2020屆高考數(shù)學一輪復(fù)習 單元檢測八 立體幾何與空間向量（提升卷）單元檢測 理（含解析） 新人教A版

單元檢測八立體幾何與空間向量(提升卷)考生注意：1本試卷分第卷(選擇題)和第卷(非選擇題)兩部分，共4頁2答卷前，考生務(wù)必用藍、黑色字跡的鋼筆或圓珠筆將自己的姓名、班級、學號填寫在相應(yīng)位置上3本次考試時間100分鐘，滿分130分4請在密封線內(nèi)作答，保持試卷清潔完整第卷(選擇題共60分)一、選擇題(本題共12小題，每小題5分，共60分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1(2018·廣東省廣州市培正中學模擬)下列命題中，錯誤的是( )A平行于同一平面的兩個平面平行B平行于同一直線的兩個平面平行C一條直線與兩個平行平面中的一個相交，那么這條直線必和另一個平面相交D一條直線與兩個平行平面所成的角相等答案B解析選項A正確，是面面平行的傳遞性選項B錯誤，比如正方體的兩相鄰側(cè)面與一側(cè)棱都平行，但兩側(cè)面所在平面相交選項C正確，由反證法，若直線與另一平面不相交，則直線在平面內(nèi)或直線與平面平行，與直線與第一個平面相交矛盾選項D正確，由線面角定義可知正確2長方體的一個頂點上三條棱長分別是3,4,5，且它的8個頂點都在同一球面上，則這個球的表面積是()A25B50C125D都不對答案B解析長方體的8個頂點都在同一球面上，則這個球是長方體的外接球，所以球的直徑等于長方體的體對角線長，即R，所以球的表面積為4R24·250，故選B.3.如圖，在多面體ABCDEF中，已知平面ABCD是邊長為3的正方形，EFAB，EF，且EF與平面ABCD的距離為2，則該多面體的體積為()A.B5C6D.答案D解析分別取AB，CD的中點G，H，連接EG，GH，EH，把該多面體分割成一個四棱錐與一個三棱柱，可求得四棱錐的體積為3，三棱柱的體積為，進而整個多面體的體積為.4如圖，一個空間幾何體的正視圖，側(cè)視圖，俯視圖為全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角邊的長為1，那么這個幾何體的體積為( )A.B.C.D1答案A解析由三視圖還原可知原圖形是底面是直角邊為1的等腰直角三角形，兩側(cè)面也是直角邊為1的等腰直角三角形，另一側(cè)面是邊長為的等邊三角形的三棱錐所以體積為V××1，選A.5(2018·西安模擬)若平面與的法向量分別是a(2,4，3)，b(1,2,2)，則平面與的位置關(guān)系是()A平行B垂直C相交但不垂直D無法確定答案B解析因為a·b(2,4，3)·(1,2,2)0，所以ab，所以兩平面垂直6.如圖，長方體ABCDA1B1C1D1中，DAD145°，CDC130°，那么異面直線AD1與DC1所成角的余弦值是( )A.B.C.D.答案C解析由長方體DAD145°，CDC130°，設(shè)ADDD11，CD.連接BC1，BD.由AD1BC1，所以異面直線AD1與DC1所成角，即BC1D.在BDC1中，BC1，BD2，C1D2，由余弦定理可得cosBC1D，所以異面直線AD1與DC1所成角的余弦值是，選C.7ABC所在的平面為，直線lAB，lAC，直線mBC，mAC，則直線l，m的位置關(guān)系是()A相交B平行C異面D不確定答案B解析lAB，lAC，ABACA，AB，AC平面ABC，l平面ABC.mBC，mAC，BCACC，BC，AC平面ABC，m平面ABC，lm，故選B.8已知向量a(2,4,5)，b(3，x，y)分別是直線l1，l2的方向向量，若l1l2，則()Ax6，y15Bx3，yCx3，y15Dx6，y答案D解析l1l2，存在實數(shù)k使得bka，即(3，x，y)k(2,4,5)，解得x6，y，故選D.9(2018·湖南省長沙市周南中學模擬)如圖，在所有棱長均為a的直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分別為BB1，A1C1的中點，則異面直線AD，CE所成角的余弦值為()A.B.C.D.答案C解析設(shè)AC的中點為O，以，為x，y，z軸建立坐標系(圖略)，則A，D，C，E(0,0，a)，則，設(shè)AD與CE所成的角為，則cos，故選C.10已知，是兩個平面，直線l，l，若以l；l；中兩個為條件，另一個為結(jié)論構(gòu)成三個命題，則其中正確的命題有()A；B；C；D；答案A解析因為，所以在內(nèi)找到一條直線m，使m，又因為l，所以lm.又因為l，所以l，即；因為l，所以過l可作一平面n，所以ln，又因為l，所以n，又因為n，所以，即.故選A.11.如圖，空間四邊形OABC中，M，N分別是OA，BC的中點，點G在線段MN上，且MG2GN，若xyz，則() Ax，y，zBx，y，zCx，y，zDx，y，z答案D解析由向量的運算法則有，又，2，得3，據(jù)此可知x，y，z.12.點P在正方體側(cè)面BCC1B1及其邊界上運動，并且保持APBD1，則點P的軌跡為()A線段B1CBBB1的中點與CC1的中點連成的線段C線段BC1DBC的中點與B1C1的中點連成的線段答案A解析APBD1恒成立，要保證AP所在的平面始終垂直于BD1.ACBD1，AB1BD1，ACAB1A，AB1，AC平面AB1C，BD1平面AB1C，P點在線段B1C上運動故選A.第卷(非選擇題共70分)二、填空題(本題共4小題，每小題5分，共20分把答案填在題中橫線上)13正四面體ABCD的棱長為2，半徑為的球O過點D, MN為球O的一條直徑，則·的最小值是_答案44解析很明顯當O，D，M，N四點共面時數(shù)量積能取得最值，由題意可知ODOMON，則MDN是以點D為頂點的直角三角形，且·()·()2·()·42·0，當向量，反向時，·取得最小值42×2×44.14.如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，M，N分別是棱AA1和AB上的點，若B1MN是直角，則C1MN_.答案90°解析因為C1B1平面ABB1A1，MN平面ABB1A1，所以C1B1MN.又因為MNMB1，MB1，C1B1平面C1MB1，MB1C1B1B1，所以MN平面C1MB1，所以MNC1M，所以C1MN90°.15.如圖，BAC90°，PC平面ABC，則在ABC和PAC的邊所在的直線中，與PC垂直的直線有_；與AP垂直的直線有_答案AB，BC，ACAB解析PC平面ABC，PC垂直于直線AB，BC，AC；ABAC，ABPC，ACPCC，AB平面PAC，與AP垂直的直線是AB.16.如圖，在平行六面體ABCDA1B1C1D1中，AB1，AD2，AA13，BAD90°，BAA1DAA160°，則AC1_.答案解析BAA1DAA160°，A1在平面ABCD上的射影必落在直線AC上，平面ACC1A1平面ABCD，AB1，AD2，AA13，|2()2|2|2|22·2·2·14902×1×3×2×2×3×23，|，AC1.三、解答題(本題共4小題，共50分解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17(12分)如圖，在直三棱柱(側(cè)棱垂直于底面)ABCA1B1C1中，AC9，BC12，AB15，AA112，點D是AB的中點(1)求證：ACB1C；(2)求證：AC1平面CDB1.證明(1)三棱柱ABCA1B1C1為直三棱柱，CC1平面ABC，又AC平面ABC，CC1AC.又AC9，BC12，AB15，AC2BC2AB2，ACBC.CC1，BC平面BB1C1C，CC1BCC，AC平面BB1C1C，又B1C平面BB1C1C，ACB1C.(2)取A1B1的中點D1，連接C1D1，D1D和AD1.ADD1B1，且ADD1B1，四邊形ADB1D1為平行四邊形，AD1DB1，又AD1平面CDB1，DB1平面CDB1，AD1平面CDB1.CC1DD1，且CC1DD1，四邊形CC1D1D為平行四邊形，C1D1CD，又CD平面CDB1，C1D1平面CDB1，C1D1平面CDB1.AD1C1D1D1，AD1，C1D1平面AC1D1，平面AC1D1平面CDB1，又AC1平面AC1D1，AC1平面CDB1.18(12分)如圖，在四棱錐PABCD中，AD平面PDC，ADBC，PDPB，AD1，BC3，CD4，PD2.(1)求異面直線AP與BC所成角的余弦值；(2)求證：PD平面PBC；(3)求直線AB與平面PBC所成角的正弦值(1)解由已知ADBC，得DAP或其補角即為異面直線AP與BC所成的角因為AD平面PDC，所以ADPD.在RtPDA中，由已知，得AP，故cosDAP.所以異面直線AP與BC所成角的余弦值為.(2)證明因為AD平面PDC，直線PD平面PDC，所以ADPD.又因為BCAD，所以PDBC，又PDPB，BC，PB平面PBC，BCPBB，所以PD平面PBC.(3)解過點D作AB的平行線交BC于點F，連接PF，則DF與平面PBC所成的角等于AB與平面PBC所成的角因為PD平面PBC，故PF為DF在平面PBC上的射影，所以DFP為直線DF和平面PBC所成的角由于ADBC，DFAB，故BFAD1，由已知，得CFBCBF2.又ADDC，故BCDC，在RtDCF中，可得DF2，在RtDPF中，可得sinDFP.所以，直線AB與平面PBC所成角的正弦值為.19(13分)如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是邊長為4的菱形，ABC60°，PA平面ABCD，PA4，F(xiàn)是棱PA上一點，且AF1，E為PD的一個靠近D點的三等分點(1)求證：CE平面BDF；(2)求平面BDF與平面PAD所成的銳二面角的余弦值(1)證明以點A為坐標原點，以AD，AP所在的直線分別為y軸，z軸，建立空間直角坐標系如圖則A(0,0,0)，D(0,4,0)，P(0,0,4)，F(xiàn)(0,0,1)，B(2，2,0)，C(2，2,0)，設(shè)平面BDF的法向量為n(x，y，z)，又(2，6,0)，(0，4,1)，所以取y1，得n(，1,4)，所以·n60，即n.又CE平面BDF，所以CE平面BDF.(2)解由(1)知平面BDF的一個法向量為n(，1,4)，又平面PAD的一個法向量可取n1(1,0,0)，所以平面BDF與平面PAD所成銳二面角的余弦值為|cosn，n1|.20(13分)(2018·北京市城六區(qū)模擬)如圖1，在邊長為2的正方形ABCD中，P為CD中點，分別將PAD, PBC沿PA，PB所在直線折疊，使點C與點D重合于點O，如圖2，在三棱錐POAB中，E為PB中點(1)求證：POAB；(2)求直線BP與平面POA所成角的正弦值；(3)求二面角PAOE的大小(1)證明在正方形ABCD中，P為CD中點，PDAD，PCBC，所以在三棱錐POAB中，POOA，POOB.因為OAOBO，OA，OB平面OAB，所以PO平面OAB.因為AB平面OAB，所以POAB.(2)解取AB中點F，連接OF，取AO中點M，連接BM.過點O作AB的平行線OG.因為PO平面OAB，所以POOF，POOG.因為OAOB，F(xiàn)為AB的中點，所以O(shè)FAB.所以O(shè)FOG.如圖所示，建立空間直角坐標系Oxyz.A(1，0)，B(1，0)，P(0,0,1)，M.因為BOBA，M為OA的中點，所以BMOA.因為PO平面OAB，PO平面POA，所以平面POA平面OAB.因為平面POA平面OABOA，BM平面OAB，所以BM平面POA.因為.所以平面POA的一個法向量m(，1,0).(1，1)設(shè)直線BP與平面POA所成角為，則sin|cosm，|.所以直線BP與平面POA所成角的正弦值為.(3)由(2)知E，(1，0)設(shè)平面OAE的法向量為n(x，y，z)，則有即令y1，則x，z2，即n(，1,2)由(2)知平面OAP的一個法向量為m(，1,0)，所以cosm，n.由題意知二面角PAOE為銳角，所以它的大小為.12