（課標(biāo)專用）天津市2020高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題能力訓(xùn)練18 排列、組合與二項(xiàng)式定理

專題能力訓(xùn)練18排列、組合與二項(xiàng)式定理專題能力訓(xùn)練第42頁 一、能力突破訓(xùn)練1.某電視臺的一個綜藝欄目對含甲、乙在內(nèi)的六個不同節(jié)目排演出順序,第一個節(jié)目只能排甲或乙,最后一個節(jié)目不能排甲,則不同的排法共有()A.192種B.216種C.240種D.288種答案:B解析:完成這件事,可分兩類:第一類,第一個節(jié)目排甲,其余位置有A55=120種不同的排法;第二類,第一個節(jié)目排乙,最后一個節(jié)目有4種排法,其余位置有A44=24種不同的排法.所以共有A55+4A44=216種不同的排法.2.已知x2+1xn的展開式的各項(xiàng)系數(shù)和為32,則展開式中x4的系數(shù)為()A.5B.40C.20D.10答案:D解析:令x=1,得2n=32,所以n=5,則C5r(x2)5-r·1xr=C5rx10-3r.令10-3r=4,得r=2,所以展開式中x4的系數(shù)為C52=10.3.已知(1+x)n的展開式中第4項(xiàng)與第8項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等,則奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為()A.212B.211C.210D.29答案:D解析:由條件知Cn3=Cn7,解得n=10.所以(1+x)10中二項(xiàng)式系數(shù)和為210,其中奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為210-1=29.4.若x6+1xxn的展開式中含有常數(shù)項(xiàng),則n的最小值等于()A.3B.4C.5D.6答案:C解析:展開式的通項(xiàng)為Tr+1=Cnr(x6)n-r1xxr=Cnrx6n-152r.因?yàn)檎归_式中含常數(shù)項(xiàng),所以6n-152r=0成立,即n=54r.當(dāng)r=4時(shí),n有最小值5.故選C.5.x2+1x2-23展開式中的常數(shù)項(xiàng)為()A.-8B.-12C.-20D.20答案:C解析:因?yàn)閤2+1x2-23=x-1x6,所以Tr+1=C6rx6-r-1xr=(-1)rC6rx6-2r,所以當(dāng)r=3時(shí)為常數(shù)項(xiàng),且常數(shù)項(xiàng)為-C63=-20.6.某學(xué)校組織演講比賽,準(zhǔn)備從甲、乙等八名同學(xué)中選派四名同學(xué)參加,要求甲、乙兩名同學(xué)至少有一人參加.若甲、乙同時(shí)參加,他們的演講順序不能相鄰,則不同的演講順序的種數(shù)為()A.1 860B.1 320C.1 140D.1 020答案:C解析:根據(jù)甲、乙兩名同學(xué)中實(shí)際參與演講比賽的人數(shù)進(jìn)行分類計(jì)數(shù):第一類,甲、乙兩名同學(xué)中實(shí)際參與演講比賽的恰有一人,滿足題意的不同的演講順序的種數(shù)為C21·C63·A44=960;第二類,甲、乙兩名同學(xué)中實(shí)際參與演講比賽的恰有兩人,滿足題意的不同的演講順序的種數(shù)為C22·C62·A22·A32=180.因此滿足題意的不同的演講順序的種數(shù)為960+180=1140.故選C.7.若二項(xiàng)式(3-x)n(nN*)中所有項(xiàng)的系數(shù)之和為a,所有項(xiàng)的系數(shù)的絕對值之和為b,則ba+ab的最小值為()A.2B.52C.136D.92答案:B解析:令x=1,a=2n;令x=-1,b=4n,則ba+ab=2n+12n.令t=2n,t2,則ba+ab=2n+12n=t+1t2+12=52.故選B.8.在某市記者招待會上,需要接受本市甲、乙兩家電視臺記者的提問,兩家電視臺均有記者5人,主持人需要從這10名記者中選出4名記者提問,且這4人中,既有甲電視臺記者,又有乙電視臺記者,且甲電視臺的記者不可以連續(xù)提問,則不同的提問方式的種數(shù)為()A.1 200B.2 400C.3 000D.3 600答案:B解析:若4人中,有甲電視臺記者1人,乙電視臺記者3人,則不同的提問方式總數(shù)是C51C53A44=1200;若4人中,有甲電視臺記者兩人,乙電視臺記者兩人,則不同的提問方式總數(shù)是C52C52A22A32=1200;若4人中,有甲電視臺記者3人,乙電視臺記者1人,則不符合主持人的規(guī)定,故所有不同提問方式的總數(shù)為1200+1200=2400.9.在(1+x)6(1+y)4的展開式中,記xmyn項(xiàng)的系數(shù)為f(m,n),則f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)=()A.45B.60C.120D.210答案:C解析:(1+x)6展開式的通項(xiàng)為Tr+1=C6rxr(r=0,1,2,6),(1+y)4展開式的通項(xiàng)為Th+1=C4hyh(h=0,1,2,4),(1+x)6(1+y)4展開式的通項(xiàng)可以為C6rC4hxryh,f(m,n)=C6mC4n.f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)=C63+C62C41+C61C42+C43=20+60+36+4=120.故選C.10.本次模擬考試結(jié)束后,班級要排一張語文、數(shù)學(xué)、英語、物理、化學(xué)、生物六科試卷講評順序表.若化學(xué)排在生物前面,數(shù)學(xué)與物理不相鄰且都不排在最后,則不同的排法共有()A.72種B.144種C.288種D.360種答案:B解析:第一步,排語文、英語、化學(xué)、生物4種,且化學(xué)排在生物前面,有A442=12種排法;第二步將數(shù)學(xué)和物理插入前4科除最后位置外的4個空當(dāng)中的2個,有A42=12種排法,所以不同的排法共有12×12=144種.11.(x-y)(x+y)8的展開式中x2y7的系數(shù)為.(用數(shù)字填寫答案) 答案:-20解析:(x+y)8的通項(xiàng)為Tr+1=C8rx8-ryr(r=0,1,8).當(dāng)r=7時(shí),T8=C87xy7=8xy7,當(dāng)r=6時(shí),T7=C86x2y6=28x2y6,所以(x-y)(x+y)8的展開式中含x2y7的項(xiàng)為x·8xy7-y·28x2y6=-20x2y7,故系數(shù)為-20.12.已知(1+3x)n的展開式中含有x2項(xiàng)的系數(shù)是54,則n=. 答案:4解析:二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)Tr+1=Cnr(3x)r=3r·Cnr·xr,令r=2,得32·Cn2=54,解得n=4.13.從2名女生,4名男生中選3人參加科技比賽,且至少有1名女生入選,則不同的選法共有種.(用數(shù)字填寫答案) 答案:16解析:(方法一)當(dāng)3人中恰有1名女生時(shí),有C21C42=12種選法.當(dāng)3人中有2名女生時(shí),有C22C41=4種選法.故不同的選法共有12+4=16種.(方法二)6人中選3人共有C63種選法,當(dāng)3人全是男生時(shí)有C43種選法,所以至少有1名女生入選時(shí)有C63-C43=16種選法.14.在3x-2xn的二項(xiàng)式中,所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為256,則常數(shù)項(xiàng)等于. 答案:112解析:由二項(xiàng)式定理,得所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為2n,由題意,得2n=256,所以n=8.二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)為Tr+1=C8r(3x)8-r-2xr=(-2)rC8rx83-43r,求常數(shù)項(xiàng)則令83-43r=0,所以r=2,所以T3=112.15.在一次醫(yī)療救助活動中,需要從A醫(yī)院某科室的6名男醫(yī)生、4名女醫(yī)生中分別抽調(diào)3名男醫(yī)生、2名女醫(yī)生,且男醫(yī)生中唯一的主任醫(yī)師必須參加,則不同的選派方案共有種.(用數(shù)字作答) 答案:60解析:首先選派男醫(yī)生中唯一的主任醫(yī)師,然后從5名男醫(yī)生、4名女醫(yī)生中分別抽調(diào)2名男醫(yī)生、2名女醫(yī)生,故不同的選派方案有C52C42=10×6=60種.故答案為60.16.將6位志愿者分成4組,其中兩個組各兩人,另兩個組各1人,分赴全運(yùn)會的四個不同場館服務(wù),不同的分配方案有種.(用數(shù)字作答) 答案:1 080解析:先將6位志愿者分組,共有C62·C42A22種方法;再把各組分到不同場館,共有A44種方法.由分步乘法計(jì)數(shù)原理知,不同的分配方案共有C62C42A22·A44=1080種.17.已知多項(xiàng)式(x+1)3(x+2)2=x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5,則a4=,a5=. 答案:164解析:由二項(xiàng)式展開式可得通項(xiàng)公式為C3rx3-r·C2mx2-m2m,分別取r=3,m=1和r=2,m=2可得a4=4+12=16,令x=0可得a5=13×22=4.18.從6男2女共8名學(xué)生中選出隊(duì)長1人,副隊(duì)長1人,普通隊(duì)員2人組成4人服務(wù)隊(duì),要求服務(wù)隊(duì)中至少有1名女生,共有種不同的選法.(用數(shù)字作答) 答案:660解析:由題意可得,總的選擇方法為C84C41C31種方法,其中不滿足題意的選法有C64C41C31種方法,則滿足題意的選法有C84C41C31-C64C41C31=660種.19.某高三畢業(yè)班有40名同學(xué),同學(xué)之間兩兩彼此給對方僅寫一條畢業(yè)留言,則全班一共寫了條畢業(yè)留言.(用數(shù)字作答) 答案:1 560解析:該問題是一個排列問題,故共有A402=40×39=1560條畢業(yè)留言.二、思維提升訓(xùn)練20.將2名教師、4名學(xué)生分成2個小組,分別安排到甲、乙兩地參加社會實(shí)踐活動,每個小組由1名教師和2名學(xué)生組成,不同的安排方案共有()A.12種B.10種C.9種D.8種答案:A解析:將4名學(xué)生均分為2個小組共有C42C22A22=3種分法,將2個小組的同學(xué)分給2名教師帶有A22=2種分法,最后將2個小組的人員分配到甲、乙兩地有A22=2種分法,故不同的安排方案共有3×2×2=12種.21.某學(xué)校安排甲、乙、丙、丁四位同學(xué)參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)競賽,要求每位同學(xué)僅報(bào)一科,每科至少有一位同學(xué)參加,且甲、乙不能參加同一學(xué)科,則不同的安排方法有()A.36種B.30種C.24種D.6種答案:B解析:首先從四個人中選擇兩個人作為一組,其余兩個人各自一組分派到三個競賽區(qū),共有C42·A33種方法,再將甲、乙參加同一學(xué)科的種數(shù)A33排除,繼而所求的安排方法有C42·A33-A33=30種,故答案為B.22.若x4(x+3)8=a0+a1(x+2)+a2(x+2)2+a12(x+2)12,則log2(a1+a3+a5+a11)等于()A.27B.28C.7D.8答案:C解析:令x=-1,得a0+a1+a2+a12=28,令x=-3,得a0-a1+a2-a3+a12=0.由-,得2(a1+a3+a11)=28,a1+a3+a11=27,log2(a1+a3+a11)=7.23.用a代表紅球,b代表藍(lán)球,c代表黑球.由加法計(jì)數(shù)原理及乘法計(jì)數(shù)原理,從1個紅球和1個藍(lán)球中取出若干個球的所有取法可由(1+a)(1+b)的展開式1+a+b+ab表示出來,如:“1”表示一個球都不取、“a”表示取出一個紅球、而“ab”則表示把紅球和藍(lán)球都取出來.依此類推,下列各式中,其展開式可用來表示從5個無區(qū)別的紅球、5個無區(qū)別的藍(lán)球、5個有區(qū)別的黑球中取出若干個球,且所有的藍(lán)球都取出或都不取出的所有取法種數(shù)是()A.(1+a+a2+a3+a4+a5)(1+b5)(1+c)5B.(1+a5)(1+b+b2+b3+b4+b5)(1+c)5C.(1+a)5(1+b+b2+b3+b4+b5)(1+c5)D.(1+a5)(1+b)5(1+c+c2+c3+c4+c5)答案:A解析:本題可分三步:第一步,分別取0,1,2,3,4,5個紅球,共有1+a+a2+a3+a4+a5種取法;第二步,取0個或5個藍(lán)球,有1+b5種取法;第三步,取5個有區(qū)別的黑球,有(1+c)5種取法.所以共有(1+a+a2+a3+a4+a5)(1+b5)(1+c)5種取法.故選A.24.1-90C101+902C102-903C103+(-1)k90kC10k+9010C1010除以88的余數(shù)是()A.-1B.1C.-87D.87答案:B解析:1-90C101+902C102+(-1)k90kC10k+9010C1010=(1-90)10=8910=(88+1)10=8810+C101889+C10988+1,又前10項(xiàng)均能被88整除,余數(shù)是1.25.某人根據(jù)自己的愛好,希望從W,X,Y,Z中選兩個不同字母,從0,2,6,8中選3個不同數(shù)字?jǐn)M編車牌號,要求前3位是數(shù)字,后兩位是字母,且數(shù)字2不能排在首位,字母Z和數(shù)字2不能相鄰,則滿足要求的車牌號有()A.198個B.180個C.216個D.234個答案:A解析:不選2時(shí),有A33A42=72個不同的車牌號;選2,不選Z時(shí),有C21C32A22A32=72個不同的車牌號;選2,選Z時(shí),2在數(shù)字的中間,有A32C21C31=36個不同的車牌號;當(dāng)2在數(shù)字的第三位時(shí),有A32A31=18個不同的車牌號.根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理,知共有72+72+36+18=198個不同的車牌號,故選A.26.若A,B,C,D四人站成一排照相,A,B相鄰的排法總數(shù)為k,則二項(xiàng)式1-xkk的展開式中含x2項(xiàng)的系數(shù)為. 答案:1124解析:由題意知k=A22A33=12,所以Tr+1=C12r-x12r=C12r-112rxr.因?yàn)閞=2,所以含x2項(xiàng)的系數(shù)為C1221122=66×1122=1124.27.已知二項(xiàng)式x-ax6的展開式中x2的系數(shù)為A,常數(shù)項(xiàng)為B,且B=4A,求a的值.解:展開式的通項(xiàng)為Tr+1=C6rx6-r·-axr=(-a)rC6rx6-2r.令6-2r=2,得r=2,A=a2C62=15a2;令6-2r=0,得r=3,B=-a3C63=-20a3.將其代入B=4A,得a=-3.28.在6名內(nèi)科醫(yī)生和4名外科醫(yī)生中,內(nèi)科主任和外科主任各1名,現(xiàn)要組成5人醫(yī)療小組送醫(yī)下鄉(xiāng),根據(jù)下列條件,分別求出各有多少種不同的選派方法.(1)有3名內(nèi)科醫(yī)生和兩名外科醫(yī)生;(2)既有內(nèi)科醫(yī)生,又有外科醫(yī)生;(3)至少有1名主任參加;(4)既有主任,又有外科醫(yī)生.解:(1)先選內(nèi)科醫(yī)生有C63種選法,再選外科醫(yī)生有C42種選法,故選派方法的種數(shù)為C63·C42=120.(2)既有內(nèi)科醫(yī)生,又有外科醫(yī)生,正面思考應(yīng)包括四種情況,內(nèi)科醫(yī)生去1人,2人,3人,4人,易得出選派方法的種數(shù)為C61·C44+C62·C43+C63·C42+C64·C41=246.若從反面考慮,則選派方法的種數(shù)為C105-C65=246.(3)分兩類:一是選1名主任有C21·C84種方法;二是選兩名主任有C22·C83種方法,故至少有1名主任參加的選派方法的種數(shù)為C21·C84+C22·C83=196.若從反面考慮:至少有1名主任參加的選派方法的種數(shù)為C105-C85=196.(4)若選外科主任,則其余可任選,有C94種選法.若不選外科主任,則必選內(nèi)科主任,且剩余的4人不能全選內(nèi)科醫(yī)生,有(C84-C54)種選法.故有選派方法的種數(shù)為C94+C84-C54=191.- 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