高中數(shù)學(xué) 第二章 推理與證明 學(xué)業(yè)分層測評7 反證法 新人教A版選修1-2

【課堂新坐標(biāo)】2016-2017學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第二章 推理與證明 學(xué)業(yè)分層測評7 反證法 新人教A版選修1-2 (建議用時(shí)：45分鐘)學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)一、選擇題1用反證法證明“三角形中最多只有一個(gè)內(nèi)角為鈍角”，下列假設(shè)中正確的是()A有兩個(gè)內(nèi)角是鈍角B有三個(gè)內(nèi)角是鈍角C至少有兩個(gè)內(nèi)角是鈍角D沒有一個(gè)內(nèi)角是鈍角【解析】“最多有一個(gè)”的反設(shè)是“至少有兩個(gè)”，故選C.【答案】C2下列命題錯(cuò)誤的是()A三角形中至少有一個(gè)內(nèi)角不小于60B四面體的三組對棱都是異面直線C閉區(qū)間a，b上的單調(diào)函數(shù)f(x)至多有一個(gè)零點(diǎn)D設(shè)a，bZ，若a，b中至少有一個(gè)為奇數(shù)，則ab是奇數(shù)【解析】ab為奇數(shù)a，b中有一個(gè)為奇數(shù)，另一個(gè)為偶數(shù)，故D錯(cuò)誤【答案】D3“自然數(shù)a，b，c中恰有一個(gè)偶數(shù)”的否定正確的為()【導(dǎo)學(xué)號：19220029】Aa，b，c都是奇數(shù)Ba，b，c都是偶數(shù)Ca，b，c中至少有兩個(gè)偶數(shù)Da，b，c中都是奇數(shù)或至少有兩個(gè)偶數(shù)【解析】自然數(shù)a，b，c的奇偶性共有四種情形：(1)3個(gè)都是奇數(shù)；(2)2個(gè)奇數(shù)，1個(gè)偶數(shù)；(3)1個(gè)奇數(shù)，2個(gè)偶數(shù)；(4)3個(gè)都是偶數(shù)所以否定正確的是a，b，c中都是奇數(shù)或至少有兩個(gè)偶數(shù)【答案】D4設(shè)x，y，z都是正實(shí)數(shù)，ax，by，cz，則a，b，c三個(gè)數(shù)()A至少有一個(gè)不大于2B都小于2C至少有一個(gè)不小于2D都大于2【解析】若a，b，c都小于2，則abc<6，而abcxyz6，顯然，矛盾，所以C正確【答案】C5(2016溫州高二檢測)用反證法證明命題：“一個(gè)三角形中不能有兩個(gè)直角”的過程歸納為以下三個(gè)步驟：ABC9090C>180，這與三角形內(nèi)角和為180相矛盾，AB90不成立；所以一個(gè)三角形中不能有兩個(gè)直角；假設(shè)三角形的三個(gè)內(nèi)角A，B，C中有兩個(gè)直角，不妨設(shè)AB90，正確順序的序號為()ABCD【解析】根據(jù)反證法的步驟，應(yīng)該是先提出假設(shè)，再推出矛盾，最后否定假設(shè)，從而肯定結(jié)論【答案】D二、填空題6(2016南昌高二檢測)命題“任意多面體的面至少有一個(gè)是三角形或四邊形或五邊形”的結(jié)論的否定是_【解析】“至少有一個(gè)”的否定是“沒有一個(gè)”【答案】任意多面體的面沒有一個(gè)是三角形或四邊形或五邊形7(2016汕頭高二檢測)用反證法證明命題“如果a>b，那么>”時(shí)，假設(shè)的內(nèi)容應(yīng)是_【解析】與的關(guān)系有三種情況：>，和<，所以“>”的反設(shè)應(yīng)為“或<”【答案】或<8(2016石家莊高二檢測)設(shè)a，b是兩個(gè)實(shí)數(shù)，給出下列條件：ab1；ab2；ab>2；a2b2>2.其中能推出“a，b中至少有一個(gè)大于1”的條件是_(填序號)【解析】若a，b，則ab1，但a<1，b<1，故不能推出若ab1，則ab2，故不能推出若a2，b1，則a2b2>2，故不能推出對于，即ab>2，則a，b中至少有一個(gè)大于1.反證法：假設(shè)a1且b1，則ab2與ab>2矛盾，因此假設(shè)不成立，故a，b中至少有一個(gè)大于1.【答案】三、解答題9已知xR，ax2，b2x，cx2x1，試證明：a，b，c至少有一個(gè)不小于1.【導(dǎo)學(xué)號：19220030】【證明】假設(shè)a，b，c均小于1，即a<1，b<1，c<1，則有abc<3.而與abc2x22x32233矛盾，故假設(shè)不成立，即a，b，c至少有一個(gè)不小于1.10已知三個(gè)正數(shù)a，b，c成等比數(shù)列，但不成等差數(shù)列，求證： ， ， 不成等差數(shù)列【證明】假設(shè)， ， 成等差數(shù)列，則2，兩邊同時(shí)平方得ac24b.把b2ac代入ac24b，可得ac2b，即a，b，c成等差數(shù)列，這與a，b，c不成等差數(shù)列矛盾所以， ， 不成等差數(shù)列能力提升1有以下結(jié)論：已知p3q32，求證pq2，用反證法證明時(shí)，可假設(shè)pq2；已知a，bR，|a|b|<1，求證方程x2axb0的兩根的絕對值都小于1，用反證法證明時(shí)可假設(shè)方程有一根x1的絕對值大于或等于1，即假設(shè)|x1|1.下列說法中正確的是()A與的假設(shè)都錯(cuò)誤B與的假設(shè)都正確C的假設(shè)正確；的假設(shè)錯(cuò)誤D的假設(shè)錯(cuò)誤；的假設(shè)正確【解析】用反證法證題時(shí)一定要將對立面找準(zhǔn)在中應(yīng)假設(shè)pq>2，故的假設(shè)是錯(cuò)誤的，而的假設(shè)是正確的【答案】D2已知命題“在ABC中，AB.求證sin Asin B”若用反證法證明，得出的矛盾是()A與已知條件矛盾B與三角形內(nèi)角和定理矛盾C與已知條件矛盾且與三角形內(nèi)角和定理矛盾D與大邊對大角定理矛盾【解析】證明過程如下：假設(shè)sin Asin B，因?yàn)?<A<，0<B<，所以AB或AB.其中AB與AB矛盾；AB與三角形內(nèi)角和定理矛盾，所以假設(shè)不成立所以sin Asin B.【答案】C3(2016九江高二檢測)有甲、乙、丙、丁四位歌手參加比賽，其中只有一位獲獎，有人走訪了四位歌手，甲說：“是乙或丙獲獎”，乙說：“甲、丙都未獲獎”，丙說：“我獲獎了”，丁說：“是乙獲獎了”，四位歌手的話只有兩句是對的，則獲獎的歌手是_【解析】因?yàn)橹挥幸蝗双@獎，所以丙、丁只有一個(gè)說的對，同時(shí)甲、乙中只有一人說的對，假設(shè)乙說的對，這樣丙就說的錯(cuò)，丁就說的對，也就是甲也說的對，與甲說的錯(cuò)矛盾，所以乙說的錯(cuò)，從而知甲、丙說的對，所以丙為獲獎歌手【答案】丙4(2016溫州高二檢測)設(shè)an，bn是公比不相等的兩個(gè)等比數(shù)列，cnanbn，證明：數(shù)列cn不是等比數(shù)列【證明】假設(shè)數(shù)列cn是等比數(shù)列，則(anbn)2(an1bn1)(an1bn1)因?yàn)閍n，bn是公比不相等的兩個(gè)等比數(shù)列，設(shè)公比分別為p，q，所以aan1an1，bbn1bn1.代入并整理，得2anbnan1bn1an1bn1anbn，即2.當(dāng)p，q異號時(shí)，<0，與相矛盾；當(dāng)p，q同號時(shí)，由于pq，所以>2，與相矛盾故數(shù)列cn不是等比數(shù)列