均值不等式教案

均值不等式教案本資料為woRD文檔，請(qǐng)點(diǎn)擊下載地址下載全文下載地址教學(xué)設(shè)計(jì)32均值不等式整體設(shè)計(jì)教學(xué)分析均值不等式也稱基本不等式本節(jié)重要目的是使學(xué)生理解均值不等式的代數(shù)意義，幾何的直觀解釋以及均值不等式的證明和應(yīng)用本節(jié)教材上一開始就開門見山地給出均值不等式及證明，在思考與討論過渡下，給出均值不等式的一種幾何直觀解釋，以加深學(xué)生對(duì)均值不等式的理解教材用作差配措施證明均值不等式作差配措施是證明不等式的基本措施，在整個(gè)不等式的教學(xué)中都要貫徹這一重要措施在解題中要讓學(xué)生注意使用均值不等式的條件，并掌握基本技能一般說來，“見和想積，拆低次，湊積為定值，則和有最小值；見積想和，拆高次，湊和為定值，則積有最大值”本節(jié)的新課標(biāo)規(guī)定是：摸索并理解均值不等式的證明過程；會(huì)用均值不等式解決簡(jiǎn)樸的最大問題從歷年的高考來看，均值不等式是重點(diǎn)考察的內(nèi)容之一，它的應(yīng)用范疇?zhēng)缀醪案咧袛?shù)學(xué)的所有章節(jié)，且常考常新，大多是大小判斷、求最值、求取值范疇等不等式的證明是將來進(jìn)入大學(xué)不可缺少的技能，同步也是高中數(shù)學(xué)的一種難點(diǎn)，題型廣泛，波及面廣，證法靈活，備受命題者的青睞，因而成為歷屆高考中的熱點(diǎn)幾乎所有地區(qū)的高考題都能覓到它的蹤影書中練習(xí)A、B和習(xí)題都是基本題，規(guī)定全做鑒于均值不等式的特殊作用，因此本節(jié)設(shè)計(jì)為2學(xué)時(shí)完畢，但僅限于基本措施和基本技能的掌握，不波及高難度的技巧第一學(xué)時(shí)重在均值不等式的探究，第二學(xué)時(shí)重在均值不等式的靈活運(yùn)用且在教學(xué)中，將本節(jié)教材中的思考與討論一起拿到課堂上來，讓學(xué)生通過思考與討論建立均值不等式與不等式a2b22ab的聯(lián)系三維目的通過本節(jié)探究，使學(xué)生學(xué)會(huì)推導(dǎo)并掌握均值不等式，理解這個(gè)均值不等式的幾何意義，掌握定理中的不等號(hào)“”取等號(hào)的條件是：當(dāng)且僅當(dāng)這兩個(gè)數(shù)相等2通過對(duì)均值不等式的不同形式應(yīng)用的研究，滲入“轉(zhuǎn)化”的數(shù)學(xué)思想，提高學(xué)生運(yùn)算能力和邏輯推理能力引起學(xué)生學(xué)習(xí)和使用數(shù)學(xué)知識(shí)的愛好，發(fā)展創(chuàng)新精神，培養(yǎng)實(shí)事求是、理論與實(shí)際相結(jié)合的科學(xué)態(tài)度和科學(xué)道德3通過本節(jié)學(xué)習(xí)，使學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)于生活，協(xié)助學(xué)生養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，形成積極摸索的態(tài)度，逐漸養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度及良好的思維習(xí)慣重點(diǎn)難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：用數(shù)形結(jié)合的思想理解均值不等式，并從不同角度摸索不等式ab2ab的證明過程；用不等式求某些函數(shù)的最值及解決某些簡(jiǎn)樸的實(shí)際問題教學(xué)難點(diǎn)：用均值不等式求最大值和最小值，均值不等式ab2ab等號(hào)成立條件的運(yùn)用，應(yīng)用均值不等式解決實(shí)際問題學(xué)時(shí)安排2學(xué)時(shí)教學(xué)過程第1學(xué)時(shí)導(dǎo)入新課思路1.像教材那樣，直接給出均值定理，然后引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用上節(jié)課的基本性質(zhì)來探究它的證明措施由于有了上兩節(jié)的不等式的探究學(xué)習(xí)，因此這樣引入雖然直白卻也是順其自然思路2.教師自制風(fēng)車，讓學(xué)生把教師自制的風(fēng)車轉(zhuǎn)起來，這是學(xué)生小時(shí)候玩過的得意玩具；手持風(fēng)車把手，來了一種360°的旋轉(zhuǎn)，不僅風(fēng)車轉(zhuǎn)得美麗，課堂氛圍也活躍，學(xué)生在緊張的課堂氛圍中立即變得自然和諧，情境引入達(dá)到高潮，此時(shí)教師再提出問題推動(dòng)新課新知探究提出問題1均值定理的內(nèi)容是什么？如何進(jìn)行證明？2你能證明a2b22ab嗎？3你能嘗試給出均值不等式的一種幾何直觀解釋嗎？4均值不等式有哪些變形式？活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生閱讀均值定理的內(nèi)容，或直接用多媒體給出點(diǎn)撥學(xué)生運(yùn)用上兩節(jié)課所學(xué)知識(shí)進(jìn)行證明，這點(diǎn)學(xué)生會(huì)很容易做到，只需作差配方即可接著讓學(xué)生明確，這個(gè)結(jié)論就是均值不等式，也叫基本不等式其中，任意兩個(gè)正實(shí)數(shù)a、b的ab2叫做數(shù)a、b的算術(shù)平均值，數(shù)ab叫做a、b的幾何平均值均值定理可以表述為：兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均值不小于或等于它的幾何平均值強(qiáng)調(diào)這個(gè)結(jié)論的重要性，在證明不等式、求函數(shù)的最大值最小值時(shí)有著廣泛的應(yīng)用，是高考的一種熱點(diǎn)可以通過反例或特例讓學(xué)生進(jìn)一步結(jié)識(shí)這個(gè)結(jié)論成立的條件，a、b必須是正數(shù)，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)ab，以加深學(xué)生對(duì)此結(jié)論的理解，為背面求最值時(shí)的“一正二定三相等”打下基本運(yùn)用不等式的性質(zhì)對(duì)均值不等式兩邊平方，則很容易得到a2b22ab.這是一種很重要的結(jié)論一般地，如果a、bR，那么a2b22ab也可讓學(xué)生重新證明這個(gè)結(jié)論：a2b22ab2，當(dāng)ab時(shí)，有20.當(dāng)ab時(shí)，有20，因此20，即a2b22ab.這個(gè)不等式對(duì)任意實(shí)數(shù)a，b恒成立，是一種很重要的不等式，應(yīng)用非常廣泛請(qǐng)同窗們注意公式的構(gòu)造形式，成立的條件是a、b為實(shí)數(shù)，等號(hào)成立的條件是當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)成立“當(dāng)且僅當(dāng)”即指充要條件下面我們對(duì)均值不等式的幾何意義作進(jìn)一步探究如圖1，AB是圓的直徑，點(diǎn)c是AB上一點(diǎn)，Aca，Bcb.過點(diǎn)c作垂直于AB的弦DD，連結(jié)AD、BD.你能運(yùn)用這個(gè)圖形得出均值不等式的幾何解釋嗎？圖1這個(gè)圖形是我們?cè)诔踔蟹浅Ｊ煜さ囊环N重要圖形容易證明AcDDcB.因此可得cDab.或由射影定理也可得到cDab.從圖中我們可直觀地看到ab表達(dá)的是半弦長(zhǎng)，ab2表達(dá)的是半徑長(zhǎng)由于半弦長(zhǎng)不不小于半徑，即cD不不小于或等于圓的半徑，用不等式表達(dá)為：ab2ab.顯然，上述不等式當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)c與圓心重疊，即當(dāng)ab時(shí)，等號(hào)成立還應(yīng)讓學(xué)生熟悉均值不等式的其她變形式如若a、bR，則abab2，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)，式中檔號(hào)成立好多書上就把它稱為基本不等式在同樣條件下還可寫成：ab2ab或2abab等討論成果：略均值不等式的幾何解釋是：半徑不不不小于半弦長(zhǎng)若a、bR，則abab2，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)，式中檔號(hào)成立；若a、bR，則ab2ab，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)，式中檔號(hào)成立；若a、bR，則a2b22ab，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)，式中檔號(hào)成立應(yīng)用示例例1活動(dòng)：本例是均值不等式的簡(jiǎn)樸應(yīng)用，教師點(diǎn)撥學(xué)生證明時(shí)注意式中成立的條件，本例中的ba和ab相稱于均值不等式中的a、b.因此必須有ba，abR點(diǎn)評(píng)：初用均值不等式，學(xué)生往往容易忽視不等式成立的條件，點(diǎn)撥學(xué)生注意，只要使用均值定理，立即先想到條件，養(yǎng)成良好的解題習(xí)慣.變式訓(xùn)練已知a、b、c都是正實(shí)數(shù)，求證：8abc.證明：a0，b0，c0，ab2ab0，bc2bc0，ca2ca0.2ab•2bc•2ac8abc，即8abc.例2已知2，求證：xyababxy2.活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生探究題目中的條件與結(jié)論本題結(jié)論中，注意xyab與abxy互為倒數(shù)，它們的積為1，故此題應(yīng)從已知條件出發(fā)，通過變形，闡明xyab與abxy為正數(shù)開始證題證明：2，axaybxby2ay2bx.axaybybx0.0.0，即ab與xy同號(hào)xyab與abxy均為正數(shù)xyababxy2xyab•abxy2xyababxy2.點(diǎn)評(píng)：本題通過對(duì)已知條件變形，恰本地因式分解，從討論因式乘積的符號(hào)來判斷xyab與abxy是正還是負(fù)，是我們此后解題中常用的措施例3若ab1，Plga•lgb，Q12，Rlgab2，則ARPQBPQRcQPRDPRQ活動(dòng)：這是均值不等式及其變形式的典型應(yīng)用根據(jù)P、Q、R三個(gè)式子的構(gòu)造特點(diǎn)，應(yīng)考慮運(yùn)用均值不等式，再運(yùn)用函數(shù)ylgx的單調(diào)性答案：B解析：ab1，lgalgb0.1212•2lga•lgb，即QP.又ab2ab，lgab2lgab12RQ.故PQR.點(diǎn)評(píng)：應(yīng)精確理解均值不等式成立的條件，發(fā)明性地應(yīng)用均值不等式例4活動(dòng)：這是一種實(shí)際問題教師引導(dǎo)學(xué)生分析，根據(jù)題旨在中，矩形的長(zhǎng)與寬的積是一種常數(shù)，求長(zhǎng)與寬的和的兩倍的最小值；在中，矩形的長(zhǎng)與寬的和的兩倍是一種常數(shù)，求長(zhǎng)與寬的積的最大值聯(lián)想到均值不等式的兩邊恰是兩個(gè)正數(shù)的和與積，因此建立均值不等式的數(shù)學(xué)模型點(diǎn)評(píng)：本例也可用函數(shù)模型解決，課后可讓學(xué)生試一試這里用均值不等式來解，一是闡明運(yùn)用均值不等式求最值的措施，二是闡明這種措施的快捷解完本例后，讓學(xué)生領(lǐng)悟到：兩個(gè)正數(shù)的積為常數(shù)時(shí)，它們的和有最小值；兩個(gè)正數(shù)的和為常數(shù)時(shí)，它們的積有最大值簡(jiǎn)樸地說就是：在應(yīng)用這個(gè)結(jié)論求最值時(shí)應(yīng)把握“一正、二定、三相等”正是正數(shù)，定是定值，相等是能取到等號(hào)知能訓(xùn)練“a18”是“對(duì)任意的正數(shù)x,2xax1”的A充足不必要條件B必要不充足條件c充要條件D既不充足又不必要條件2若正數(shù)a、b滿足abab3，則ab的取值范疇是_答案：A解析：一方面，當(dāng)a18時(shí)，對(duì)任意的正數(shù)x，有2xax2x18x1；另一方面，對(duì)任意正數(shù)x，均有2xax1，只要2xax22a1，即得a18.29，)解法一：令abt，由abab32ab3，得t22t3，解得t3，即ab3，故ab9.解法二：由已知得abba3，ba3，ba3a1aba•a3a11a3a1a3a3a1a14a14a1a14a152a1•4a159.當(dāng)且僅當(dāng)a14a1時(shí)取等號(hào)，即ab3時(shí)，ab的最小值為9.ab的取值范疇是9，)點(diǎn)評(píng)：此題較全面地考察了均值不等式的應(yīng)用及不等式的解法與運(yùn)算能力通過思考ab與ab的關(guān)系聯(lián)想到均值不等式，或建立在函數(shù)思想上，求函數(shù)的值域由于視角的不同，有多種措施，以上僅是其中的兩種解法課堂小結(jié)由學(xué)生自己理順整合本節(jié)都學(xué)到了哪些知識(shí)措施？有哪些收獲？2教師強(qiáng)調(diào)，本節(jié)課，我們學(xué)習(xí)了重要不等式a2b22ab；兩正數(shù)a、b的算術(shù)平均數(shù)，幾何平均數(shù)及它們的關(guān)系兩關(guān)系式成立的條件不同，前者只規(guī)定a、b都是實(shí)數(shù)，而后者規(guī)定a、b都是正數(shù)它們既是不等式變形的基本工具，又是求函數(shù)最值的重要工具作業(yè)習(xí)題32A組，4,5,6.習(xí)題32B組，1,2.設(shè)計(jì)感想本節(jié)設(shè)計(jì)突出重點(diǎn)均值不等式的功能在于求最值，這是本節(jié)的重點(diǎn)，要牢牢地抓住但使用均值不等式求函數(shù)最值時(shí)要注意：x，y都是正數(shù)；積xy為定值；x與y必須可以相等2本節(jié)課我們探究了均值不等式，拓展了我們的視野；證明不等式是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)，也是難點(diǎn)，在設(shè)計(jì)中加強(qiáng)了證明不等式的題量，但難度并不大，重在讓學(xué)生體會(huì)措施將解題思路轉(zhuǎn)化為解題過程，往往不是一帆風(fēng)順的，談思路也許頭頭是道，具體求解卻也許會(huì)到處碰壁，消除思路與求解的差別，要靠探究，在探究中不斷更新，在探究中逐漸完善第2學(xué)時(shí)導(dǎo)入新課思路1.讓學(xué)生回憶上節(jié)課我們探究的重要成果：一是如果a，bR，那么a2b22ab；二是均值不等式：如果a，b是正數(shù)，那么ab2ab在這個(gè)不等式中，ab2為a，b的算術(shù)平均數(shù)，ab為a，b的幾何平均數(shù)，這樣均值不等式就有了幾何意義：半弦長(zhǎng)不不小于半徑a2b22ab與ab2ab成立的條件是不同的，前者只規(guī)定a，b都是實(shí)數(shù)，而后者規(guī)定a，b都是正數(shù)本節(jié)課我們進(jìn)一步探究均值不等式的應(yīng)用由此展開新課思路2.通過上節(jié)課a2b22ab與ab2ab的探究證明，我們熟悉了不等式的某些證明措施本節(jié)課我們進(jìn)一步領(lǐng)悟不等式的證明思路、措施，進(jìn)一步熟悉運(yùn)用均值不等式解決函數(shù)的最值問題的思路教師打開多媒體，從而展開新課推動(dòng)新課新知探究提出問題1回憶上節(jié)課探究的均值不等式，如何理解均值不等式的意義？均有哪些變形？2均值不等式均有哪些方面的應(yīng)用？3在應(yīng)用均值不等式求最值時(shí)，應(yīng)注意什么問題？活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生回憶上節(jié)課我們共同探究的均值不等式，以及均值不等式與a2b22ab的聯(lián)系給出了均值不等式的一種幾何直觀解釋均值不等式與a2b22ab均有著廣泛的應(yīng)用對(duì)這兩個(gè)重要不等式，要明確它們成立的條件是不同的后者成立的條件是a與b都為實(shí)數(shù)，并且a與b都為實(shí)數(shù)是不等式成立的充足必要條件；而前者成立的條件是a與b都為正實(shí)數(shù)，并且a與b都為正數(shù)是不等式成立的充足不必要條件，如a0，b0，仍然能使ab2ab成立兩個(gè)不等式中檔號(hào)成立的條件都是ab，故ab是不等式中檔號(hào)成立的充要條件在使用“和為常數(shù)，積有最大值”和“積為常數(shù)，和有最小值”這兩個(gè)結(jié)論時(shí)，應(yīng)把握“一正、二定、三相等”當(dāng)條件不完全具有時(shí)，應(yīng)發(fā)明條件本節(jié)課我們將進(jìn)一步探究均值不等式的應(yīng)用討論成果：略應(yīng)注意不等式成立的條件，即把握好“一正，二定，三相等”應(yīng)用示例例1活動(dòng)：本例是求函數(shù)的最值教師引導(dǎo)學(xué)生將f變形，注意觀測(cè)代數(shù)式中可否浮現(xiàn)和或積的定值本例可放手讓學(xué)生自己探究，教師予以合適點(diǎn)撥點(diǎn)評(píng)：解完本例后，讓學(xué)生反思并領(lǐng)悟在求函數(shù)最值時(shí)，如何使用均值不等式的條件，并掌握基本技能.變式訓(xùn)練函數(shù)yloga1的圖象恒過定點(diǎn)A，若點(diǎn)A在直線mxny10上，其中mn0，則1m2n的最小值為_答案：8解析：yloga1恒過點(diǎn)，A又A在直線上，2mn10，即2mn1.又mn0，m0，n0.而1m2n2mnm4m2nn2nm24mn42×28，當(dāng)n12，m14時(shí)取“”1m2n的最小值為8.例2已知x54，求函數(shù)y4x214x5的最大值；已知a、b為實(shí)數(shù)，求函數(shù)y22的最小值活動(dòng)：由于4x50，因此一方面要“調(diào)節(jié)”符號(hào)又•14x5不是常數(shù)，因此應(yīng)對(duì)4x2進(jìn)行拆項(xiàng)“配湊”從函數(shù)解析式的特點(diǎn)看，本題可化為有關(guān)x的二次函數(shù)，再通過配措施求其最小值但若注意到為定值，則用變形不等式m2n222更簡(jiǎn)捷解：x54，54x0.y4x214x53231.當(dāng)且僅當(dāng)54x154x，即x1時(shí)，上式等號(hào)成立當(dāng)x1時(shí)，ymax1.y22222xabx22ab22，當(dāng)且僅當(dāng)xabx，即xab2時(shí)，上式等號(hào)成立當(dāng)xab2時(shí)，yminab22.點(diǎn)評(píng)：若x、yR，xys，xyp.若p為定值，則當(dāng)且僅當(dāng)xy時(shí)，s的值最??；如果s為定值，則當(dāng)且僅當(dāng)xy時(shí)，p的值最大簡(jiǎn)稱“和定積最大，積定和最小”從本例的解答可以看出，求最值時(shí)往往需要拆項(xiàng)，其目的是創(chuàng)設(shè)應(yīng)用均值不等式的情境和使等號(hào)成立的條件，即滿足“一正，二定，三相等”的規(guī)定.變式訓(xùn)練已知在ABc中，AcB90°，Bc3，Ac4，P是AB上的點(diǎn)，則點(diǎn)P到Ac、Bc的距離乘積的最大值是_答案：3解析：措施一：以cA、cB所在直線為坐標(biāo)軸建立平面直角坐標(biāo)系，則直線AB方程為x4y31，設(shè)P，則a4b31ab12•a4•b31223，當(dāng)且僅當(dāng)“a4b3”時(shí)等號(hào)成立措施二：設(shè)P到Bc的距離為a，到Ac的距離為b.由相似三角形易得a4PB5，b3PA5，a4b3PBPA51.如下解法同一例3當(dāng)x1時(shí)，求函數(shù)fx23x1x1的值域活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生觀測(cè)函數(shù)f的分子、分母特點(diǎn)，可作如下變形：fx23x1x1x125x15x1x15x15.這樣就可以應(yīng)用均值不等式了解：x1，x10.fx23x1x1x125x15x1x15x152x15x15255，當(dāng)且僅當(dāng)25時(shí)，即x51時(shí)取“”另一解x511，故函數(shù)值域?yàn)?55，)點(diǎn)評(píng)：本題解法具有典型性，解后教師引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)悟反思這種求值域的題目，在“函數(shù)”一章中我們接觸較多，其常用措施有單調(diào)性、圖象法，尚有鑒別式法運(yùn)用鑒別式法不僅計(jì)算量大，并且極易因忽視某些條件而出錯(cuò)本例給出了用均值不等式法求值域的措施，既簡(jiǎn)樸又不易出錯(cuò)但提示學(xué)生一定要注意必須滿足的三個(gè)條件：各項(xiàng)均為正數(shù)；和或積有一種為定值；等號(hào)一定取到，這三個(gè)條件缺一不可.變式訓(xùn)練已知x1•x2•x3••xXX1，且x1、x2、x3、xXX都是正數(shù)，則的最小值是_答案：2XX解析：x10，則1x12x1，同理，1x22x2，xXX2xXX，各式相乘，得2XX•x1•x2•x3••xXX2XX.取“”的條件為x1x2x3xXX1，所求最小值為2XX.例4設(shè)0x2，求函數(shù)f3x83x的最大值，并求相應(yīng)的x值試問0x43時(shí)，原函數(shù)f有無最大值？0x1時(shí)，f有無最大值？若有，請(qǐng)你求出來；若沒有，請(qǐng)你闡明理由活動(dòng)：對(duì)本例中的函數(shù)可變形為f24x9x2，根號(hào)內(nèi)是我們熟悉的二次函數(shù)，完全可以用二次函數(shù)的知識(shí)措施解決，這種措施學(xué)生很熟悉教師可引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用均值不等式求解，讓學(xué)生自己探究，教師可適時(shí)地點(diǎn)撥解：0x2，83x0.f3x83x3x83x224，當(dāng)且僅當(dāng)3x83x，即x43時(shí)取“”函數(shù)f的最大值為4，此時(shí)x43.又f9x224x3x4216，當(dāng)0x43時(shí)，f遞增；當(dāng)x43時(shí)，f遞減當(dāng)0x43時(shí)，原函數(shù)f沒有最大值當(dāng)0x1時(shí)，有最大值f，即f15點(diǎn)評(píng)：通過本例再次加深對(duì)均值不等式條件的理解體會(huì)不等式的功能在于“和與積”的互化，構(gòu)造均值不等式，解題的技巧是拆項(xiàng)或配湊因式知能訓(xùn)練函數(shù)fxx1的最大值為A.25B.12c.22D12求函數(shù)yx1x的最小值，以及此時(shí)x的值3已知x、yR，且2x8yxy0，求xy的最小值答案：B解析：當(dāng)x0時(shí)，f0；當(dāng)x0時(shí)，fxx11x1x12，當(dāng)且僅當(dāng)x1x，即x1時(shí)取等號(hào)2解：x0，x1x2•x•1x2，當(dāng)且僅當(dāng)x1x，即x1時(shí)取等號(hào)當(dāng)x1時(shí)，x1x的值最小，最小值是2.3解：由2x8yxy0得y2x.x0，y0，x80.xy2xx8xx816x8102x8•16x81018，當(dāng)且僅當(dāng)x816x8，即x12時(shí)，xy取最小值18.課堂小結(jié)由學(xué)生歸納整合本節(jié)課所用到的知識(shí)、思想措施，回憶本節(jié)課解決了哪些問題？應(yīng)注意些什么？2教師點(diǎn)撥，本節(jié)課我們用均值不等式解決了函數(shù)的某些最值問題，在用均值不等式求函數(shù)的最值時(shí)，應(yīng)注意考察下列三個(gè)條件：函數(shù)的解析式中，各項(xiàng)均為正數(shù)；函數(shù)的解析式中，含變數(shù)的各項(xiàng)的和或積必須有一種為定值；函數(shù)的解析式中，含變數(shù)的各項(xiàng)均相等，獲得最值即用均值不等式求某些函數(shù)的最值時(shí)，應(yīng)具有三個(gè)條件：一正、二定、三相等在運(yùn)用均值不等式證明某些不等式時(shí)，也應(yīng)注意均值不等式成立的條件及構(gòu)建均值不等式構(gòu)造作業(yè)習(xí)題32A組2、3、7、8、9；習(xí)題32B組3、4.設(shè)計(jì)感想本節(jié)設(shè)計(jì)旨在體現(xiàn)均值不等式的應(yīng)用，因此用不等式求解函數(shù)的最值與證明不等式是穿插進(jìn)行的，且強(qiáng)調(diào)一題多解的訓(xùn)練2本節(jié)設(shè)計(jì)關(guān)注了教學(xué)進(jìn)程的和諧發(fā)展整個(gè)設(shè)計(jì)給人自然流暢的感覺，沒有教師過度自我展示的味道，能使學(xué)生的思維得到充足的鍛煉，能力得到很大的提高3本節(jié)設(shè)計(jì)注重了學(xué)生的主體地位，從例題到變式訓(xùn)練，從新課導(dǎo)入到課堂小結(jié)，都注意了學(xué)生的積極思維活動(dòng)，充足讓學(xué)生占據(jù)思維的時(shí)空，這是提高學(xué)生思維能力的有效良方備課資料一、算術(shù)平均數(shù)不不不小于幾何平均數(shù)的一種證明措施設(shè)a1，a2，a3，an為正實(shí)數(shù)，這n個(gè)數(shù)的算術(shù)平均值記為A，幾何平均值記為G，即Aa1a2ann，Gna1a2an，即AG，當(dāng)且僅當(dāng)a1a2an時(shí)，AG.特別地，當(dāng)n2時(shí)，ab2ab；當(dāng)n3時(shí)，abc33abc.用局部調(diào)節(jié)法證明均值不等式AG.設(shè)這n個(gè)正數(shù)不全相等不失一般性，設(shè)0a1a2an，易證a1Aan，且a1Gan.在這n個(gè)數(shù)中去掉一種最小數(shù)a1，將a1換成A，再去掉一種最大數(shù)an，將an換成a1anA，其他各數(shù)不變，于是得到第二組正數(shù)：A，a2，a3，an1，a1anA.這一代換具有下列性質(zhì)：兩組數(shù)的算術(shù)平均值不變，設(shè)第二組數(shù)的算術(shù)平均值為A1，那么A1Aa2a3an1a1anAnA，第二組數(shù)的幾何平均值最大設(shè)第二組數(shù)的幾何平均值為G1，則G1nAa2a3an1a1anA，Aa1an，由a1Aan，得0，則Aa1an.Aa2a3an1a1a2an1•an，即G1G.二、備用習(xí)題已知a0，b0，且ab2，則Aab12Bab12ca2b22Da2b232若a、b、c、d、x、y是正實(shí)數(shù)，且Pabcd，Qaxcy•bxdy，則APQBPQcPQDPQ3若函數(shù)yf的值域是12，3，則函數(shù)Ff1fx的值域是A12，3B2，103c52，103D3，1034某公司一年購(gòu)買某種貨品400噸，每次都購(gòu)買x噸，運(yùn)費(fèi)為4萬元/次，一年的總存儲(chǔ)費(fèi)用為4x萬元，要使一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用之和最小，則x_噸5直線l過點(diǎn)m且分別交x軸，y軸正半軸于點(diǎn)A，B，o為坐標(biāo)原點(diǎn)，求AoB面積最小時(shí)l的方程6通過長(zhǎng)期觀測(cè)得到：在交通繁忙的時(shí)段內(nèi)，某公路汽車的車流量y與汽車的平均速度v之間的函數(shù)關(guān)系為y920vv23v1600在該時(shí)段內(nèi)，當(dāng)汽車的平均速度v為多少時(shí)，車流量最大？最大車流量為多少？若規(guī)定在該時(shí)段內(nèi)車流量超過10千輛/時(shí)，則汽車的平均速度應(yīng)在什么范疇內(nèi)？參照答案：c解析：對(duì)于選項(xiàng)c：a2b2a2b2a2b22a2b22ab2ab222.故c對(duì)的2c解析：a、b、c、d、x、y是正實(shí)數(shù)，Qaxcy•bxdyabcdadxybcyxabcd2abcdabcdP.3B解析：令tf，則t12，3FGt1t.該函數(shù)在t1處獲得最小值2，在t3處獲得最大值103.故選B.420解析：設(shè)一年總費(fèi)用為y萬元，則y4•400x4x1600x4x21600x•4x160，當(dāng)且僅當(dāng)1600x4x，即x20時(shí)，等號(hào)成立5解：設(shè)直線l的方程為y1k，即ykx12k令x0，得y12k；令y0，得x2k1k21k.SAoB12212kk0，2k0.SAoB224，當(dāng)且僅當(dāng)12k2k，即k12時(shí)取等號(hào)此時(shí)l的方程為y12x2.6解：依題意，得y9203v1600v92032160092083，當(dāng)且僅當(dāng)v1600v，即v40時(shí)，上式等號(hào)成立，因此ymax9208311.1由條件得920vv23v160010，整頓，得v289v16000，即0，解得25v64.答：當(dāng)v40千米/時(shí)時(shí)，車流量最大，最大車流量約為11.1千輛/時(shí)如果規(guī)定在該時(shí)段內(nèi)車流量超過10千輛/時(shí)，則汽車的平均速度應(yīng)不小于25千米/時(shí)且不不小于64千米/時(shí)