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1、培優(yōu)點十八 圓錐曲線綜合
一、弦長問題
例1:過雙曲線的右焦點作傾斜角為的弦,求:
(1)弦的中點到點的距離;
(2)弦的長.
【答案】(1);(2).
【解析】(1)雙曲線的右焦點,直線的方程為.
聯(lián)立,得.
設(shè),,則,.
設(shè)弦的中點的坐標為,
則,.
所以.
(2)由(1),知
.
二、定值問題
例2:設(shè)拋物線的焦點為,拋物線上的點到軸的距離等于.
(1)求拋物線的方程;
(2)已知經(jīng)過拋物線的焦點的直線與拋物線交于,兩點,證明:為定值.
【答案】(1);(2)證明見解析.
【解析】(1)由題意可得,拋物線上點到焦點的距離等于點到
2、直線的距離,
由拋物線的定義得,即.
故拋物線的方程為.
(2)易知焦點的坐標為,若直線的斜率不存在,即直線方程為,
此時令,,∴;
若直線的斜率存在,設(shè)直線方程為,
設(shè),,由拋物線的定義知,.
由,得,
根據(jù)韋達定理得,
所以,
綜上可得,為定值.
三、最值問題
例3:已知兩定點,,為坐標原點,動點滿足:直線,的斜率之積為.
(1)求動點的軌跡的方程;
(2)設(shè)過點的直線與(1)中曲線交于,兩點,求的面積的最大值.
【答案】(1);(2).
【解析】(1)設(shè)點的坐標為,則,,
所以,化簡得,
所以所求軌跡方程是.
(2)設(shè)直線的方程為,聯(lián)立曲
3、線的方程得,
設(shè),,由韋達定理得,,
所以的面積,
設(shè),則,
上式當即時取等號,所以的面積的最大值是.
四、存在性問題
例4:已知中心在坐標原點的橢圓經(jīng)過點,且點為其右焦點.
(1)求橢圓的方程;
(2)是否存在直線與橢圓交于,兩點,滿足,且原點到直線的距離為?
若存在,求出直線的方程;若不存在,請說明理由.
【答案】(1);(2)見解析.
【解析】(1)設(shè)橢圓的方程為,則左焦點為,
在直角三角形中,可求,∴.
又,∴.
故橢圓的方程為.
(2)假設(shè)存在符合題意的直線,其方程為,
由原點到的距離為,得.
聯(lián)立方程,得.
則.
設(shè),,則,,
則
4、,
解得.
當斜率不存在時,的方程為,易求得.
綜上,不存在符合條件的直線.
對點增分集訓
一、選擇題
1.已知經(jīng)過橢圓的右焦點且與軸正方向成的直線與橢圓交于,兩點,則()
A. B. C. D.或
【答案】C
【解析】由已知條件可知直線為,
由,得,∴,,
∴.
2.已知雙曲線與直線交于,兩點,過原點與線段中點所在直線的
斜率為,則的值是()
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】設(shè),,中點坐標,代入雙曲線方程中,
得到,,
兩式相減得到,
結(jié)合,,,且,
代入上面式子,得到.
3.等邊三角形的三個頂點都在拋物線上,為坐標原點,
5、則這個三角形的邊長
為()
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵拋物線關(guān)于軸對稱,∴若正三角形的一個頂點位于坐標原點,
另外兩個頂點在拋物線上,則,點關(guān)于軸對稱,
∴直線傾斜角為,斜率為,∴直線方程為.
由,得,
∴,,∴,
∴這個正三角形的邊長為.
4.若過橢圓上一點作圓的兩條切線,切點分別為,,則的
最大值為()
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】如圖,因為橢圓與圓關(guān)于軸對稱,并且圓的圓心坐標為
橢圓右焦點,
所以過橢圓上一點作圓的兩條切線,
要使的最大,則取最小,所以為右端點.
因為,,,所以.
5.已知雙曲線,是雙曲
6、線上不同于頂點的動點,經(jīng)過分別作曲線的兩條漸近線的平行線,與兩條漸近線圍成平行四邊形,則四邊形的面積是()
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】設(shè),則,
設(shè)和漸近線平行,和漸近線平行,
由,,
且和漸近線的距離為,
由和,求得,
可得,
∴四邊形的面積是.
6.是拋物線上一定點,,是上異于的兩點,直線,的
斜率,滿足(為常數(shù),),且直線的斜率存在,則直線過定點()
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】設(shè),,則直線的方程為,
整理得,
又,
化簡得,則.
則直線的方程為,
直線過定點.
二、填空題
7.已知拋物線:的焦點也是橢圓
7、:的一個焦點,點,分別為曲線,上,則的最小值為.
【答案】
【解析】由點在橢圓上,且,
所以,則焦點的坐標為.
又由拋物線方程得,所以,
則,由拋物線定義知等于點到其準線的距離.
過點作準線的垂線,
則垂直與拋物線的交點即為所求點,
所以,其最小值為.
8.若橢圓與雙曲線在第一象限內(nèi)有交點,且橢圓與雙曲線有公共焦點,左、右焦點分別是,,點是橢圓上任意一點,則面積的最大值是___________.
【答案】
【解析】依題意有,設(shè),,
由余弦定理得,解得.
故對與橢圓來說,,,,,
橢圓方程為.
當為短軸上頂點時,面積取得最大值為.
三、解答
8、題
9.已知橢圓過點,離心率是.
(1)求橢圓的標準方程;
(2)若直線與橢圓交于、兩點,線段的中點為,求直線與坐標軸圍成的三角形的面積.
【答案】(1);(2).
【解析】(1)依題意可知,,,解得,,
∴橢圓的方程為.
(2)設(shè)、,代入橢圓方程得,,
兩式相減得,
由中點坐標公式得,.∴,
可得直線的方程為.
令,可得;令,可得,
則直線與坐標軸圍成的三角形面積為.
10.已知拋物線的焦點為,為坐標原點,、是拋物線上異于的兩點.
(1)求拋物線的方程;
(2)若直線、的斜率之積為,求證:直線過定點.
【答案】(1);(2)證明見解析.
【解析】(1
9、)因為拋物線的焦點坐標為,
所以,所以,所以拋物線的方程為.
(2)證明:①當直線的斜率不存在時,設(shè),,
因為直線,的斜率之積為,所以,化簡得,
所以,,此時直線的方程為;
②當直線的斜率存在時,設(shè)其方程為,,,
聯(lián)立得,化簡得,根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得,
因為直線,的斜率之積為,所以,即,
即,解得(舍去)或,
所以,即,所以,即.
綜上所述,直線過軸上一定點.
11.如圖,已知,是橢圓與雙曲線的公共頂點,且,兩曲線離心率之積為.為上除頂點外一動點,交橢圓于點,點與點關(guān)于軸對稱.
(1)求橢圓的方程;
(2)證明:存在實數(shù),使.
【答案】(1);(2)證明
10、見解析.
【解析】(1)由題可知,兩曲線的離心率之積為,
則,解得,
所以橢圓的方程為.
(2)設(shè),直線的斜率為,
∵,,雙曲線方程為,
∴,所以,
聯(lián)立,得,
所以,即,
所以,則,
所以,,三點共線,即存在實數(shù),使.
12.已知橢圓的左、右焦點分別為,,離心率為,是橢圓上的動點,當時,的面積為.
(1)求橢圓的標準方程;
(2)若過點的直線交橢圓于,兩點,求面積的最大值.
【答案】(1);(2).
【解析】(1)設(shè)橢圓的半焦距為,因為橢圓的離心率為,所以.①
在中,,
由余弦定理,得,
得,
得,即,
所以,
所以的面積,
所以,即,②
又,③
由①②③,解得,,,所以橢圓的標準方程為.
(2)設(shè)直線的方程為,,,
聯(lián)立得,得,
由,得,根據(jù)韋達定理有,.
由弦長公式,得.
又點到直線的距離為,
所以.令,則,
所以
,當且僅當,即,時取等號,
所以面積的最大值為.
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