2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一篇 微型專(zhuān)題 微專(zhuān)題21 坐標(biāo)系與參數(shù)方程練習(xí) 理

21坐標(biāo)系與參數(shù)方程1.已知?jiǎng)狱c(diǎn)P,Q都在曲線C:x=2cost,y=2sint(t為參數(shù))上,對(duì)應(yīng)參數(shù)分別為t=與t=2(0<<2),M為PQ的中點(diǎn).(1)求點(diǎn)M的軌跡的參數(shù)方程;(2)將點(diǎn)M到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離d表示為的函數(shù),并判斷點(diǎn)M的軌跡是否過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn).解析(1)由題意得P(2cos ,2sin ),Q(2cos 2,2sin 2),因此M(cos +cos 2,sin +sin 2),故點(diǎn)M的軌跡的參數(shù)方程為x=cos+cos2,y=sin+sin2(為參數(shù),0<<2).(2)點(diǎn)M到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離d=x2+y2=2+2cos(0<<2),當(dāng)=時(shí),d=0,故點(diǎn)M的軌跡過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn).2.已知圓O1,圓O2的極坐標(biāo)方程分別為=4cos ,=-sin .(1)把圓O1和圓O2的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程;(2)求經(jīng)過(guò)圓O1與圓O2的兩個(gè)交點(diǎn)的直線的直角坐標(biāo)方程,并將其化為極坐標(biāo)方程.解析(1)由=4cos 得2=4cos ,將cos=x,2=x2+y2代入上式,可得x2+y2=4x,所以圓O1的直角坐標(biāo)方程為x2+y2-4x=0.由=-sin 得2=-sin,將2=x2+y2,sin =y代入上式,可得x2+y2=-y,所以圓O2的直角坐標(biāo)方程為x2+y2+y=0.(2)由x2+y2-4x=0及x2+y2+y=0,兩式相減得4x+y=0,所以經(jīng)過(guò)圓O1與圓O2的兩個(gè)交點(diǎn)的直線的直角坐標(biāo)方程為4x+y=0.將4x+y=0化為極坐標(biāo)方程為4cos +sin=0,即tan =-4.3.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,已知直線l 的參數(shù)方程為x=255t,y=2+55t(t為參數(shù)),曲線C的極坐標(biāo)方程為cos2=8sin .(1)求曲線C的直角坐標(biāo)方程,并指出該曲線是什么曲線;(2)若直線l與曲線C的交點(diǎn)分別為M,N,求|MN|.解析(1)因?yàn)閏os2=8sin ,所以cos22=8sin ,即x2=8y,所以曲線C表示焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,2),對(duì)稱(chēng)軸為y軸的拋物線.(2)易知直線l過(guò)拋物線的焦點(diǎn)(0,2),且參數(shù)方程為x=255t,y=2+55t(t為參數(shù)),代入曲線C的直角坐標(biāo)方程,得t2-25t-20=0,設(shè)M,N對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1,t2,所以t1+t2=25,t1t2=-20.所以|MN|=|t1-t2|=(t1+t2)2-4t1t2=10.4.以平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,已知曲線C1的極坐標(biāo)方程為sin-4=2,曲線C2的極坐標(biāo)方程為=2cos-4.(1)寫(xiě)出曲線C1的直角坐標(biāo)方程和曲線C2的參數(shù)方程;(2)設(shè)M,N分別是曲線C1,C2上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),求|MN|的最小值.解析(1)依題意得,sin-4=22sin -22cos =2,所以曲線C1的直角坐標(biāo)方程為x-y+2=0.由曲線C2的極坐標(biāo)方程得2=2cos-4=2cos +2sin ,所以曲線C2的直角坐標(biāo)方程為x2+y2-2x-2y=0,即x-222+y-222=1,所以曲線C2的參數(shù)方程為x=22+cos,y=22+sin(為參數(shù)).(2)由(1)知,圓C2的圓心22,22到直線x-y+2=0的距離d=22-22+22=2.又半徑r=1,所以|MN|min=d-r=2-1.能力1能用曲線極坐標(biāo)方程解決問(wèn)題【例1】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,圓C的圓心為0,12,半徑為12,現(xiàn)以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.(1)求圓C的極坐標(biāo)方程;(2)設(shè)M,N是圓C上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),且滿足MON=23,求OM+ON的最小值.解析(1)由題意得圓C的直角坐標(biāo)方程為x2+y-122=14,即x2+y2-y=0,化為極坐標(biāo)方程為2-sin =0,整理可得=sin .(2)設(shè)M1,N2,+23, 則|OM|+ON=1+2=sin +sin+23=12sin +32cos =sin+3.由0,0+23,得03,所以3+323,故32sin+31,即OM+ON的最小值為32.由極坐標(biāo)方程求與曲線有關(guān)的交點(diǎn)、距離等幾何問(wèn)題時(shí),若能用極坐標(biāo)系求解,可直接用極坐標(biāo)求解;若不能直接用極坐標(biāo)解決,可先轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程,然后求解.已知曲線C:=-2sin .(1)求曲線C的直角坐標(biāo)方程;(2)若曲線C與直線x+y+a=0有公共點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解析(1)由=-2sin 可得 2=-2sin ,即x2+y2=-2y,曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2+(y+1)2=1.(2)由圓C與直線有公共點(diǎn),得圓心C到直線的距離d=0-1+a21,解得1-2a1+2.實(shí)數(shù)a的取值范圍為1-2,1+2.能力2會(huì)用參數(shù)方程解決問(wèn)題【例2】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C的參數(shù)方程為x=2cos,y=4sin(為參數(shù)),直線l的參數(shù)方程為x=1+tcos,y=2+tsin(t為參數(shù)).(1)求曲線C和直線l的普通方程; (2)若曲線C截直線l所得線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1,2),求l的斜率.解析(1)曲線C的普通方程為x24+y216=1.當(dāng)cos 0時(shí),l的普通方程為y=xtan+2-tan ;當(dāng)cos =0時(shí),l的普通方程為x=1.(2)將l的參數(shù)方程代入C的直角坐標(biāo)方程,整理得關(guān)于t的方程,即(1+3cos2)t2+4(2cos +sin )t-8=0.因?yàn)榍€C截直線l所得線段的中點(diǎn)坐標(biāo)(1,2)在C內(nèi),所以有兩個(gè)解,設(shè)為t1,t2,則t1+t2=0.又由得t1+t2=-4(2cos+sin)1+3cos2,故2cos +sin =0,于是直線l的斜率k=tan =-2.過(guò)點(diǎn)M0(x0,y0),傾斜角為的直線l的參數(shù)方程是x=x0+tcos,y=y0+tsin(t是參數(shù)).注意以下結(jié)論的應(yīng)用:(1)|M1M2|=|t1-t2|;(2)若線段M1M2的中點(diǎn)M所對(duì)應(yīng)的參數(shù)為t,則t=t1+t22,中點(diǎn)M到定點(diǎn)M0的距離|MM0|=|t|=t1+t22;(3)若M0為線段M1M2的中點(diǎn),則t1+t2=0.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,曲線M的參數(shù)方程為x=2+rcos,y=1+rsin(為參數(shù),r>0),曲線N的參數(shù)方程為x=255t,y=1+55t(t為參數(shù),且t0).(1)以曲線N上的點(diǎn)與原點(diǎn)O連線的斜率k為參數(shù),寫(xiě)出曲線N的參數(shù)方程;(2)若曲線M與N的兩個(gè)交點(diǎn)為A,B,直線OA與直線OB的斜率之積為43,求r的值.解析(1)將x=255t,y=1+55t消去參數(shù)t,得x-2y+2=0(x0),由題意可知k12.由x-2y+2=0,y=kxk12,得x=22k-1,y=2k2k-1k12.故曲線N的參數(shù)方程為x=22k-1,y=2k2k-1k為參數(shù),且k12.(2)由曲線M的參數(shù)方程得其普通方程為(x-2)2+(y-1)2=r2,將x=22k-1,y=2k2k-1代入上式,整理得(16-4r2)k2+(4r2-32)k+17-r2=0.因?yàn)橹本€OA與直線OB的斜率之積為43,所以17-r216-4r2=43,解得r2=1.又r>0,所以r=1.將r=1代入(16-4r2)k2+(4r2-32)k+17-r2=0,得12k2-28k+16=0,滿足>0,故r=1.能力3會(huì)解極坐標(biāo)與參數(shù)方程的綜合問(wèn)題【例3】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為x=a-22t,y=1+22t(t為參數(shù),aR),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C2的極坐標(biāo)方程為cos2+2cos -=0.(1)寫(xiě)出曲線C1的普通方程和曲線C2的直角坐標(biāo)方程;(2)已知點(diǎn)P(a,1),曲線C1和曲線C2交于A,B兩點(diǎn),且|PA|·|PB|=4,求實(shí)數(shù)a的值.解析(1)由C1的參數(shù)方程消去t得其普通方程為x+y-a-1=0.由C2的極坐標(biāo)方程得2cos2+2cos -2=0,所以C2的直角坐標(biāo)方程為y2=2x.(2)將曲線C1的參數(shù)方程代入曲線C2:y2=2x,得t2+42t+2(1-2a)=0,由>0得a>-32.設(shè)A,B對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1,t2,則t1t2=2(1-2a).由題意得|PA|·|PB|=|t1t2|=|2(1-2a)|=4,解得a=-12或a=32,滿足>0,所以實(shí)數(shù)a的值為-12或32.涉及參數(shù)方程和極坐標(biāo)方程的綜合題,求解的一般方法是分別化為普通方程和直角坐標(biāo)方程后求解.當(dāng)然,還要結(jié)合題目本身特點(diǎn),確定選擇何種方程方便.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為x=2+25cos,y=4+25sin(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線C2的極坐標(biāo)方程為=3(R).(1)求C1的極坐標(biāo)方程和C2的直角坐標(biāo)方程;(2)若直線C3的極坐標(biāo)方程為=6(R),設(shè)C2與C1的交點(diǎn)為O,M,C3與C1的交點(diǎn)為O,N,求OMN的面積.解析(1)將曲線C1的參數(shù)方程消去參數(shù),得其普通方程為(x-2)2+(y-4)2=20,即x2+y2-4x-8y=0.把x=cos,y=sin代入方程得2-4cos -8sin =0,所以C1的極坐標(biāo)方程為=4cos +8sin .由直線C2的極坐標(biāo)方程得其直角坐標(biāo)方程為y=3x.(2)設(shè)M(1,1),N(2,2),分別將1=3,2=6代入=4cos +8sin ,得1=2+43,2=4+23.則OMN的面積S=1212sin(1-2)=12×(2+43)×(4+23)×sin6=8+53.1.在極坐標(biāo)系中,極點(diǎn)為O,已知曲線C1:=2,曲線C2:sin-4=2.(1)試判斷曲線C1與曲線C2的位置關(guān)系;(2)若曲線C1與曲線C2交于A,B兩點(diǎn),求過(guò)點(diǎn)C(1,0)且與直線AB平行的直線l的極坐標(biāo)方程.解析(1)=2,x2+y2=4.由sin-4=2,可得sin-cos=2,即x-y+2=0.圓心(0,0)到直線x-y+2=0的距離d=22=2<2,曲線C1與曲線C2相交.(2)曲線C2的斜率為1,過(guò)點(diǎn)(1,0)且與曲線C2平行的直線l的直角坐標(biāo)方程為y=x-1,直線l的極坐標(biāo)方程為sin=cos-1,即cos+4=22.2.已知曲線C的參數(shù)方程為x=3cos,y=2sin(為參數(shù)),在同一平面直角坐標(biāo)系中,將曲線C經(jīng)過(guò)伸縮變換x'=13x,y'=12y后得到曲線C'.(1)求曲線C'的普通方程;(2)若點(diǎn)A在曲線C'上,點(diǎn)B(3,0),當(dāng)點(diǎn)A在曲線C'上運(yùn)動(dòng)時(shí),求AB中點(diǎn)P的軌跡方程.解析(1)將x=3cos,y=2sin代入x'=13x,y'=12y,得C'的參數(shù)方程為x'=cos,y'=sin,所以曲線C'的普通方程為x2+y2=1.(2)設(shè)P(x,y),A(x0,y0),因?yàn)辄c(diǎn)B(3,0),且AB的中點(diǎn)為P,所以x0=2x-3,y0=2y.又點(diǎn)A在曲線C'上,代入C'的普通方程x2+y2=1,得(2x-3)2+(2y)2=1,所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為x-322+y2=14.3.已知直線l的參數(shù)方程為x=1+12t,y=3+3t(t為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C的極坐標(biāo)方程為sin -3cos2=0.(1)求直線l的普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程;(2)寫(xiě)出直線l與曲線C交點(diǎn)的一個(gè)極坐標(biāo).解析(1)由x=1+12t,y=3+3t消去參數(shù)t,得y=23x-3,即直線l的普通方程為y=23x-3.sin -3cos2=0,sin -32cos2=0,得y-3x2=0,即曲線C的直角坐標(biāo)方程為y=3x2.(2)將x=1+12t,y=3+3t代入y=3x2,得3+3t-31+12t2=0,解得t=0,交點(diǎn)坐標(biāo)為(1,3),交點(diǎn)的一個(gè)極坐標(biāo)為2,3.4.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線l的參數(shù)方程為x=-1+22t,y=1+22t(t為參數(shù)),圓C的直角坐標(biāo)方程為(x-2)2+(y-1)2=5.以原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.(1)求直線l及圓C的極坐標(biāo)方程;(2)若直線l與圓C交于A,B兩點(diǎn),求cosAOB的值.解析(1)由直線l的參數(shù)方程x=-1+22t,y=1+22t得其普通方程為y=x+2,直線l的極坐標(biāo)方程為sin=cos+2,即sin-cos=2.又圓C的方程為(x-2)2+(y-1)2=5,將x=cos,y=sin代入并化簡(jiǎn)得=4cos +2sin ,圓C的極坐標(biāo)方程為=4cos +2sin .(2)將sin-cos=2與=4cos +2sin 聯(lián)立,得(4cos +2sin )(sin -cos )=2,整理得sin cos=3cos2,=2或tan =3.不妨記點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的極角為2,點(diǎn)B對(duì)應(yīng)的極角為,且tan =3.cosAOB=cos2-=sin =31010.5.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,圓C1的參數(shù)方程為x=2+2cos,y=2sin(為參數(shù)).以平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線C2的極坐標(biāo)方程為sin=3.(1)求圓C1圓心的極坐標(biāo);(2)設(shè)C1與C2的交點(diǎn)為A,B,求AOB的面積.解析(1)由曲線C1的參數(shù)方程x=2+2cos,y=2sin(為參數(shù)),消去參數(shù),得C1的直角坐標(biāo)方程為x2-4x+y2=0,C1的圓心坐標(biāo)(2,0)在x軸的正半軸上,圓心的極坐標(biāo)為(2,0).(2)由C1的直角坐標(biāo)方程得其極坐標(biāo)方程為=4cos (>0).由方程組=4cos,sin=3得4sin cos=3,解得sin 2=32.=k+6(kZ)或=k+3(kZ),=23或=2.C1和C2交點(diǎn)的極坐標(biāo)為A23,k+6,B2,k+3(kZ).SAOB=12|AO|BO|sinAOB=12×23×2×sin6=3.6.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為x=3+2cos,y=1+2sin(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.在極坐標(biāo)系中有射線l:=4(0)和曲線C2:(sin +2cos )=2cos2+m.(1)判斷射線l和曲線C1公共點(diǎn)的個(gè)數(shù);(2)若射線l與曲線C2 交于A,B兩點(diǎn),且滿足|OA|=|AB|,求實(shí)數(shù)m的值.解析(1)由題意得射線l的直角坐標(biāo)方程為y=x(x0),曲線C1是以(3,1)為圓心,2為半徑的圓,其直角坐標(biāo)方程為(x-3)2+(y-1)2=2.聯(lián)立y=x(x0),(x-3)2+(y-1)2=2,解得x=2,y=2,故射線l與曲線C1有一個(gè)公共點(diǎn)(2,2).(2)將=4代入曲線C2的方程,得sin4+2cos4=2cos24+m,即2-32+2m=0.由題知=(32)2-8m>0,m>0,解得0<m<94.設(shè)方程的兩個(gè)根分別為1,2(0<1<2),由韋達(dá)定理知 1+2=32,12=2m.由|OA|=|AB|,得|OB|=2|OA|,即2=21,1=2,2=22,m=2.9