一般二次曲線的化簡與分類【青苗教育】

4.2 一般二次曲線的化簡與分類一般二次曲線的化簡與分類（Simplification and classification of general quadratic curves）在中學(xué)平面解析幾何中,曾經(jīng)學(xué)習(xí)了橢圓(圓)、雙曲線和拋物線等圓錐曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程,它們都是二次曲線。本章討論更一般的二次曲線。在平面直角坐標(biāo)系下,關(guān)于x和y的二元二次方程所表示的曲線，稱為一般二次曲線（a11，a12和a22不全為零）。1中小學(xué)4.2.1 一些常用記號一些常用記號（Notations）為了以后討論問題和書寫的方便,引進(jìn)下面的一些記號：2中小學(xué) 根據(jù)這些記號的含義,可驗(yàn)證下面的恒等式成立：F(x,y)=xF1(x,y)+yF2(x,y)+F3(x,y)稱F(x,y)的系數(shù)所組成的矩陣為二次曲線(4.2-1)的系數(shù)矩陣,或稱F(x,y)的矩陣 再引入幾個(gè)記號：332313232212131211aaaaaaaaaA3中小學(xué)例例1 試求二次曲線 的系數(shù)矩陣A,F1(x,y),F2(x,y),F3(x,y),I1,I2,I3,和K1.解解 由以上記號知,0112612862yxyxy4中小學(xué)4.2.2 直角坐標(biāo)變換下，二次曲線方程的系數(shù)變直角坐標(biāo)變換下，二次曲線方程的系數(shù)變換規(guī)律換規(guī)律（Variation low of coefficients equation of quadratic curves under Descartes coordinates）為了選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)變換來化簡二次曲線的方程，需要了解在坐標(biāo)變換下方程的系數(shù)是怎樣變化的。由上節(jié)討論，知道一般的坐標(biāo)變換可以分解為移軸和轉(zhuǎn)軸兩部分。因此，將分別考察移軸變換和轉(zhuǎn)軸變換對方程系數(shù)的影響。5中小學(xué)1)平移變換下二次曲線方程的系數(shù)的變化規(guī)律平移變換下二次曲線方程的系數(shù)的變化規(guī)律將平移公式：x=x+x0，y=y+y0 代入曲線方程，化簡整理，設(shè)曲線方程變?yōu)镕(x,y)=a11x2+2a12xy+a22y2+2a13x+2a23y+a33=0比較方程系數(shù)，得平移變換下曲線方程系數(shù)的變化規(guī)律：(1)二次項(xiàng)系數(shù)不變；(2)一次項(xiàng)系數(shù)變?yōu)镕1(x0,y0),F2(x0,y0)；(3)常數(shù)項(xiàng)變?yōu)镕(x0,y0).6中小學(xué)若取新坐標(biāo)原點(diǎn)O(x0,y0)滿足方程v則在新坐標(biāo)系下,方程中將無一次項(xiàng),曲線對稱于原點(diǎn),點(diǎn)(x0,y0)就是曲線的對稱中心。如果對稱中心是唯一的,稱為曲線的中心。此時(shí)方程稱為中心方程。v注：當(dāng)I20時(shí),上一方程組就有唯一解,這時(shí)曲線稱為中心型二次曲線；當(dāng)I2=0時(shí),方程組就沒有解或有無窮多解,這時(shí)曲線稱為非中心型二次曲線或無心型二次曲線。7中小學(xué)例例2 求二次曲線 的中心.解解(x0,y0)是對稱中心必須且只需滿足中心方程,即解得(x0,y0)=(0,3).所以(0,3)是曲線的中心.223630 xxyyxy100002000013(,)0,221,30.2F xyxyFxyxy 8中小學(xué)2)旋轉(zhuǎn)變換下二次曲線方程的系數(shù)的變化規(guī)律旋轉(zhuǎn)變換下二次曲線方程的系數(shù)的變化規(guī)律 將旋轉(zhuǎn)公式：x=xcos ysin,y=xsin+ycos 代入曲線方程，化簡整理，曲線方程變?yōu)镕(x,y)=a11x2+2a12xy+a22y2+2a13x+2a23y+a33=0 比較方程系數(shù)，得旋轉(zhuǎn)變換下曲線方程系數(shù)的變化規(guī)律:(1)二次項(xiàng)系數(shù)一般可變,但新系下方程的二次項(xiàng)系數(shù)僅與舊系下方程的二次項(xiàng)系數(shù)及旋轉(zhuǎn)角 有關(guān),而與一次項(xiàng)系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)無關(guān)；(2)一次項(xiàng)系數(shù)一般也可變，但新系下方程的一次項(xiàng)系數(shù)僅與舊系下方程的一次項(xiàng)系數(shù)及旋轉(zhuǎn)角 有關(guān)，而與二次項(xiàng)系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)無關(guān)；(3)常數(shù)項(xiàng)不變。9中小學(xué)根據(jù)公式的表達(dá)式，若選取角，使則方程中沒有交叉乘積項(xiàng)。注：若要通過旋轉(zhuǎn)變換消去交叉項(xiàng)，只須旋轉(zhuǎn)角 滿足：a12=(a22-a11)cos sin+a12(cos2-sin2)=0,即 (a22-a11)sin2+2a12cos2=0從而得旋轉(zhuǎn)角 滿足10中小學(xué) 因?yàn)橛嗲械闹悼梢允侨我鈱?shí)數(shù)，所以一定存在 滿足上式。這就是說，一定可以通過轉(zhuǎn)角 消去交叉項(xiàng)。上式中的 不是唯一的，為確定起見，一般規(guī)定0 需要說明的是,我們?yōu)槭裁床挥?這是因?yàn)楫?dāng) a11=a22 時(shí),該式?jīng)]有意義,而 完全可以決定旋轉(zhuǎn)角=/4.當(dāng)a12=0時(shí),雖然 也無意義,但這時(shí)方程中已經(jīng)不含交叉項(xiàng),就用不到轉(zhuǎn)軸變換了.1211222tan2aaa112212cot 202aaa112212cot 22aaa112212cot 22aaa11中小學(xué)例例 利用轉(zhuǎn)軸變換,消去二次曲線x2+2xy+y2-4x+y-1=0中的交叉項(xiàng).解解 設(shè)旋轉(zhuǎn)角為,由決定方程得 可取 ,故轉(zhuǎn)軸公式為：代入原方程化簡整理得轉(zhuǎn)軸后的新方程為12中小學(xué)4.2.3 二次曲線的判別二次曲線的判別（Quadratic curve discriminant）從前面的討論可知，二次曲線化簡的關(guān)鍵是如何消去方程中的交叉項(xiàng)xy和一次項(xiàng)。化簡一般二次曲線方程，首先要判別二次曲線的類型，然后根據(jù)曲線的類型，采用不同的坐標(biāo)變換。二次曲線的類型可以用I2來判別：當(dāng)I20時(shí),二次曲線是中心型曲線；當(dāng)I2=0時(shí),二次曲線是非中心型曲線.又可以細(xì)分為以下3種類型：(1)橢圓型：I20，(2)雙曲型：I20，(3)拋物型：I2=0。注注：二次曲線類型判別的嚴(yán)格證明，參看后文的利用不變量化簡曲線方程部分。13中小學(xué)4.2.4 二次曲線的化簡與作圖二次曲線的化簡與作圖（Simplification and graphing of Quadratic curves）根據(jù)坐標(biāo)變換下方程系數(shù)的變化規(guī)律，對于中心型二次曲線，可以先求出曲線的中心，通過移軸變換消去一次項(xiàng)，然后再作轉(zhuǎn)軸變換時(shí)，就不用整理一次項(xiàng)了。而對于非中心型二次曲線，由于曲線沒有中心，只能先作轉(zhuǎn)軸變換。這就是說，要根據(jù)曲線的類型，采用不同的化簡方法。14中小學(xué)1)中心型二次曲線中心型二次曲線(I20)的化簡與作圖的化簡與作圖：對于中心型二次曲線，采用“先移后轉(zhuǎn)”，較為簡便。其具體步驟是：1、解中心方程組，求出曲線的中心(x0,y0)；2、作平移變換，消去一次項(xiàng)；3、利用旋轉(zhuǎn)角公式，求出cos 、sin ；4、作旋轉(zhuǎn)變換，消去交叉項(xiàng)，得到曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；5、將旋轉(zhuǎn)變換代入平移變換，得到直角坐標(biāo)變換公式；6、作出新舊坐標(biāo)系O-xy、O-xy和O-xy，在新坐標(biāo)系下按照標(biāo)準(zhǔn)方程作出曲線的圖形。15中小學(xué)例例 化簡二次曲線方程5x2+4xy+2y2-24x-12y+18=0，并畫出它的圖形。解解 因 I252-2260，所以曲線為中心型二次曲線。“先移后轉(zhuǎn)”。1、解中心方程組得到曲線中心（2,1）2、做移軸變換 原方程變?yōu)?x2+4xy+2y2-12=0 這里實(shí)際上只需計(jì)算F(2,1)12，因?yàn)橐戚S時(shí)二次項(xiàng)系數(shù)不變,一次項(xiàng)系數(shù)變?yōu)?。3、再做轉(zhuǎn)軸變換消去xy項(xiàng)，令得 tan =1/2 或 tan =-2取 tan =1/2，可得 cos =2/51/2，sin=1/51/216中小學(xué)4、轉(zhuǎn)軸變換公式：代入,可將方程化簡為標(biāo)準(zhǔn)方程是這是一個(gè)橢圓,如圖所示.作圖要點(diǎn)：要比較準(zhǔn)確地畫出新舊坐標(biāo)系和曲線的圖形,必須掌握好比例、新舊原點(diǎn)的位置以及坐標(biāo)軸的旋轉(zhuǎn)角.本題中坐標(biāo)系O-xy平移到(2,1)成O-xy,再把坐標(biāo)系O-xy旋轉(zhuǎn)角得 O-xy.在新坐標(biāo)系O-xy 中根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程作圖.xyxyxyOOO .5251,5152yxyyxx12622 yx112222 yx17中小學(xué)注：注：本題轉(zhuǎn)軸時(shí)若取tan-2，則可得cos =1/51/2，sin=-2/51/2，所得的轉(zhuǎn)軸公式是 得到的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ,圖形相對于原坐標(biāo)系的位置不變。此時(shí)Ox軸的正向恰好是圖中y 軸的反向。18中小學(xué)例例 化簡二次曲線方程x2-3xy+y2+10 x-10y+21=0,寫出坐標(biāo)變換公式并作出它的圖形解解 因?yàn)镮20,所給的二次曲線是雙曲型的.中心方程組解得中心坐標(biāo)為(2,2).作移軸變換原方程化為再作轉(zhuǎn)軸變換，得旋轉(zhuǎn)角為 .故轉(zhuǎn)軸變換為.01023,01032yxyx,2,2yyxx01322yyxx1 1cot2034 ).(21),(21yxyyxx19中小學(xué)二次曲線的方程化簡為標(biāo)準(zhǔn)方程為 這是一條雙曲線,其圖形如圖所示。作圖時(shí),先將坐標(biāo)系O-xy平移到(-2,2)成O-xy,再把坐標(biāo)系O-xy旋轉(zhuǎn)角/4得 O-xy.在新坐標(biāo)系O-xy 中根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程作圖.221225xy xxyyxyOO22151022xy 20中小學(xué)將轉(zhuǎn)軸公式代入移軸公式,得坐標(biāo)變換公式為,2,2yyxx1()2,21()2.2xxyyxy ).(21),(21yxyyxx21中小學(xué)注：注：利用移軸可以直接化簡缺少xy項(xiàng)的二次曲線方程,化簡的關(guān)鍵是找到恰當(dāng)?shù)囊戚S公式.常用的方法有配方法和代入法.在應(yīng)用配方法時(shí)必須注意,要分別先對關(guān)于x與y的項(xiàng)進(jìn)行集項(xiàng),然后把x2與y2項(xiàng)的系數(shù)括出來再配方.利用直角坐標(biāo)變換的方法化簡曲線方程，不僅能夠得到曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，而且同時(shí)得到坐標(biāo)變換公式，并能作出曲線的圖形，這是其它方法所不能做到的。22中小學(xué)2)非中心型二次曲線非中心型二次曲線(I2=0)的化簡與作圖的化簡與作圖：對于非中心型二次曲線，采用“先轉(zhuǎn)后移”，較為簡便。其具體步驟是：1、利用旋轉(zhuǎn)角公式，求出cos、sin；2、作旋轉(zhuǎn)變換,消去交叉項(xiàng)，同時(shí)消去1個(gè)二次項(xiàng)；3、對轉(zhuǎn)軸后的方程“配方”，先配二次項(xiàng),再配一次項(xiàng)；4、令“配方”后的括號內(nèi)分別為x和 y(相當(dāng)于作平移變換),得到曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。5、將平移變換代入旋轉(zhuǎn)變換,得到直角坐標(biāo)變換公式。6、作出新舊坐標(biāo)系O-xy，O-xy和O-xy,在新坐標(biāo)系下按照標(biāo)準(zhǔn)方程作出曲線的圖形。23中小學(xué)例例 化簡二次曲線方程下x2+4xy+4y2+12x-y+1=0,寫出坐標(biāo)變換公式并畫出它的圖形。解解 由于I2=14-22=0,曲線是非中心型的,應(yīng)先轉(zhuǎn)軸后移軸。1、設(shè)旋轉(zhuǎn)角為,則有得 tan =-1/2 或 tan =2取 tan =2(若取 tan =-1/2,同樣可將原方程化簡),則有：cos =1/51/2，sin=2/51/2 2、得轉(zhuǎn)軸公式為24中小學(xué)代入原方程化簡整理得轉(zhuǎn)軸后的新方程為配方得：3、再做移軸變換曲線方程就化為最簡形式4、寫成標(biāo)準(zhǔn)方程為：yx 5225中小學(xué) 這是一條拋物線.它的頂點(diǎn)是新坐標(biāo)系O-xy 的原點(diǎn),原方程的圖形可以根據(jù)它在坐標(biāo)系O-xy 中的標(biāo)準(zhǔn)方程作出,如圖 所示.將移軸公式代入轉(zhuǎn)軸公式,得坐標(biāo)變換公式為 作圖要點(diǎn)：坐標(biāo)系O-xy旋轉(zhuǎn)角tan2成O-xy,再把坐標(biāo)系O-xy 平移,得到O-xy.在新坐標(biāo)系O-xy 中可根據(jù)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程作圖.為了看出曲線在原坐標(biāo)系中的位置,作圖時(shí)需要將新舊坐標(biāo)系同時(shí)畫出.11(2),5512(2).55xxyyxy26中小學(xué)例例 化簡二次曲線方程 2x2+xy-3y2-13x-2y+21=0解解 計(jì)算得I2 0。1 實(shí)橢圓:a330,a11 a330；3 點(diǎn)橢圓:a33=0。28中小學(xué)()雙曲型雙曲型：I2=a11a220。4 雙曲線：a330；5 兩條相交直線：a33=0。對于非中心型曲線也稱為拋物型曲線,通過轉(zhuǎn)軸消去交叉項(xiàng),再對轉(zhuǎn)軸后的方程“配方”,曲線的方程可化為標(biāo)準(zhǔn)方程 或按照系數(shù)情況分為 29中小學(xué)()拋物型拋物型：I2=0，a11=0，a220。6 拋物線：a130；7 一對平行的直線：a13=0，a22 a33 0 虛橢圓 點(diǎn)橢圓雙曲型：I20 雙曲線 一對相交直線拋物型：I2=0.拋物線 一對平行直線 一對虛平行線 一對重合直線22221,xyab22221,xyab22220,xyab22.ypx21.y 20.y 21.y 22221,xyab 22220,xyabEnd31中小學(xué)