看出C、F是一對關(guān)于y軸的對稱點，所以（1）的關(guān)鍵是求出其中一個點的坐標(biāo)就可以應(yīng)用三點式或 y=ax2+c型即可而對于點 P既然在拋物線上，所以就可以得到它的坐標(biāo)為（a，a2+1）這樣再過點B作BNPS得出的幾何圖形求出PB 、PS的大小最后一問的關(guān)鍵是要找出PSM與MRQ相似的條件【例2】探究規(guī)律：如圖264所示，已知：直線mn，A、B為直線n上兩點，C、P為直線m上兩點 （1）請寫出圖264中，面積相等的各對三角形； （2）如果A、B、C為三個定點，點P在m上移動，那么，無論P點移動到任何位置，總有_與ABC的面積相等理由是：_. 解決問題：如圖 265所示，五邊形 ABCDE是張大爺十年前承包的一塊土地的示意圖，經(jīng)過多年開墾荒地，現(xiàn)已變成如圖266所示的形狀，但承包土地與開墾荒地的分界小路（266中折線CDE）還保留著；張大爺想過E點修一條直路，直路修好后，要保持直路左邊的土地面積與承包時的一樣多，右邊的土地面積與開墾的荒地面積一樣多請你用有關(guān)的幾何知識，按張大爺?shù)囊笤O(shè)計出修路方案（不計分界小路與直路的占地面積） （1）寫出設(shè)計方案并畫出相應(yīng)的圖形； （2）說明方案設(shè)計理由解：探究規(guī)律：（l）ABC和ABP，AOC和 BOP、CPA和CPB （2）ABP；因為平行線間的距離相等，所以無論點P在m上移動到任何位置，總有ABP與ABC同底等高，因此，它們的面積總相等 解決問題：畫法如圖267所示 連接EC，過點D作DFEC，交CM于點F，連接EF，EF即為所求直路位置 設(shè)EF交CD于點H，由上面得到的結(jié)論可知： SECF=SECD，SHCF=SEDH，所以S五邊形ABCDE=S五邊形ABCFE，S五邊形EDCMN=S四邊形EFMN 點撥：本題是探索規(guī)律題，因此在做題時要從前邊問題中總結(jié)出規(guī)律，后邊的問題要用前邊的結(jié)論去一做，所以要連接EC，過D作DFEC，再運用同底等高的三角形的面積相等【例3】如圖268所示，已知拋物線的頂點為M（2，4），且過點A(1,5)，連結(jié)AM交x軸于點B求這條拋物線的解析式；求點 B的坐標(biāo)；設(shè)點P（x，y）是拋物線在x軸下方、頂點 M左方一段上的動點，連結(jié) PO，以P為頂點、PQ為腰的等腰三角形的另一頂點Q在x軸上，過Q作x軸的垂線交直線AM于點R，連結(jié)PR設(shè)面 PQR的面積為S求S與x之間的函數(shù)解析式；在上述動點P（x，y）中，是否存在使SPQR=2的點？若存在，求點P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由解：（1）因為拋物線的頂點為M（2，4）所以可設(shè)拋物線的解析式為y=（x2）2 4因為這條拋物線過點A（1，5）所以5=a(12)24解得a=1所以所求拋物線的解析式為y=（x2）2 4 （2）設(shè)直線AM的解析式為y=kx+ b因為A（1，5）, M（2，4）所以，解得 k=3，b=2所以直線AM的解析式為 y=3x2當(dāng)y=0時，得x= ，即AM與x軸的交點B（,0）（3）顯然，拋物線y=x24x過原點(0，0當(dāng)動點P（x，y）使POQ是以P為頂點、PO為腰且另一頂點Q在x軸上的等腰三角形時，由對稱性有點 Q（2x，0）因為動點P在x軸下方、頂點M左方，所以0x2因為當(dāng)點Q與B（，0）重合時，PQR不存在，所以x，所以動點P（x，y）應(yīng)滿足條件為0x2且x，因為QR與x軸垂直且與直線AM交于點R，所以R點的坐標(biāo)為（2x，6x+2） 如圖269所示，作P HOR于H，則PH= 而S=PQR的面積=QR·P H= 下面分兩種情形討論：當(dāng)點Q在點B左方時，即0x時，當(dāng)R在 x軸上方，所以6x20所以S=（6x2）x=3x2+x；當(dāng)點Q在點B右方時，即x2時點R在x軸下方，所以6x20所以S=（6x2）x=3x2x； 即S與x之間的函數(shù)解析式可表示為（4）當(dāng)S=2時，應(yīng)有3x2+x =2，即3x2 x+ 2=0，顯然0，此方程無解或有3x2x =2，即3x2 x2=0，解得x1 =1，x2當(dāng)x=l時，y= x24x=3，即拋物線上的點P（1，3）可使SPQR=2；當(dāng)x=0時，不符合條件，應(yīng)舍去所以存在動點P，使SPQR=2，此時P點坐標(biāo)為(1,3)點撥：此題是一道綜合性較強的探究性問題，對于第（1）問我們可以采用頂點式求得此拋物線，而（2）中的點B是直線 AM與x軸的交點，所以只要利用待定系數(shù)法就可以求出直線AM，從而得出與x軸的交點B(3)問中注意的是Q點所處位置的不同得出的S與x之間的關(guān)系也隨之發(fā)生變化（4）可以先假設(shè)存在從而得出結(jié)論、綜合鞏固練習(xí)：（100分 90分鐘） 1 觀察圖2610中）至中小黑點的擺放規(guī)律，并按照這樣的規(guī)律繼續(xù)擺放記第n個圖中小黑點的個數(shù)為y解答下列問題： 填下表： 當(dāng)n=8時，y=_； 根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)，把n作為橫坐標(biāo)，把y作為縱坐標(biāo)，在圖2611的平面直角坐標(biāo)系中描出相應(yīng)的各點（n，y），其中1n5； 請你猜一猜上述各點會在某一函數(shù)的圖象上嗎？如果在某一函數(shù)的圖象上，請寫出該函數(shù)的解析式2（5分）圖2612是某同學(xué)在沙灘上用石子擺成的小房子觀察圖形的變化規(guī)律，寫出第n個小房子用了_塊石子 3(10分)已知RtABC中，AC=5，BC=12，ACB =90°，P是AB邊上的動點（與點A、B不重合），Q是BC邊上的動點（與點B、C不重合） 如圖2613所示，當(dāng)PQA C，且Q為BC的中點時，求線段CP的長； 當(dāng)PQ與AC不平行時，CPQ可能為直角三角形嗎？若有可能，請求出線段CQ的長的取值范圍，若不可能，請說明理由4如圖2614所示，在直角坐標(biāo)系中，以A（1，1），B（1，1），C（1，1），D（1，l）為頂點的正方形，設(shè)正方形在直線：y=x及動直線：y=x+2a（la1）上方部分的面積為S（例如當(dāng)a取某個值時，S為圖中陰影部分的面積），試分別求出當(dāng)a=0，a=1時，相應(yīng)的S的值5（10分）如圖2615所示，DE是ABC的中位線，B90，AFB C在射線A F上是否存在點M，使MEC與A DE相似？若存在，請先確定點M，再證明這兩個三角形相似；若不存在，請說明理由 6如圖2616所示，在正方形ABCD中，AB=1，是以點B為圓心AB長為半徑的圓的一段弧點E是邊AD上的任意一點（點E與點A、D不重合），過E作AC所在圓的切線，交邊DC于點F石為切點 當(dāng) DEF45時，求證點G為線段EF的中點； 設(shè)AE=x， FC=y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式；并寫出函數(shù)的定義域； 圖2617所示，將DEF沿直線EF翻折后得 D1EF，當(dāng)EF=時，討論AD1D與ED1F是否相似，如果相似，請加以證明；如果不相似，只要求寫出結(jié)論，不要求寫出理由。（圖2618為備用圖）7（10分）取一張矩形的紙進行折疊，具體操作過程如下： 第一步：先把矩形ABCD對折，折痕為MN，如圖 2619（1）所示； 第二步：再把B點疊在折痕線MN上，折痕為AE，點B在MN上的對應(yīng)點B，得 RtABE，如圖2619（2）所示； 第三步：沿EB線折疊得折痕EF，如圖2619所示；利用展開圖 2619（4）所示探究： （l）AEF是什么三角形？證明你的結(jié)論 （2）對于任一矩形，按照上述方法是否都能折出這種三角形？請說明理由8（10分）某校研究性學(xué)習(xí)小組在研究有關(guān)二次函數(shù)及其圖象性質(zhì)的問題時，發(fā)現(xiàn)了兩個重要結(jié)論一是發(fā)現(xiàn)拋物線y=ax2+2x+3(a0)，當(dāng)實數(shù)a變化時，它的頂點都在某條直線上；二是發(fā)現(xiàn)當(dāng)實數(shù)a變化時，若把拋物線y=ax2+2x+3(a0)的頂點的橫坐標(biāo)減少，縱坐標(biāo)增加，得到A點的坐標(biāo)；若把頂點的 橫坐標(biāo)增加，縱坐標(biāo)增加，得到B點的坐標(biāo)，則A、B兩點一定仍在拋物線y=ax2+2x+3(a0)上 請你協(xié)助探求出實數(shù)a變化時，拋物線y=ax2+2x+3(a0)的頂點所在直線的解析式； 問題中的直線上有一個點不是該拋物線的頂點，你能找出它來嗎？并說明理由； 在他們第二個發(fā)現(xiàn)的啟發(fā)下，運用“一般特殊一般”的思想，你還能發(fā)現(xiàn)什么？你能用數(shù)學(xué)語言將你的猜想表述出來嗎？你的猜想能成立嗎？若能成立，請說明理由。9已知二次函數(shù)的圖象過A（3，0），B（1，0）兩點 當(dāng)這個二次函數(shù)的圖象又過點以0，3）時，求其解析式； 設(shè)中所求 M次函數(shù)圖象的頂點為P，求SAPC：SABC的值； 如果二次函數(shù)圖象的頂點M在對稱軸上移動，并與y軸交于點D，SAMD：SABD的值確定嗎？為什么？10（13分）如圖2620所示，在 RtABC中，ACB90°，BC的垂直平分線DE，交 BC于 D，交AB于E，F(xiàn)在DE上，并且A FCE 求證：四邊形ACEF是平行四邊形； 當(dāng)B的大小滿足什么條件時，四邊形A CEF是菱形？請回答并證明你的結(jié)論； 四邊形ACEF有可能是正方形嗎？為什么？ 18用心 愛心 專心