2020屆高考數(shù)學 專題十八 圓錐曲線綜合精準培優(yōu)專練 文

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1、培優(yōu)點十八 圓錐曲線綜合 一、弦長問題 例1:過雙曲線的右焦點作傾斜角為的弦,求: (1)弦的中點到點的距離; (2)弦的長. 【答案】(1);(2). 【解析】(1)雙曲線的右焦點,直線的方程為. 聯(lián)立,得. 設(shè),,則,. 設(shè)弦的中點的坐標為, 則,. 所以. (2)由(1),知 . 二、定值問題 例2:設(shè)拋物線的焦點為,拋物線上的點到軸的距離等于. (1)求拋物線的方程; (2)已知經(jīng)過拋物線的焦點的直線與拋物線交于,兩點,證明:為定值. 【答案】(1);(2)證明見解析. 【解析】(1)由題意可得,拋物線上點到焦點的距離等于點到

2、直線的距離, 由拋物線的定義得,即. 故拋物線的方程為. (2)易知焦點的坐標為,若直線的斜率不存在,即直線方程為, 此時令,,∴; 若直線的斜率存在,設(shè)直線方程為, 設(shè),,由拋物線的定義知,. 由,得, 根據(jù)韋達定理得, 所以, 綜上可得,為定值. 三、最值問題 例3:已知兩定點,,為坐標原點,動點滿足:直線,的斜率之積為. (1)求動點的軌跡的方程; (2)設(shè)過點的直線與(1)中曲線交于,兩點,求的面積的最大值. 【答案】(1);(2). 【解析】(1)設(shè)點的坐標為,則,, 所以,化簡得, 所以所求軌跡方程是. (2)設(shè)直線的方程為,聯(lián)立曲

3、線的方程得, 設(shè),,由韋達定理得,, 所以的面積, 設(shè),則, 上式當即時取等號,所以的面積的最大值是. 四、存在性問題 例4:已知中心在坐標原點的橢圓經(jīng)過點,且點為其右焦點. (1)求橢圓的方程; (2)是否存在直線與橢圓交于,兩點,滿足,且原點到直線的距離為? 若存在,求出直線的方程;若不存在,請說明理由. 【答案】(1);(2)見解析. 【解析】(1)設(shè)橢圓的方程為,則左焦點為, 在直角三角形中,可求,∴. 又,∴. 故橢圓的方程為. (2)假設(shè)存在符合題意的直線,其方程為, 由原點到的距離為,得. 聯(lián)立方程,得. 則. 設(shè),,則,, 則

4、, 解得. 當斜率不存在時,的方程為,易求得. 綜上,不存在符合條件的直線. 對點增分集訓 一、選擇題 1.已知經(jīng)過橢圓的右焦點且與軸正方向成的直線與橢圓交于,兩點,則() A. B. C. D.或 【答案】C 【解析】由已知條件可知直線為, 由,得,∴,, ∴. 2.已知雙曲線與直線交于,兩點,過原點與線段中點所在直線的 斜率為,則的值是() A. B. C. D. 【答案】B 【解析】設(shè),,中點坐標,代入雙曲線方程中, 得到,, 兩式相減得到, 結(jié)合,,,且, 代入上面式子,得到. 3.等邊三角形的三個頂點都在拋物線上,為坐標原點,

5、則這個三角形的邊長 為() A. B. C. D. 【答案】C 【解析】∵拋物線關(guān)于軸對稱,∴若正三角形的一個頂點位于坐標原點, 另外兩個頂點在拋物線上,則,點關(guān)于軸對稱, ∴直線傾斜角為,斜率為,∴直線方程為. 由,得, ∴,,∴, ∴這個正三角形的邊長為. 4.若過橢圓上一點作圓的兩條切線,切點分別為,,則的 最大值為() A. B. C. D. 【答案】B 【解析】如圖,因為橢圓與圓關(guān)于軸對稱,并且圓的圓心坐標為 橢圓右焦點, 所以過橢圓上一點作圓的兩條切線, 要使的最大,則取最小,所以為右端點. 因為,,,所以. 5.已知雙曲線,是雙曲

6、線上不同于頂點的動點,經(jīng)過分別作曲線的兩條漸近線的平行線,與兩條漸近線圍成平行四邊形,則四邊形的面積是() A. B. C. D. 【答案】B 【解析】設(shè),則, 設(shè)和漸近線平行,和漸近線平行, 由,, 且和漸近線的距離為, 由和,求得, 可得, ∴四邊形的面積是. 6.是拋物線上一定點,,是上異于的兩點,直線,的 斜率,滿足(為常數(shù),),且直線的斜率存在,則直線過定點() A. B. C. D. 【答案】C 【解析】設(shè),,則直線的方程為, 整理得, 又, 化簡得,則. 則直線的方程為, 直線過定點. 二、填空題 7.已知拋物線:的焦點也是橢圓

7、:的一個焦點,點,分別為曲線,上,則的最小值為. 【答案】 【解析】由點在橢圓上,且, 所以,則焦點的坐標為. 又由拋物線方程得,所以, 則,由拋物線定義知等于點到其準線的距離. 過點作準線的垂線, 則垂直與拋物線的交點即為所求點, 所以,其最小值為. 8.若橢圓與雙曲線在第一象限內(nèi)有交點,且橢圓與雙曲線有公共焦點,左、右焦點分別是,,點是橢圓上任意一點,則面積的最大值是___________. 【答案】 【解析】依題意有,設(shè),, 由余弦定理得,解得. 故對與橢圓來說,,,,, 橢圓方程為. 當為短軸上頂點時,面積取得最大值為. 三、解答

8、題 9.已知橢圓過點,離心率是. (1)求橢圓的標準方程; (2)若直線與橢圓交于、兩點,線段的中點為,求直線與坐標軸圍成的三角形的面積. 【答案】(1);(2). 【解析】(1)依題意可知,,,解得,, ∴橢圓的方程為. (2)設(shè)、,代入橢圓方程得,, 兩式相減得, 由中點坐標公式得,.∴, 可得直線的方程為. 令,可得;令,可得, 則直線與坐標軸圍成的三角形面積為. 10.已知拋物線的焦點為,為坐標原點,、是拋物線上異于的兩點. (1)求拋物線的方程; (2)若直線、的斜率之積為,求證:直線過定點. 【答案】(1);(2)證明見解析. 【解析】(1

9、)因為拋物線的焦點坐標為, 所以,所以,所以拋物線的方程為. (2)證明:①當直線的斜率不存在時,設(shè),, 因為直線,的斜率之積為,所以,化簡得, 所以,,此時直線的方程為; ②當直線的斜率存在時,設(shè)其方程為,,, 聯(lián)立得,化簡得,根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得, 因為直線,的斜率之積為,所以,即, 即,解得(舍去)或, 所以,即,所以,即. 綜上所述,直線過軸上一定點. 11.如圖,已知,是橢圓與雙曲線的公共頂點,且,兩曲線離心率之積為.為上除頂點外一動點,交橢圓于點,點與點關(guān)于軸對稱. (1)求橢圓的方程; (2)證明:存在實數(shù),使. 【答案】(1);(2)證明

10、見解析. 【解析】(1)由題可知,兩曲線的離心率之積為, 則,解得, 所以橢圓的方程為. (2)設(shè),直線的斜率為, ∵,,雙曲線方程為, ∴,所以, 聯(lián)立,得, 所以,即, 所以,則, 所以,,三點共線,即存在實數(shù),使. 12.已知橢圓的左、右焦點分別為,,離心率為,是橢圓上的動點,當時,的面積為. (1)求橢圓的標準方程; (2)若過點的直線交橢圓于,兩點,求面積的最大值. 【答案】(1);(2). 【解析】(1)設(shè)橢圓的半焦距為,因為橢圓的離心率為,所以.① 在中,, 由余弦定理,得, 得, 得,即, 所以, 所以的面積, 所以,即,② 又,③ 由①②③,解得,,,所以橢圓的標準方程為. (2)設(shè)直線的方程為,,, 聯(lián)立得,得, 由,得,根據(jù)韋達定理有,. 由弦長公式,得. 又點到直線的距離為, 所以.令,則, 所以 ,當且僅當,即,時取等號, 所以面積的最大值為. 18

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