《圖與網(wǎng)絡(luò)分析》PPT課件.ppt

第八章圖與網(wǎng)絡(luò)分析,(GraphTheoryandNetworkAnalysis),本章內(nèi)容,圖與網(wǎng)絡(luò)的基本知識樹最短路問題最大流問題最小費(fèi)用流問題,哥尼斯堡七空橋,一筆畫問題,1圖與網(wǎng)絡(luò)的基本知識,環(huán)球旅行問題,一個圖是由點集V=vj和V中元素的無序?qū)Φ囊粋€集合E=ek構(gòu)成的二元組，記為G=(V,E),其中V中的元素vj叫做頂點，V表示圖G的點集合；E中的元素ek叫做邊，E表示圖G的邊集合。,例,圖1,定義1,圖及其分類,如果一個圖是由點和邊所構(gòu)成的，則稱其為無向圖，記作G=(V,E)，連接點的邊記作vi,vj,或者vj,vi。,如果一個圖是由點和弧所構(gòu)成的，那么稱它為有向圖，記作D=(V,A)，其中V表示有向圖D的點集合，A表示有向圖D的弧集合。一條方向從vi指向vj的弧，記作(vi,vj)。,V=v1,v2,v3,v4,v5,v6，A=(v1,v3),(v2,v1),(v2,v3),(v2,v5),(v3,v5),(v4,v5),(v5,v4),(v5,v6),圖2,圖及其分類,一條邊的兩個端點是相同的,那么稱為這條邊是環(huán)。如果兩個端點之間有兩條以上的邊，那么稱為它們?yōu)槎嘀剡叀?一個無環(huán)，無多重邊的圖稱為簡單圖，一個無環(huán)，有多重邊的圖稱為多重圖。,每一對頂點間都有邊相連的無向簡單圖稱為完全圖。有向完全圖則是指任意兩個頂點之間有且僅有一條有向邊的簡單圖。,定義2,定義3,圖及其分類,定義4,圖G=(V,E)的點集V可以分為兩個非空子集X，Y，即XY=V,XY=，使得E中每條邊的兩個端點必有一個端點屬于X，另一個端點屬于Y，則稱G為二部圖(偶圖)，有時記作G=(X,Y,E)。,X:v1,v3,v5,Y:v2,v4,v6,圖及其分類,度為零的點稱為弧立點，度為1的點稱為懸掛點。懸掛點的關(guān)聯(lián)邊稱為懸掛邊。度為奇數(shù)的點稱為奇點，度為偶數(shù)的點稱為偶點。,以點v為端點的邊的個數(shù)稱為點v的度（次），記作。,圖中d(v1)=4，d(v6)=4（環(huán)計兩度）,定義5,頂點的次,有向圖中，以vi為始點的邊數(shù)稱為點vi的出次，用表示；以vi為終點的邊數(shù)稱為點vi的入次，用表示；vi點的出次和入次之和就是該點的次。所有頂點的入次之和等于所有頂點的出次之和。,定理1,定理2,所有頂點度數(shù)之和等于所有邊數(shù)的2倍。,在任一圖中，奇點的個數(shù)必為偶數(shù)。,定義6,頂點的次,圖G=(V,E)，若E是E的子集，V是V的子集，且E中的邊僅與V中的頂點相關(guān)聯(lián)，則稱G=(V,E)是G的一個子圖。特別是，若V=V，則G稱為G的生成子圖(支撐子圖)。,定義7,子圖,在實際應(yīng)用中，給定一個圖G=（V,E）或有向圖D=（V,A）,在V中指定兩個點，一個稱為始點（或發(fā)點），記作v1，一個稱為終點（或收點），記作vn，其余的點稱為中間點。對每一條弧，對應(yīng)一個數(shù)，稱為弧上的“權(quán)”。通常把這種賦權(quán)的圖稱為網(wǎng)絡(luò)。,定義8,無向圖G=(V,E)，若圖G中某些點與邊的交替序列可以排成(vi0,ei1,vi1,ei2,vik-1,eik,vik)的形式，且eit=(vit-1,vit)(t=1,k)，則稱這個點邊序列為連接vi0與vik的一條鏈，鏈長為k。點邊列中沒有重復(fù)的點和重復(fù)邊者為初等鏈。,連通圖,連通圖,無向圖G中，連結(jié)vi0與vik的一條鏈，當(dāng)vi0與vik是同一個點時，稱此鏈為圈。圈中既無重復(fù)點也無重復(fù)邊者為初等圈。,定義9,定義10,一個圖中任意兩點間至少有一條鏈相連，則稱此圖為連通圖。任何一個不連通圖都可以分為若干個連通子圖，每一個稱為原圖的一個分圖。,對于有向圖可以類似于無向圖定義鏈和圈，初等鏈、圈，此時不考慮邊的方向。而當(dāng)鏈(圈)上的邊方向相同時，稱為道路(回路)。對于無向圖來說，道路與鏈、回路與圈意義相同。,對于網(wǎng)絡(luò)（賦權(quán)圖）G=（V,E）,其中邊有權(quán)，構(gòu)造矩陣，其中：稱矩陣A為網(wǎng)絡(luò)G的權(quán)矩陣。,設(shè)圖G=（V,E）中頂點的個數(shù)為n，構(gòu)造一個矩陣，其中：稱矩陣A為網(wǎng)絡(luò)G的鄰接矩陣。,定義11,定義12,圖的矩陣表示,當(dāng)G為無向圖時，鄰接矩陣為對稱矩陣。,例,權(quán)矩陣為：,鄰接矩陣為：,圖的矩陣表示,歐拉回路與中國郵路問題,定義13,連通圖G中，若存在一條道路，經(jīng)過每邊一次且僅一次，則稱這條路為歐拉道路。若存在一條回路，經(jīng)過每邊一次且僅一次，則稱這條回路為歐拉回路。具有歐拉回路的圖稱為歐拉圖(E圖)。在引言中提到的哥尼斯堡七橋問題就是要在圖中尋找一條歐拉回路。,定理3,無向連通圖G是歐拉圖，當(dāng)且僅當(dāng)G中無奇點。,定理4,連通有向圖G是歐拉圖，當(dāng)且僅當(dāng)它每個頂點的出次等于入次。,歐拉回路與中國郵路問題,定理5,已知圖G*=G+E1無奇點，則最小的充分必要條件為：(1)每條邊最多重復(fù)一次；(2)對圖G中每個初等圈來講，重復(fù)邊的長度和不超過圈長的一半。,本章內(nèi)容,圖與網(wǎng)絡(luò)的基本知識樹最短路問題最大流問題最小費(fèi)用流問題,2樹,運(yùn)動員,乒乓球單打比賽,樹的概念和性質(zhì),定理6,定義14,連通且不含圈的無向圖稱為樹。樹中次為1的點稱為樹葉，次大于1的點稱為分枝點。,圖T=(V,E),|V|=n,|E|=m，則下列關(guān)于樹的說法是等價的。(1)T是一個樹。(2)T無圈，且m=n-1。(3)T連通，且m=n-1。(4)T無圈，但每加一新邊即得惟一一個圈。(5)T連通，但任舍去一邊就不連通。(6)T中任意兩點，有惟一鏈相連。,一個圖G有生成樹的充要條件是G是連通圖。,設(shè)圖是圖G=(V,E)的一支撐子圖，如果圖是一個樹,那么稱K是G的一個生成樹（支撐樹），或簡稱為圖G的樹。圖G中屬于生成樹的邊稱為樹枝，不在生成樹中的邊稱為弦。,定義15,定理7,圖的生成樹,（一）避圈法,在圖中任取一條邊e1，找一條與e1不構(gòu)成圈的邊e2，再找一條與e1，e2不構(gòu)成圈的邊e3。一般設(shè)已有e1，e2，ek，找一條與e1，e2，ek中任何一些邊不構(gòu)成圈的邊ek+1，重復(fù)這個過程，直到不能進(jìn)行為止。,e5,v1,v2,v5,e2,e3,e1,e6,e7,e8,e4,v4,v1,v2,e1,v3,e2,e4,v4,v5,e6,v3,v1,v2,v3,v5,e1,e6,e8,e4,v4,（二）破圈法,用破圈法求出下圖的一個生成樹。,最小生成樹問題,定義16,如果圖是圖G的一個生成樹，那么稱E1上所有邊的權(quán)的和為生成樹T的權(quán)，記作S(T)。如果圖G的生成樹T*的權(quán)S(T*)，在G的所有生成樹T中的權(quán)最小，即那么稱T*是G的最小生成樹。,某六個城市之間的道路網(wǎng)如圖所示，要求沿著已知長度的道路聯(lián)結(jié)六個城市的電話線網(wǎng)，使電話線的總長度最短。,v1,v2,v3,v4,v5,1,4,2,3,1,3,5,2,根據(jù)破圈法和避圈法兩種方式得到了圖的兩個不同的支撐樹，由此可以看到連通圖的支撐樹不是唯一的。,最小樹的兩種算法,算法1（Kruskal算法）,算法2（破圈法）,樹根及其應(yīng)用,定義17,若一個有向圖在不考慮邊的方向時是一棵樹，則稱這個有向圖為有向樹。,定義18,有向樹T，恰有一個結(jié)點入次為0，其余各點入次均為1，則稱T為根樹(又稱外向樹)。,定義19,在根樹中，若每個頂點的出次小于或等于m，稱這棵樹為m叉樹。若每個頂點的出次恰好等于m或零，則稱這棵樹為完全m叉樹。當(dāng)m=2時，稱為二叉樹、完全二叉樹。,本章內(nèi)容,圖與網(wǎng)絡(luò)的基本知識樹最短路問題最大流問題最小費(fèi)用流問題,最短路的一般提法為：設(shè)為連通圖，圖中各邊有權(quán)（表示之間沒有邊），為圖中任意兩點，求一條路，使它為從到的所有路中總權(quán)最短。即：最小。,3最短路問題,(一)狄克斯屈拉(Dijkstra)算法適用于wij0，給出了從vs到任意一個點vj的最短路。,Dijkstra算法是在1959年提出來的。目前公認(rèn)，在所有的權(quán)wij0時，這個算法是尋求最短路問題最好的算法。并且，這個算法實際上也給出了尋求從一個始定點vs到任意一個點vj的最短路。,算法步驟：1.給始點vs以P標(biāo)號，這表示從vs到vs的最短距離為0，其余節(jié)點均給T標(biāo)號，2.設(shè)節(jié)點vi為剛得到P標(biāo)號的點，考慮點vj，其中，且vj為T標(biāo)號。對vj的T標(biāo)號進(jìn)行如下修改：3.比較所有具有T標(biāo)號的節(jié)點，把最小者改為P標(biāo)號，即：當(dāng)存在兩個以上最小者時，可同時改為P標(biāo)號。若全部節(jié)點均為P標(biāo)號，則停止，否則用vk代替vi，返回步驟（2）。,例9用Dijkstra算法求下圖從v1到v8的最短路。,解（1）首先給v1以P標(biāo)號，給其余所有點T標(biāo)號。,（2）,（3）,（4）,v1,v7,v2,v3,v6,v4,v8,v5,4,5,9,4,5,4,6,4,6,7,1,5,7,比較所有T標(biāo)號，T(v2)最小，令P(v2)=4，并記錄路徑(v1,v2),比較所有T標(biāo)號，T(v3)最小，令P(v3)=6,并記錄路徑(v1,v3),比較所有T標(biāo)號，T(v5)最小，令P(v5)=8,并記錄路徑(v2,v3),比較所有T標(biāo)號，T(v4)最小，令P(v4)=9,并記錄路徑(v2,v4),比較所有T標(biāo)號，T(v6)最小，令P(v6)=13,并記錄路徑(v5,v6),比較所有T標(biāo)號，T(v7)最小，令P(v7)=14,并記錄路徑(v7,v8),Dijkstra算法僅適合于所有的權(quán)wij>=0的情形。如果當(dāng)賦權(quán)有向圖中存在有負(fù)權(quán)弧時，則該算法失效。,如圖，有一批貨物要從v1運(yùn)到v9，弧旁數(shù)字表示該段路長，求最短運(yùn)輸路線。,標(biāo)號法練習(xí),v1,v9,v8,v7,v6,v5,v4,v3,v2,3,3,3,3,3,4,2.5,5,2,2,2,1,4,0,3,v1,v9,v8,v7,v6,v5,v4,v3,v2,3,3,3,3,3,4,2.5,5,2,2,2,1,4,0,3,v1,v9,v8,v7,v6,v5,v4,v3,v2,3,3,3,3,3,4,2.5,5,2,2,2,1,4,0,3,4,v1,v9,v8,v7,v6,v5,v4,v3,v2,3,3,3,3,3,4,2.5,5,2,2,2,1,4,0,3,4,v1,v9,v8,v7,v6,v5,v4,v3,v2,3,3,3,3,3,4,2.5,5,2,2,2,1,4,0,3,4,5,v1,v9,v8,v7,v6,v5,v4,v3,v2,3,3,3,3,3,4,2.5,5,2,2,2,1,4,0,3,4,5,v1,v9,v8,v7,v6,v5,v4,v3,v2,3,3,3,3,3,4,2.5,5,2,2,2,1,4,0,3,4,6,6,5,v1,v9,v8,v7,v6,v5,v4,v3,v2,3,3,3,3,3,4,2.5,5,2,2,2,1,4,0,3,4,6,6,5,v1,v9,v8,v7,v6,v5,v4,v3,v2,3,3,3,3,3,4,2.5,5,2,2,2,1,4,0,3,4,6,7,5,6,v1,v9,v8,v7,v6,v5,v4,v3,v2,3,3,3,3,3,4,2.5,5,2,2,2,1,4,0,3,4,6,7,5,6,8.5,v1,v9,v8,v7,v6,v5,v4,v3,v2,3,3,3,3,3,4,2.5,5,2,2,2,1,4,0,3,4,6,7,5,6,8.5,9,v1,v9,v8,v7,v6,v5,v4,v3,v2,3,3,3,3,3,4,2.5,5,2,2,2,1,4,0,3,4,6,7,5,6,8.5,9,練習(xí)：求從v1到v8的最短路,(0),(1,1),(1,3),(3,5),(2,6),(5,10),(5,9),(5,12),標(biāo)號法練習(xí),求從v1到v8的最短路,(2,6),算法的基本思路與步驟：首先：設(shè)任一點vi到任一點vj都有一條弧。顯然，從v1到vj的最短路是從v1出發(fā)，沿著這條路到某個點vi再沿弧(vi,vj)到vj。則v1到vi的這條路必然也是v1到vi的所有路中的最短路。設(shè)P1j表示從v1到vj的最短路長，P1i表示從v1到vi的最短路長，則有下列方程：開始時，令即用v1到vj的直接距離做初始解。第二步，使用遞推公式：求，當(dāng)進(jìn)行到第t步，若出現(xiàn)則停止計算，即為v1到各點的最短路長。,（二）逐次逼近法,例10,求圖中v1到各點的最短路,類似可得,表中最后一列數(shù)字表示v1到各點的最短路長,例11求：5年內(nèi)，哪些年初購置新設(shè)備，使5年內(nèi)的總費(fèi)用最小。解：（1）分析：可行的購置方案（更新計劃）是很多的，如：1)每年購置一臺新的，則對應(yīng)的費(fèi)用為：11+11+12+12+13+5+5+5+5+5=842)第一年購置新的，一直用到第五年年底，則總費(fèi)用為：11+5+6+8+11+18=59顯然不同的方案對應(yīng)不同的費(fèi)用。,（2）方法：將此問題用一個賦權(quán)有向圖來描述，然后求這個賦權(quán)有向圖的最短路。求解步驟：1）畫賦權(quán)有向圖：設(shè)vi表示第i年初，(vi,vj)表示第i年初購買新設(shè)備用到第j年初（j-1年底），而Wij表示相應(yīng)費(fèi)用，則5年的一個更新計劃相當(dāng)于從v1到v6的一條路。2）求解（標(biāo)號法）,W12=11+5=16W13=11+5+6=22W14=11+5+6+8=30W15=11+5+6+8+11=41W16=11+5+6+8+11+18=59,W23=11+5=16W24=11+5+6=22W25=11+5+6+8=30W26=11+5+6+8+11=41,W45=12+5=17W46=12+5+6=23W56=13+5=18,W34=12+5=17W35=12+5+6=23W36=12+5+6+8=31,（三）Floyd算法,可直接求出網(wǎng)絡(luò)中任意兩點間的最短路；,本章內(nèi)容,圖與網(wǎng)絡(luò)的基本知識樹最短路問題最大流問題最小費(fèi)用流問題,4最大流問題,最大流問題是一類應(yīng)用極為廣泛的問題，例如在交通運(yùn)輸網(wǎng)絡(luò)中有人流、車流、貨物流，供水網(wǎng)絡(luò)中有水流，金融系統(tǒng)中有現(xiàn)金流，通信系統(tǒng)中有信息流，等等。20世紀(jì)50年代福特(Ford)、富克遜(Fulkerson)建立的“網(wǎng)絡(luò)流理論”，是網(wǎng)絡(luò)應(yīng)用的重要組成部分。,問題引入,上圖可看作輸油管道網(wǎng)，vs為起點，vt為終點，v1,v2,v3,v4為中轉(zhuǎn)站，邊上的數(shù)表示該管道的最大輸油能力，問應(yīng)如何安排各管道輸油量，才能使從vs到vt的總輸油量最大?,網(wǎng)絡(luò)D上的流，是指定義在弧集合E上的一個函數(shù)其中f(vi,vj)=fij叫做弧(vi，vj)上的流量。,最大流有關(guān)概念,定義20,設(shè)一個賦權(quán)有向圖D=（V,E）,在V中指定一個發(fā)點vs和一個收點vt,其它的點叫做中間點。對于D中的每一個?。╲i,vj）E,都有一個非負(fù)數(shù)cij,叫做弧的容量。我們把這樣的圖D叫做一個容量網(wǎng)絡(luò)，簡稱網(wǎng)絡(luò)，記做D=（V，E，C）。,稱滿足下列條件的流為可行流：（1）容量條件：對于每一個?。╲i,vj）E有0fijcij。（2）平衡條件：對于發(fā)點vs，有對于收點vt，有對于中間點，有,可行流中fijcij的弧叫做飽和弧，fijcij的弧叫做非飽和弧。fij0的弧為非零流弧，fij0的弧叫做零流弧。,定義21,容量網(wǎng)絡(luò)G=(V,E,C),vs,vt為發(fā)、收點，若有邊集E為E的子集，將G分為兩個子圖G1,G2，其頂點集合分別記S，S=V,S=,vs,vt分屬S，滿足：G(V,E-E)不連通；E為E的真子集，而G(V,E-E)仍連通，則稱E為G的割集，記E=(S,)。,最大流-最小流定理,定理11,設(shè)f為網(wǎng)絡(luò)G=(V,E,C)的任一可行流，流量為W，(S，)是分離vs,vt的任一割集，則有WC(S,)。,定理10,(最大流-最小割定理)任一個網(wǎng)絡(luò)G中，從vs到vt的最大流的流量等于分離vs、vt的最小割的容量。,可行流f是最大流的充分必要條件是不存在從vs到vt的關(guān)于f的一條可增廣鏈。,定義22,推論,求最大流的標(biāo)號算法,設(shè)已有一個可行流f，標(biāo)號的方法可分為兩步：第1步是標(biāo)號過程，通過標(biāo)號來尋找可增廣鏈；第2步是調(diào)整過程，沿可增廣鏈調(diào)整f以增加流量。,從網(wǎng)絡(luò)中的一個可行流f出發(fā)（如果D中沒有f，可以令f是零流），運(yùn)用標(biāo)號法，經(jīng)過標(biāo)號過程和調(diào)整過程，可以得到網(wǎng)絡(luò)中的一個最大流。,一、標(biāo)號過程：1給發(fā)點vs標(biāo)號（0，+）。2取一個已標(biāo)號的點vi，對于vi一切未標(biāo)號的鄰接點vj按下列規(guī)則處理：（1）如果邊，且，那么給vj標(biāo)號，其中：（2）如果邊，且，那么給vj標(biāo)號，其中：3重復(fù)步驟2，直到vt被標(biāo)號或標(biāo)號過程無法進(jìn)行下去，則標(biāo)號結(jié)束。若vt被標(biāo)號，則存在一條增廣鏈，轉(zhuǎn)調(diào)整過程；若vt未被標(biāo)號，而標(biāo)號過程無法進(jìn)行下去，這時的可行流就是最大流。,二、調(diào)整過程設(shè)1令2去掉所有標(biāo)號，回到第一步，對可行流重新標(biāo)號。,例：求下圖所示網(wǎng)絡(luò)中的最大流，弧旁數(shù)為,(1,1),(2,0),例：求下圖所示網(wǎng)絡(luò)中的最大流，弧旁數(shù)為,(2,1),(1,1),例14求下圖所示網(wǎng)絡(luò)中的最大流，弧旁數(shù)為,圖8-40,解.用標(biāo)號法。1.標(biāo)號過程。1）首先給vs標(biāo)號（0，+）2）看vs:在弧(vs,v1)上,fs2=2<cs2=4,具備標(biāo)號條件。故給v2標(biāo)號(+vs,v2),其中v2=min(cs2-fs2),vs=min2,+=4.3）看v2:在弧(v2,v5)上,f25=0<c25=3,具備標(biāo)號條件。故給v5標(biāo)號(+v2,2),其中v5=min3，2=2.vt類似前面的步驟，可由v4得到標(biāo)號+v4，2由于vt已得到標(biāo)號，說明存在可增廣鏈，所以標(biāo)號過程結(jié)束。,（，+）,（-v5，2）,（+v1，2）,（+v4，2）,（+v2，2）,（+vS，1）,（+vs，2）,圖8-41,2.轉(zhuǎn)入調(diào)整過程,令=vt=2為調(diào)整量，從vt點開始，由逆可增廣鏈方向按標(biāo)號+v4,2找到點v4,令f4t=f4t+2。再由v4點標(biāo)號+v1,2找到前一個點v1，并令f14=f14+2。按v1點標(biāo)號找到點v5，由于標(biāo)號為-v5,(v5,v1)為反向邊，令f15=f15-2。由v5點的標(biāo)號再找到v2，令f25=f25+2。由v2點找到vs，令fs2=fs2+2。調(diào)整過程結(jié)束，調(diào)整中的可增廣鏈見圖8-41中的粗線邊，調(diào)整后的可行流見圖8-42,（，+）,（+vS，1）,圖8-42,重新開始標(biāo)號過程，尋找可增廣鏈，當(dāng)標(biāo)到v3點為+vs,1以后，與vs,v3點鄰接的v1,v2,v6點都不滿足標(biāo)號條件，所以標(biāo)號過程無法再繼續(xù)，而vt點并未得到標(biāo)號，如圖8-42。這時W=fs1+fs2+fs3=f4t+f5t+f6t=11，即為最大流的流量，算法結(jié)束。,本章內(nèi)容,圖與網(wǎng)絡(luò)的基本知識樹最短路問題最大流問題最小費(fèi)用流問題,5最小費(fèi)用流問題,最小費(fèi)用流問題的一般提法：已知容量網(wǎng)絡(luò)G=(V,E,C)，每條邊(vi,vj)除了已給出容量cij外，還給出了單位流量的費(fèi)用dij(0)，記G=(V,E,C,d)。求G的一個可行流f=fij，使得流量W(f)=v，且總費(fèi)用最小。d(f)=(vi,vj)Edijfij特別地，當(dāng)要求f為最大流時，此問題即為最小費(fèi)用最大流問題。,最小費(fèi)用流問題的常用算法有兩種：原始算法；(2)對偶算法。下面只介紹第二種算法，本算法是有效算法。,5最小費(fèi)用流問題,已知網(wǎng)絡(luò)G=（V，E，C，d），f是G上的一個可行流，為一條從vs到vt的增廣鏈，稱為鏈的費(fèi)用。,定義24,若*是從vs到vt的增廣鏈中費(fèi)用最小的增廣鏈，則稱*是最小費(fèi)用增廣鏈。,定理12,若f是流量為W(f)的最小費(fèi)用流，是關(guān)于f的從vs到vt的一條最小費(fèi)用可增廣鏈，則f經(jīng)過調(diào)整流量得到新可行流f(記為f=f)，一定是流量為W(f)+的可行流中的最小費(fèi)用流。,1.當(dāng)，令,尋找關(guān)于f的最小費(fèi)用增廣鏈：構(gòu)造一個關(guān)于f的賦權(quán)有向圖L(f)，其頂點是原網(wǎng)絡(luò)G的頂點，而將G中的每一條弧(vi,vj)變成兩個相反方向的?。╲i,vj）和(vj,vi)，并且定義圖中弧的權(quán)l(xiāng)ij為：,在網(wǎng)絡(luò)G中尋找關(guān)于f的最小費(fèi)用增廣鏈等價于在L(f)中尋求從vs到vt的最短路。,2.當(dāng)（vj,vi）為原來網(wǎng)絡(luò)G中(vi,vj)的反向弧,令,步驟：（1）取零流為初始可行流，f(0)=0。（2）一般地，如果在第k-1步得到最小費(fèi)用流f(k-1)，則構(gòu)造圖L(f(k-1)。（3）在L(f(k-1)中，尋求從vs到vt的最短路。若不存在最短路，則f(k-1)就是最小費(fèi)用最大流；否則轉(zhuǎn)(4)。（4）如果存在最短路，則在可行流f(k1)的圖中得到與此最短路相對應(yīng)的增廣鏈，在增廣鏈上，對f(k1)進(jìn)行調(diào)整，調(diào)整量為：,令,得到新可行流f(k)。對f(k)重復(fù)上面步驟，返回（2）。,例16在圖8-48所示運(yùn)輸網(wǎng)絡(luò)上求流量v為10的最小費(fèi)用最大流，弧旁權(quán)是（cij,dij）,d(f(1)=51+52+51=20,d(f(2)=42+51+52+71=30,d(f(3)=24+81+52+33+32+71=48f(3)即為所求的最小費(fèi)用流。,