小學數(shù)學知識點例題精講《巧求周長》教師版

1一、基本概念周長：封閉圖形一周的長度就是這個圖形的周長面積：物體的表面或封閉圖形的大小,叫做它們的面積二、基本公式：長方形的周長2(長寬),面積長寬正方形的周長4邊長,正方形的面積邊長邊長三、常用方法：（1）對于基本的長方形和正方形圖形,可以直接用公式求出它們的周長和面積,對于一些不規(guī)則的比較復雜的幾何圖形,我們可以采用轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想方法割補成基本圖形,利用長方形、正方形周長及面積計算的公式求解（2）轉(zhuǎn)化是一種重要的數(shù)學思想方法,在轉(zhuǎn)化過程中要抓住“變”與“不變”兩個部分轉(zhuǎn)化后的圖形雖然形狀變了,但其周長和面積不應該改變,所以在求解過程中不能遺漏掉某些線段的長度或某部分圖形的面積轉(zhuǎn)化的目標是將復雜的圖形轉(zhuǎn)化為周長或面積可求的圖形（3）尋求正確有效的解題思路,意味著尋找一條擺脫困境、繞過障礙的途徑因此,我們在解決數(shù)學問題時,思考的著重點就是要把所需解決的問題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)能夠解決的問題也就是說,在直接求解不容易或很難找到解題途徑的問題時,我們往往轉(zhuǎn)化問題的形式,從側(cè)面或反面尋找突破口,知道最終把它轉(zhuǎn)化成一個或若干個能解決的問題這種解決問題的思想在數(shù)學中叫“化歸”,它是數(shù)學思維中重要的思想和方法（4）在幾何中,有許多圖形是由一些基本圖形組合、拼湊而成的這樣的圖形我們稱為不規(guī)則圖形不規(guī)則圖形的面積往往無法直接應用公式計算那么,不規(guī)則圖形的面積怎樣去計算呢?對稱、旋轉(zhuǎn)、平移這幾種幾何變換就是解決這類面積問題的手段四、幾個重要的解題思想（1）平移在平面圖形的計算中,常常要將一個平面圖形移動到平面上的另一個位置進行計算其中,將圖形沿一個固定方向的移動叫做平移,一個圖形經(jīng)過平行移動不改變其形狀與大小,所以圖形面積是保持不變的利用圖形的平移,可以使面積計算問題的解法簡捷明快,頗有新意（2）割補割補法在我國古代叫“出入相補原理”,我國古代魏晉時期著名的數(shù)學家劉徽在九章算術(shù)注中就明知識點撥知識點撥4-2-2.4-2-2.巧求周長巧求周長2確地提出“出入相補,各從其類”的出入相補原理這個原理的內(nèi)容是幾何圖形經(jīng)過分、合、移、補所拼湊成的新圖形,它的面積不變（3）旋轉(zhuǎn)在平面圖形的割補中,有時要將一個圖形繞定點旋轉(zhuǎn)到一個新的位置,產(chǎn)生一種新的圖形結(jié)構(gòu),圖形在轉(zhuǎn)動過程中形狀大小不發(fā)生改變利用這種新的圖形結(jié)構(gòu)可以幫我們解決面積的計算問題（4）對稱平面圖形中有許多簡單漂亮的圖形都是軸對稱圖形軸對稱圖形沿對稱軸折疊,軸兩側(cè)可以完全重合也就是說,如果一個圖形是軸對稱圖形,那么對稱軸平分這個圖形的面積熟悉軸對稱圖形這個性質(zhì),對面積計算會有很大幫助（5）代換在幾何計算中,對有關(guān)數(shù)量進行適當?shù)牡攘看鷵Q也是解決問題的已知技巧小結(jié)：本講主要通過求一些不規(guī)則圖形的周長,體會一種轉(zhuǎn)化思想,重點在于把不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的方法,包括平移、旋轉(zhuǎn)、割補、差不變原理,通過這些方法的學習,讓學生體會求周長的技巧,提高學生的觀察能力、動手操作能力、綜合運用能力模塊一、圖形的周長和面積割補法【例例 1】求圖中所有線段的總長(單位：厘米)EDCBA2134【考點】巧求周長 【難度】2 星 【題型】填空【解析】要注意到,題目所求的是圖中所有線段的總長,而圖中的線段,并不僅僅是AB、BC、CD、DE四段,還包括AC、BE等等,因此不能簡單地將圖中標示的線段長度進行求和同時應該注意到,43ACABBC;3126 BEBCCDDE,等等因此,為了計算圖中所有線段的總長,需要先計算AB、BC、CD、DE這四條線段分別被累加了幾次這里,可以按照每條線段分別是由幾部分組成的加以討論：由 1 段組成的線段共有 4 條,即AB、BC、CD、DE,而求和過程中AB、BC、CD、DE這四條線段各被累加了 1 次類似地考慮到,由 2 段組成的線段共有 3 條,求和過程中AB、DE各被累加了 1 次,BC、CD各被累加了 2 次由 3 段組成的線段共有 2 條,求和過程中AB、DE各被累加了 1 次,BC、CD各被累加了 2 次由 4 段組成的線段只有 AE,其中AB、BC、CD、DE各被計算了 1 次綜上所述,AB、DE各被計算了 4 次,BC、CD各被計算了 6次因而圖中所有線段的總長度為：442631=48（厘米）【答案】48【例例 2】如圖所示,點B是線段AD的中點,由A、B、C、D四個點所構(gòu)成的所有線段的長度均為整數(shù),若這些線段的長度之積為 10500,則線段 AB 的長度是 .ABCD【考點】巧求周長 【難度】2 星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】華杯賽,決賽,第 7 題,10 分【解析】線段所有長度包括AB、BC、CD、AC、BD、AD.由于最后要求的是AB,我們可用AB和BC來表示這所有線段之積,為：31050022ABBCABBCABBCABABABBCABBCABBC對 10500 進行分解質(zhì)因式,可得2310500=23 57 所以AB長度為5.【答案】5例題精講例題精講3【例例 3】三只猴子走得一樣快,所走的路線如下圖.哪只猴子先吃到桃子,就在它旁邊的()里畫勾.B ()C ()A ()【考點】巧求周長 【難度】2 星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】走美杯,3 年級,決賽,第 9 題,12 分【解析】猴子走的路線應該分為橫向與豎向,兩個緯度來看,橫向看三只猴子所走路線是相同的,豎向看 A 走的路程最少,所以 A 先吃到桃子.【答案】A【例例 4】在一個長方形的面積為 169 平方厘米.在這個長方形內(nèi)任取一點 P,則點 P 到長方形四邊的距離之和最小值為_厘米.【考點】巧求周長 【難度】2 星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】走美杯,四年級,初賽,第 13 題【解析】容易知道,無論點 P 在長方形內(nèi)的位置在哪,P 點到則點 P 到長方形四邊的距離之和都為該長方形的“長+寬”,若“長+寬”最小,則長與寬的差要盡量小,即長=寬=13 厘米時,P 到長方形四邊的距離之和最小,為 26 厘米.P【答案】26厘米【例例 5】邊長是15厘米的3個正方形拼成一個長方形,這個長方形的周長是多少?【考點】巧求周長 【難度】2 星 【題型】解答【解析】想一想,把幾個正方形拼合在一起,拼出的長方形的周長與所有正方形的周長相差多少呢?由3個大小相同正方形拼成一個長方形,只有一種拼法,就是把三個正方形排成一排于是拼成的長方形的長是15 345厘米,寬是15厘米所以長方形的周長是：(長寬)245152120（）(厘米)【答案】120厘米【鞏固】用一塊長8分米,寬4分米的長方形紙板與兩塊邊長4分米的正方形紙板拼成一個正方形拼成的正方形的周長是多少分米?48【考點】巧求周長 【難度】3 星 【題型】解答【解析】兩塊邊長4分米的正方形紙可以拼成一個長8分米,寬4分米的長方形紙板,與原有的一塊8分米,寬4分米的長方形紙板的面積一樣大,而且這兩個長方形兩條寬的和正好等于一條長所以,拼法如圖所示然后運用正方形的周長計算公式很容易求出它的周長4拼成的正方形的周長是：8432(分米)【答案】32分米【例例 6】用 7 個長 4 厘米,寬 3 厘米的長方形拼成一個大長方形,在所有可能的拼法中,大長方形周長的最小值是厘米.【考點】巧求周長 【難度】3 星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】迎春杯,中年級,復試,2 題【解析】這是一道幾何問題,可以動手操作要使所擺的大長方形的周長最小,應使 7 個小長方形有盡可能多的邊重合只有如下的 3 種擺法：丙 1丙 2丙 3圖 1 的周長為(3 74)250厘米;圖 2 的周長為(473)262厘米;圖 3 的周長為(3443)238厘米;顯然,在所有的拼法中,大長方形周長的最小值是 38 厘米【答案】38厘米【鞏固鞏固】用 6 張邊長為 2 厘米的正方形紙片拼成一個長方形,這個長方形的周長是_厘米【考點】巧求周長 【難度】3 星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】走美杯,3 年級,初賽,第 6 題【解析】6 張邊長為 2 的正方形可以拼成的長方形有兩種情況具體分析為：周長為621 2228（厘米）周長為3222220（厘米）【答案】28或20厘米【鞏固鞏固】用 6 張邊長為 3 厘米的正方形紙片拼成一個長方形,這個長方形的周長是_厘米.【考點】巧求周長 【難度】3 星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】走美杯,四年級,初賽,第 2 題【解析】可能拼出的長方形有如下兩種可能,周長依次為 42 厘米,30 厘米【答案】42或30厘米【例例 7】用若干個邊長都是2厘米的平行四邊形與三角形(如右圖)拼接成一個大的平行四邊形,已知大平行四邊形的周長是244厘米,那么平行四邊形和三角形各有多少個?5【考點】巧求周長 【難度】3 星 【題型】解答【解析】大平行四邊形上、下兩邊的長為(24422)2120厘米,觀察上邊,每6厘米有兩個平行四邊形的邊,所以共有小平行四邊形1206240 個,而三角形的數(shù)量與小平行四邊形的數(shù)量相等,也是40個【答案】平行四邊形40個,三角形40個【鞏固鞏固】用若干個邊長都是2厘米的平行四邊形與三角形(如右圖)拼接成一個大的平行四邊形,已知大平行四邊形的周長是236厘米,那么平行四邊形和三角形各有多少個?【考點】巧求周長 【難度】3 星 【題型】解答【解析】大平行四邊形上、下兩邊的長為(23622)2116厘米,觀察上邊,每6厘米有兩個平行四邊形的邊,1166192,所以有三角形19238個,小平行四邊形38139 個【答案】三角形38個,平行四邊形39個【例例 8】將一個邊長為 4 厘米的正方形對折,再沿折線剪開,得到兩個長方形請問：這兩個長方形的周長之和比原來正方形的周長多幾厘米?【考點】巧求周長 【難度】1 星 【題型】解答【解析】剪開后的圖形與原圖形相比,多了兩條邊,這兩條邊的長度即為所求42=8（厘米）.【答案】8【鞏固鞏固】把一個邊長為 a 的正方形分成兩個完全相同的長方形,則這兩個長方形的周長的和是 .【考點】巧求周長 【難度】1 星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】希望杯,4 年級,初賽,12 題【解析】剪開后的圖形與原圖形相比,多了兩條邊,這兩條邊的長度為2a,所以這兩個長方形的長度為426aaa【答案】6a【鞏固鞏固】如圖,兩個長方形拼成了一個正方形.如果正方形的周長比兩個長方形的周長的和少 6 厘米,則正方形面積是_平方厘米.【考點】巧求周長 【難度】1 星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】希望杯,4 年級,初賽【解析】正方形的周長比兩個長方形的周長的和少 2 個邊長,2 個邊長是 6 厘米,則邊長是 3 厘米,面積是 9平方厘米.【答案】9平方厘米【鞏固鞏固】兩個大小相同的正方形拼成了一個長方形,長方形的周長比原來的兩個正方形周長的和減少了6厘米,原來一個正方形的周長是多少厘米?6【考點】巧求周長 【難度】2 星 【題型】解答【解析】先想一想,減少的6厘米相當于正方形的幾條邊的邊長呢?把兩個正方形拼成一個長方形時,拼成的長方形的周長比原來兩個正方形的8條邊減少了2條邊(如圖所示)而這兩條邊的和正好是減少的6厘米,所以,正方形的邊長是623厘米,原來一個正方形的周長是3412厘米所以原來一個正方形的周長是：62412(厘米)【總結(jié)】通過這個例題,可以看出,求組合圖形及一些特殊圖形的周長與面積,一定要仔細觀察,善于發(fā)現(xiàn)其中內(nèi)在的聯(lián)系,找出未知與已知的關(guān)系,將問題轉(zhuǎn)化,從而得到解決下面我們來學習幾種求幾何圖形周長和面積的技巧【答案】12厘米【例例 9】長方形ABCD長為 l0 厘米,寬為 4 厘米E是BC中點,四邊形ADCE的周長比三角形ABE的周長多（）厘米EDCBA【考點】巧求周長 【難度】2 星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】走美杯,3 年級,初賽,第 14 題【解析】通過比較得出,四邊形ADCE的周長比三角形ABE的周長多的是AD邊,多 10 厘米.【答案】10厘米【例例 10】（第六屆走美四年級初賽第 15 題）E 是正方形 ABCD 的邊 CD 上的三等分點(如圖),BE 把正方形分成一個梯形和一個三角形梯形的周長比三角形的周長大 8 厘米正方形 ABCD 的面積是 EDCBA【解析解析解析】由 E 是正方形 ABCD 的邊 CD 上的三等分點,知 DC=3EC,又有梯形的周長比三角形的周長大 8 厘米,知 4 份量是 8 厘米,1 份量是 2 厘米,則有正方形的邊是 6 厘米,則正方形 ABCD 的面積是 36【例例 11】如圖所示,一個大長方形被三條線段分成了四個小長方形,各條線段長度見圖(單位：厘米)求：圖中所有長方形的周長之和21342【考點】巧求周長 【難度】3 星 【題型】解答【解析】類似于上題,題目中所說的長方形,并不只包括最小的幾個長方形,因此需要先求出每條線段在求和過程中被累加了多少次因為沒從大長方形的長上找到一條線段,就能對應地找到大長方形內(nèi)的一個長方形,所以可以利用上一個問題的結(jié)論來解決這個問題當然,要考慮到,每個長方形都有兩條7長和兩條寬,因此計算過程中應該注意不要漏算先考慮大長方形的長上各邊：應用上一道題目的結(jié)論,每條邊上長為 4、3、1、2 的線段分別被計算了 4、6、6、4 次然后再考慮大長方形的寬：因為共有432 110 個長方形,所以長度為 2 的寬被計算了102=20（次）故總周長可以用下式計算得到：24 43 6 1 62 42 20136 厘米【答案】136厘米【例例 12】如圖,從長方形紙片 ABCD 上剪去正方形 ADFE,剩下的長方形 EFCB 的周長是 100 厘米,則 AB 的長是 厘米.FEDCBA【考點】巧求周長 【難度】3 星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】希望杯,4 年級,初賽,15 題【解析】長方形的周長2EFEB,而EFAE,所以 AB=AE+EB=EF+FB=1002=50 厘米.【答案】50厘米【例例 13】如圖,正方形 ABCD 的邊長是 6 厘米,過正方形內(nèi)的任意兩點畫直線,可把正方形分成 9 個小長方形.這 9 個小長方形的周長之和是 厘米.DCBA【考點】巧求周長 【難度】3 星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】2006 年,第 4 屆,希望杯,4 年級,初賽,13 題【解析】從總體考慮,在求這9個小長方形的周長之和時,AB、BC、CD、DA這四條邊被用了1次,其余四條虛線被用了2次,所以9個小長方形的周長之和是：6462472（厘米）.【答案】72厘米【鞏固鞏固】如圖,正方形的邊長為4,被分割成如下12個小長方形,求這12個小長方形的所有周長之和【考點】巧求周長 【難度】3 星 【題型】解答【解析】4445256【答案】56【鞏固鞏固】有一個長方形紙片,長比寬多2厘米,周長是36厘米,用剪刀剪3下（如圖）,這6個長方形的周長之和是 .8【考點】巧求周長 【難度】3 星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】學而思杯,3 年級,第 4 題【解析】根據(jù)題意知：長為：182210（）（厘米）,寬為：1810=8（厘米）,剪3刀后增加了4個長,2個寬,則周長和為：364 102 8=92（厘米）.【答案】92厘米【例例 14】如圖,一個正方形被分割成24個互不重疊的小長方形,這24個小長方形的周長總和為24,原正方形的面積是 .【考點】巧求周長 【難度】4 星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】走美杯,5 年級,決賽,第 10 題,10 分【解析】由題目中的圖可以看出,小長方形的周長和相當于正方形的82420（條）邊長,所以正方形面積為224362025.【答案】3625【例例 15】如圖,有一張長為 12 厘米,寬為 10 厘米的長方形紙片,按照虛線將這個紙片剪為兩部分,這兩部分的周長之和是_厘米3丙 丙4丙 丙【考點】巧求周長 【難度】3 星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】中年級,決賽,4 題【解析】所求的周長之和原長方形的周長2 虛線的總長度原長方形的周長(1210)244（厘米）,虛線的總長度10(1234)325（厘米）,則所求周長之和4422594（厘米）【答案】94厘米【例例 16】將若干個邊長為1的正六邊形(即單位六邊形)拼接起來,得到一個拼接圖形,如圖：不 不=14不 不=12不 不=10不 不=6那么,要拼接成周長等于18的拼接圖形,需要多少個單位六邊形?畫出對應的一種圖形【考點】巧求周長 【難度】5 星 【題型】解答【關(guān)鍵詞】希望杯,復試【解析】先從變化中觀察,尋找規(guī)律細心觀察四個圖形,可以發(fā)現(xiàn)：在拼接圖形時,每增加一個單位六邊形,拼接圖形的周長要么不增加,要么增加2或4,如圖9不 不 不 不 4不 不 不 不 2不 不 不 不 不因為兩個單位六邊形拼接的圖形的周長只能是10,因為18108,8444222222,所以當拼接圖形的周長等于18時,所拼接的單位六邊形有4個、5個、6個或7個如圖：4個：5個：6個：7個：【答案】周長等于18時,所拼接的單位六邊形有4個、5個、6個或7個如圖：4個：5個：6個：7個：模塊二、圖形的周長和面積平移【例例 17】一個周長是 20 厘米的正方形,剪下一個周長是 6 厘米的正方形,剩下的圖形的周長是_（寫出所有可能的結(jié)果）【考點】巧求周長 【難度】2 星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】走美杯,四年級,初賽,第 5 題【解析】可以知道,我們可以得到如下幾種類型的圖形,利用平移的方法可以得到它們的周長依次為 20 厘米、23 厘米,26 厘米.10【答案】20厘米、23厘米、26厘米【鞏固鞏固】如圖 3 所示,這是三個邊長為 10 厘米的正方形紙片.從（1）和（2）中各剪去一個面積是 4 平方厘米的小正方形,從（3）中剪去一個面積是 4 平方厘米的長方形.比較（1）,（2）,（3）,剩下部分周長最小的是_（填圖形編號）,它的周長是_厘米.丙 1丙丙 2丙41丙 3丙【考點】巧求周長 【難度】2 星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】希望杯,四年級,復賽,第 11 題【解析】觀察三個圖形,可以得出,(1)中剩下部分周長與原正方形的周長相等,(2)、(3)剩下部分周長都比原正方形的周長要大,所以剩下部分最小的是(1),為10440（厘米）.【答案】(1)周長為40厘米【例例 18】一個長為12厘米,寬為10厘米的長方形,挖去一個邊長為4厘米的正方形補在另一邊上（如圖）.所得圖形的周長為 厘米.【考點】巧求周長 【難度】2 星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】走美杯,3 年級,決賽,第 3 題,8 分【解析】原長方形周長為(1210)244（厘米）,進行挖補后,周長增加了4416（厘米）,所以所得圖形的周長為441660（厘米）.【答案】60厘米【鞏固鞏固】一個周長是 20 厘米的正方形,剪下一個周長是 6 厘米的正方形,剩下的圖形的周長是 (寫出所有可能的結(jié)果)【考點】巧求周長 【難度】2 星 【題型】填空【解析】周長為 6 厘米的正方形的邊長為：641.5(厘米),周長為 20 厘米的正方形的邊長為2045(厘米),在一個正方形中剪下一個小正方形有兩種情況：對于圖 1 的周長,與原來正方形的周長相等,為 20 厘米;圖 2 的周長,觀察可以發(fā)現(xiàn),比原來正方形的周長多了兩條小正方形的邊,即為：201.5223(厘米)【答案】20或23厘米【例例 19】下邊這個圖形的周長等于_厘米.11丙 丙 丙 丙 丙203060【考點】巧求周長 【難度】2 星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】走美杯,3 年級,決賽,第 6 題,10 分【解析】整體看問題,本題周長相當于將 60、30、20 各算了兩次所以周長為：(20+30+60)2220(厘米)【答案】220厘米【鞏固鞏固】下圖中標出的數(shù)表示每邊長,單位是厘米它的周長是多少厘米?65133156【考點】巧求周長 【難度】2 星 【題型】解答【解析】平移轉(zhuǎn)化為求長方形的周長,長方形的長 5+6=11(厘米),寬 1+3=4(厘米),周長(11+4)2=30(厘米),(5+6)+(1+3)2=30(厘米),它的周長是 30 厘米【答案】30厘米【鞏固鞏固】求右圖所示圖形的周長(單位：分米)501050【考點】巧求周長 【難度】2 星 【題型】解答【解析】這道題最簡單的方法也是用平移法來解下面我們來看一個基本解法這是一個組合圖形,由兩個矩形組成,不要誤認為兩個矩形周長的和就是組合圖形的周長仔細觀察圖形可以發(fā)現(xiàn)：右邊矩形的右邊邊長可以移到左邊,這樣就可以使左邊的矩形變得完整所以,這個組合圖形的周長就是左邊矩形的周長再加上右邊矩形的一條已知邊長的2倍即：50102502220（）(分米)【答案】220分米【鞏固鞏固】如下圖是某校的平面圖,已知線段 a120 米,b130 米,c70 米,d60 米,l250 米楊老師每天早晨繞學校跑 3 圈,問每天跑多少米?1dcba abcd1【考點】巧求周長 【難度】3 星 【題型】解答【解析】平移法轉(zhuǎn)化為長方形再求(120130+60)(70+250)233780(米)【答案】3780米12【例例 20】下圖表示一塊地,四周都用籬笆圍起來,轉(zhuǎn)彎處都是直角已知西邊籬笆長17米,南邊籬笆長23米四周籬笆長多少米?丙丙23丙丙 17 CDBA2317丙丙丙丙【考點】巧求周長 【難度】3 星 【題型】解答【解析】因為這塊地的東邊和北邊的籬笆轉(zhuǎn)彎處是直角,可以將東西方向的籬笆平移到最外邊得到線段AD,將南北方向的籬笆平移到最外邊得到線段BD,則折線ACB的長等于折線ADB的長所以東邊和北邊籬笆的長分別和西邊、南邊的籬笆長相等列式為：四周籬笆長為：2317280（）(米)【答案】80米【鞏固鞏固】右圖的周長是 分米6丙 丙7丙丙【考點】巧求周長 【難度】3 星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】希望杯,培訓題【解析】把那些與水平方向平行的小線段都”放”下來,恰好與底邊一致;把豎直方向的小線段都依次”貼到”左邊,恰好貼滿左邊,因此多有的短橫線的長的和為6分米,所有的短豎線的長的和為7分米,圖形的周長為67226（）(分米)【答案】26分米【鞏固鞏固】計算右邊圖形的周長(單位：厘米).1510【考點】巧求周長 【難度】3 星 【題型】解答【解析】要求這個圖形的周長,似乎不可能,因為缺少條件.但是,我們仔細觀察這個圖形,發(fā)現(xiàn)它的每一個角都是直角,所以,我們可以將圖中右上缺角處的線段分別向上、向右平行移動到虛線處(見右下圖),這樣正好移補成一個長方形.求長方形的周長就易如反掌了.所以圖形的周長是：(1015)250(厘米).【答案】50厘米【鞏固鞏固】下圖是一個鋸齒狀的零件,每一個鋸齒的兩條線段都長 2 厘米,求這個零件的周長13 【考點】巧求周長 【難度】3 星 【題型】解答【解析】平移法,將鋸齒狀的零件轉(zhuǎn)化成平行四邊形,兩組對邊相等都等于 24 厘米,所以這個零件的周長是242=48(厘米)【答案】48厘米【例例 21】將邊長為 10 厘米的五張正方形紙片如圖那樣放置,每張小正方形紙片被蓋住的部分是一個較小的正方形,它的邊長是原正方形邊長的一半,則圖中的圖形外輪廓（圖中粗線條）的周長為_厘米.【考點】巧求周長 【難度】3 星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】希望杯,4 年級,初賽、9 題【解析】可以把圖形平移擴大成為邊長 30 厘米的大正方形,周長不變,所以周長是 304120 厘米.【答案】120厘米【例例 22】下圖是一面磚墻的平面圖,每塊磚長 20 厘米,高 8 厘米,像圖中那樣一層、二層一共擺十層,求擺好后這十層磚墻的周長是多少?【考點】巧求周長 【難度】4 星 【題型】解答【解析】我們?nèi)匀豢梢酝ㄟ^平移轉(zhuǎn)化為長方形來求長方形的長是 10 塊磚的長度,即 2010=200(厘米),寬是 10 塊磚的寬度,即 810=80(厘米),所以十層磚墻的周長是(200+80)2=560(厘米)【答案】560厘米【鞏固鞏固】“走美商場”開業(yè)了！每口如圖有規(guī)律地放了一些同樣的禮品盒供顧客免費領(lǐng)取.每一禮品盒寬9厘米,長18厘米（取“永久發(fā)達”的吉祥寓意）.擺好后其上面四層的正面圖如下圖所示,共擺十層,則一共有 個禮品盒,整個圖形周長為 厘米.【考點】巧求周長 【難度】4 星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】走美杯,3 年級,初賽,第 13 題,四年級,初賽,第 11 題14【解析】如圖所示,用平移的方法可以將“金字塔”形的禮品盒的周長變成一個長方形的周長.十層的話,長18 10180厘米,寬9 1090厘米,周長為180902540厘米.共有1234567891055個禮品盒.【答案】55個,周長540厘米【例例 23】下圖由 25 個邊長為 3 厘米的小正方形拼成,它的周長為 厘米.【考點】巧求周長 【難度】3 星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】走美杯,4 年級,決賽,第 3 題,8 分【解析】它的周長與邊長為 21 厘米的正方形的周長相同.為 84 厘米.【答案】84厘米【例例 24】如圖,每個小方格是一個正方形,如果該圖總面積是 52 個平方單位,試求這個圖形的外沿周長是多少個長度單位?【考點】巧求周長 【難度】3 星 【題型】解答【解析】40 個長度單位【答案】40【例例 25】把長 2 厘米、寬 1 厘米的長方形磚塊擺成如圖的形狀,求該圖形的周長?【考點】巧求周長 【難度】4 星 【題型】解答【解析】66 厘米【答案】66厘米15【例例 26】兩只小螞蟻同時從圖中的A點出發(fā)開始爬向B點,紅螞蟻沿圖中的實線爬行,黑螞蟻沿圖中虛線爬行,如果兩只螞蟻的爬行速度相同,則最先到達B點的是 BA【考點】巧求周長 【難度】3 星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】學而思杯,4 年級,第 4 題【解析】紅螞蟻【答案】紅螞蟻【鞏固鞏固】如下圖,正方形操場邊長 100 米,一只螞蟻沿甲地走了一圈,另一只螞蟻沿乙地走了一圈,誰走的路長?它們各走了多少米?丙丙30丙50丙100丙【考點】巧求周長 【難度】3 星 【題型】解答【解析】我們分別求甲、乙的周長甲的周長可轉(zhuǎn)化為長方形周長(如圖)30丙100丙50丙丙 30丙100丙50丙丙 50丙30丙100丙丙即為(100+50+30)2=360(米)再求乙的周長 乙的周長等于長方形周長加上 2 個 30 米,即為(100+50)2+302=360(米)所以它倆走的一樣長【答案】兩個人走路一樣長,360米【例例 27】求下圖的周長35丙 丙50丙 丙10丙 丙35丙丙50丙 丙DCBA【考點】巧求周長 【難度】3 星 【題型】解答【解析】通過平移轉(zhuǎn)化為右上圖,周長等于大長方形周長加上 AB、CD 的長,即有周長為(50+35)2+102=190(厘米)【答案】190厘米【鞏固鞏固】求右圖的周長 1610103020【考點】巧求周長 【難度】3 星 【題型】解答【解析】140 厘米【答案】140厘米【鞏固鞏固】右圖是由七個長 5 厘米、寬 3 厘米的相同長方形經(jīng)過豎放、橫放而成的圖形求這個圖形的周長?35【考點】巧求周長 【難度】3 星 【題型】解答【解析】平移法353352653=76(厘米).【答案】76厘米【例例 28】下圖的小正方形邊長為 1 厘米這個圖形的外沿的周長是多少厘米?【考點】巧求周長 【難度】3 星 【題型】解答【解析】根據(jù)平移性質(zhì)得到 28 厘米【答案】28厘米【例例 29】(第七屆”小機靈杯”數(shù)學競賽初賽)下面兩張圖中,周長較大的是 (在橫線上填寫表示圖名的字母)141014BA【考點】巧求周長 【難度】3 星 【題型】填空【解析】通過平移比較發(fā)現(xiàn)B比A多兩小段邊,得B的周長較大【答案】B【例例 30】如圖是一個機器零件的側(cè)面圖,圖中每一條最短線段長 5 厘米,這個零件高 30 厘米,求這個零件側(cè)面的周長是多少厘米?17 30丙丙30丙丙【考點】巧求周長 【難度】3 星 【題型】解答【解析】采用平移,零件側(cè)面的周長等于長方形周長加上內(nèi)部 10 條最短線段長,即(57+30)2+510=180(厘米)【答案】180厘米【例例 31】圖中是由周長都是 20 厘米的小正方形組成的,它的周長是多少厘米?【考點】巧求周長 【難度】3 星 【題型】解答【解析】160cm【答案】160厘米【鞏固鞏固】下圖是由邊長為 1 厘米的 11 個正方形堆成的“土”字圖形試求出其周長【考點】巧求周長 【難度】3 星 【題型】解答【解析】周長是由 24 條 1 厘米的邊長組成,所以周長=124=24(厘米)【答案】24厘米【例例 32】右圖是由16個同樣大小的正方形組成的,如果這個圖形的面積是400平方厘米,那么它的周長是多少厘米?【考點】巧求周長 【難度】3 星 【題型】解答【解析】考慮此類問題我們即可以局部分析,各個突破,也可以縱觀全局整體思考每個正方形的面積為4001625(平方厘米),所以每個正方形的邊長是5厘米觀察右圖,這個圖形的周長從上下方向來看是由7214條正方形的邊組成,從左右方向來看是由423420 條正方形的邊組成,所以其周長為5 14520170厘米【答案】170厘米【例例 33】圖、圖都是由完全相同的正方形拼成的,并且圖的周長是22厘米,那么圖的周長是多少厘18米?丙 1丙 丙 2丙【考點】巧求周長 【難度】4 星 【題型】解答【解析】圖的周長是小正方形邊長的12倍,圖的周長是小正方形邊長的18倍,因此,圖的周長為2212 1833厘米【答案】33厘米【例例 34】圖中共有 16 條線段,每兩條相鄰的線段都是互相垂直的為了計算出這個圖形的周長,最少要量出多少條線段的長度?【考點】巧求周長 【難度】4 星 【題型】解答【解析】如下圖所示,我們想像某只昆蟲繞圖形爬行一周,回到原出發(fā)點,那么往右的路程等于往左的路程,往上的路程等于往下的路程于是只用量出往右的路程,往下的路程,再將它們的和乘以 2 即為所求的周長所以,最少的量出下列 6 段即可丙 丙 丙【答案】6段,如圖：丙 丙 丙【例例 35】如圖,每個小格的邊長都是 1 個單位長度,一只甲蟲在水平方向上每爬行 1 個單位長度需要 5 秒,在豎直方向上每爬行 1 個單位長度需要 6 秒,每拐彎一次需要 1 秒.它從 A 點爬到 B 點,最少需要 秒.BA【考點】巧求周長 【難度】4 星 【題型】填空19【關(guān)鍵詞】希望杯,五年級,初賽,第 13 題,5 分【解析】最短也需要爬水平 5 格,豎直 4 格,拐彎最少時需要時間最好少,那么水平 2 格,豎直 2 格,水平 3 格,豎直 2 格只需要拐彎 3 次,時間最少 55+46+3=52 秒【答案】52秒【例例 36】右圖中的每個拐彎處的角都是直角,且它的八條邊的邊長分別是 1、2、3、4、5、6、7、8 厘米.這個圖形的面積最大是_平方厘米;最小是_平方厘米HGFEDCBA【考點】巧求周長 【難度】4 星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】走美杯,五年級,初賽,第 15 題【解析】因為八條邊的長不同,而且 AB 的長為另外三邊長的和,在 8 個數(shù)中,有6=1+2+3,7=1+2+4,8=1+2+5=1+3+4.八個數(shù)的和為 1+2+3+8=36,那么就有三種情況：（1）AB=6 時,將圖形補為長方形后的長為：（36-62）2=12,12=4+8=5+7,長方形的面積為 126=72,要使圖形面積最大,則要減去的兩個小長方形的面積最小,當EF=1,CF=5;GH=2,GD=4 時,滿足要求,那么圖形的最大面積為：72-15-24=59（平方厘米）.要使圖形面積最小,則要減去的兩個小長方形的面積最大,當 EF=2,CF=7;GH=3,GD=8 時,滿足要求,那么圖形的最小面積為：72-27-38=34（平方厘米）.（2）AB=7 時,將圖形補為長方形后的長為：（36-72）2=11,11=3+8=5+6,長方形的面積為117=77,要使圖形面積最大,則要減去的兩個小長方形的面積最小,當 EF=1,CF=5;GH=2,GD=3 時,滿足要求,那么圖形的最大面積為：77-15-23=66（平方厘米）.要使圖形面積最小,則要減去的兩個小長方形的面積最大,當 EF=2,CF=6;GH=4,GD=8 時,滿足要求,那么圖形的最小面積為：77-26-48=33（平方厘米）.（3）AB=8 時,將圖形補為長方形后的長為：（36-82）2=10,10=3+7=4+6,長方形的面積為108=80,要使圖形面積最大,則要減去的兩個小長方形的面積最小,當 EF=1,CF=4;GH=2,GD=3 時,滿足要求,那么圖形的最大面積為：80-14-23=70（平方厘米）.要使圖形面積最小,則要減去的兩個小長方形的面積最大,當 EF=2,CF=6;GH=5,GD=7 時,滿足要求,那么圖形的最小面積為：80-26-57=33（平方厘米）.綜上,這個圖形的面積最大是 70 平方厘米;最小是 33 平方厘米【答案】面積最大70平方厘米,最小33平方厘米【例例 37】如圖,一個長方形被分成 A、B、C 三塊,其中 B 和 C 都是長方形,A 的八條邊的邊長分別是l、2、3、4、5、6、7、8 厘米.那么 B 和 C 的面積和最多是 平方厘米.(示意圖不成比例)CBA【考點】巧求周長 【難度】5 星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】迎春杯,四年級,初賽,12 題【解析解析解析】如圖,a=b+c+d,e=f+h-g 滿足第一條等式的有：20hgfedcba6=1+2+3 剩下 4、5、7、8 湊出 8=5+7-4 7=1+2+4 剩下 3、5、6、8 湊出 8=6+5-38=1+2+5 剩下 3、4、6、7 湊出 7=6+4-38=1+3+4 剩下 2、5、6、7 無法湊所以長方形長寬有（6、8）（7、8）（8、7）三種情況.B 和 C 的面積和越大,A 的面積越小.對于于每一種情況在橫方向線段長度已經(jīng)確定的情況下.豎直線段一定是 cbd 的時候 A 的面積最小.在豎方向線段長度確定的情況下.橫方向一定是 fh 的情況面積最小.依次計算各部分的 B 和 C 面積：1、（3+2）7-24=272、（2+4）6-23=303、（5+2）6-23=36所以最多有 36 平方厘米.【答案】36平方厘米模塊三、整體看問題【例例 38】下圖中的陰影部分BCGF是正方形,線段FH長18厘米,線段AC長24厘米,則長方形ADHE的周長是 厘米HGFEDCBA【考點】巧求周長 【難度】3 星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】希望杯,五年級,初賽,第 11 題,6 分【解析】本題需要注意,長方形ADHE的寬應等于正方形BCGF的邊長由于圖中陰影部分BCGF是個正方形,其四條邊的邊長都相等,且等于長方形ADHE的寬FHAC的和應為長方形ADHE的長加上正方形BCGF的邊長,所以等于長方形ADHE的長與寬之和所以長方形ADHE的周長為：(1824)284厘米【答案】84厘米【鞏固鞏固】如圖,在長方形ABCD中,EFGH是正方形已知10cmAF,7cmHC,求長方形ABCD的周長HGFEDCBA【考點】巧求周長 【難度】3 星 【題型】解答【解析】通過觀察發(fā)現(xiàn)AFHG是長方形的長與寬,所以長方形ABCD的周長是107234（(cm)【答案】34厘米【鞏固鞏固】如圖,長方形 ABCD 中有一個正方形 EFGH,且 AF=16 厘米,HC=13 厘米,長方形 ABCD 的周長為 厘米.21HGFEDCBA【考點】巧求周長 【難度】3 星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】走美杯,3 年級,初賽,第 8 題）【解析】長方形的周長為（長+寬）2,即()2ABBC,容易知道ABBC=AFFBBC,而BCHG、FBGC,于是我們可以得到ABBC=AFHC,故長方形的周長為(1613)258.【答案】58【例例 39】如右圖所示,在一個正方形內(nèi)畫中、小兩個正方形,使三個正方形具有公共頂點,這樣大正方形被分割成了正方形區(qū)域甲,和L形區(qū)域乙和丙甲的邊長為4厘米,乙的邊長是甲的周長的1.5倍,丙的周長是乙的周長的1.5倍,那么丙的周長為多少厘米?EF長多少厘米?丙丙丙IJHGFEDCBA【考點】巧求周長 【難度】3 星 【題型】解答【解析】乙的周長實際上是正方形AHJE的周長(我們可將乙與甲重合的兩條線段分別向左、向下平移),同樣的,丙的周長也就是正方形ABCD的周長由于4 1.56AE,6 1.59AD,所以丙的周長為9436厘米,642EFAEAF(厘米)【答案】丙丁周長為36厘米,2厘米【例例 40】圖內(nèi) 9 個相同的小長方形構(gòu)成大長方形,大長方形周長為 90,則每個小長方形周長為 .【考點】巧求周長 【難度】3 星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】學而思杯,3 年級,第 7 題【解析】小長方形的寬的三倍等于長的兩倍,大長方形的周長其實是 9 個小長方形的寬加 4 個小長方形的長,即10小長方形的長.所以小長方形長9,寬6,小長方形周長為30.【答案】30【例例 41】有9個小長方形,它們的長和寬分別相等,用這9個小長方形拼成的大長方形(如圖)的面積是45平方厘米,求這個大長方形的周長【考點】巧求周長 【難度】3 星 【題型】解答22【解析】從圖上可以知道,小長方形的長的4倍等于寬的5倍,所以長是寬的541.25倍每個小長方形的面積為4595平方厘米,所以1.25寬寬5,所以寬為2厘米,長為2.5厘米大長方形的周長為(2.5422.5)229厘米【答案】29厘米【例例 42】右圖的長方形被分割成5個正方形,已知原長方形的面積為120平方厘米,求原長方形的長與寬【考點】巧求周長 【難度】3 星 【題型】解答【解析】大正方形邊長的2倍等于小正方形邊長的3倍,所以大正方形的邊長是小正方形邊長的1.5倍,大正方形的面積是小正方形面積的1.5 1.52.25倍,所以小正方形面積為120(2.2523)16平方厘米,所以小正方形的邊長為4厘米,大正方形的邊長為6厘米,原長方形的長為4312厘米,寬為4610厘米【答案】長12厘米,寬10厘米【例例 43】小明騎車到 A、B 和 C 三個景點旅游,如果從 A 地出發(fā)經(jīng)過 B 地到 C 地,共行 10 千米;如果從 B 地出發(fā)經(jīng)過 C 地到 A 地,共行 13 千米;如果從 C 地出發(fā)經(jīng)過 A 地到 B 地,共行 11 千米,則距離最短的兩個景點之間相距 千米.【考點】巧求周長 【難度】4 星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】希望杯,5 年級,復賽,第 9 題【解析】如圖所示,令 AB,BC,CA 間的距離分別為 a,b,c.bcaCAB從而根據(jù)題意有：10ab,13bc,11ac,從而有：10 13 11172abc,分別求得：17 134a;17 116b;17 107c,可見距離最近的是 AB 間的距離為 4.【答案】4千米