高考數(shù)學(xué) 考前3個月知識方法專題訓(xùn)練 第一部分 知識方法篇 專題7 解析幾何 第28練 橢圓問題中最值得關(guān)注的基本題型 文

第28練橢圓問題中最值得關(guān)注的基本題型題型分析高考展望橢圓問題在高考中占有比較重要的地位，并且占的分值也較多分析歷年的高考試題，在選擇題、填空題、解答題中都有涉及到橢圓的題，所以我們對橢圓知識必須系統(tǒng)的掌握對各種題型，基本的解題方法也要有一定的了解體驗(yàn)高考1(2015廣東)已知橢圓1(m>0)的左焦點(diǎn)為F1(4,0)，則m等于()A2 B3 C4 D9答案B解析由題意知25m216，解得m29，又m>0，所以m3.2(2015福建)已知橢圓E：1(ab0)的右焦點(diǎn)為F，短軸的一個端點(diǎn)為M，直線l：3x4y0交橢圓E于A，B兩點(diǎn)若|AF|BF|4，點(diǎn)M到直線l的距離不小于，則橢圓E的離心率的取值范圍是()A.B.C.D.答案A解析設(shè)左焦點(diǎn)為F0，連接F0A，F(xiàn)0B，則四邊形AFBF0為平行四邊形|AF|BF|4，|AF|AF0|4，a2.設(shè)M(0，b)，則，1b2.離心率e，故選A.3(2016課標(biāo)全國丙)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)是橢圓C：1(ab0)的左焦點(diǎn)，A，B分別為C的左，右頂點(diǎn)P為橢圓C上一點(diǎn)，且PFx軸過點(diǎn)A的直線l與線段PF交于點(diǎn)M，與y軸交于點(diǎn)E.若直線BM經(jīng)過OE的中點(diǎn)，則橢圓C的離心率為()A. B. C. D.答案A解析設(shè)M(c，m)，則E，OE的中點(diǎn)為D，則D，又B，D，M三點(diǎn)共線，所以，a3c，e.4(2015浙江)已知橢圓y21上兩個不同的點(diǎn)A，B關(guān)于直線ymx對稱(1)求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(2)求AOB面積的最大值(O為坐標(biāo)原點(diǎn))解(1)由題意知m0，可設(shè)直線AB的方程為yxb.由消去y，得x2xb210.因?yàn)橹本€yxb與橢圓y21有兩個不同的交點(diǎn)，所以2b220，將線段AB中點(diǎn)M代入直線方程ymx，解得b，由得m或m.(2)令t，則|AB|，且O到直線AB的距離為d.設(shè)AOB的面積為S(t)，所以S(t)|AB|d.當(dāng)且僅當(dāng)t2時，等號成立故AOB面積的最大值為.5(2016北京)已知橢圓C：1(ab0)的離心率為，A(a,0)，B(0，b)，O(0,0)，OAB的面積為1.(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)P是橢圓C上一點(diǎn)，直線PA與y軸交于點(diǎn)M，直線PB與x軸交于點(diǎn)N.求證：|AN|BM|為定值(1)解由已知，ab1.又a2b2c2，解得a2，b1，c.橢圓C的方程為y21.(2)證明由(1)知，A(2,0)，B(0,1)設(shè)橢圓上一點(diǎn)P(x0，y0)，則y1.當(dāng)x00時，直線PA方程為y(x2)，令x0得yM.從而|BM|1yM|.直線PB方程為yx1，令y0得xN.|AN|2xN|.|AN|BM|4.當(dāng)x00時，y01，|BM|2，|AN|2，|AN|BM|4.故|AN|BM|為定值高考必會題型題型一利用橢圓的幾何性質(zhì)解題例1如圖，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓1的離心率e，F(xiàn)，A分別是橢圓的一個焦點(diǎn)和頂點(diǎn)，P是橢圓上任意一點(diǎn)，求的最大值和最小值解設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，y0)由題意知a2，e，c1，b2a2c23.所求橢圓方程為1.2x02，y0.又F(1,0)，A(2,0)，(1x0，y0)，(2x0，y0)，xx02yxx01(x02)2.當(dāng)x02時，取得最小值0，當(dāng)x02時，取得最大值4.點(diǎn)評熟練掌握橢圓的幾何性質(zhì)是解決此類問題的根本，利用離心率和橢圓的范圍可以求解范圍問題、最值問題，利用a、b、c之間的關(guān)系和橢圓的對稱性可構(gòu)造方程變式訓(xùn)練1如圖，F(xiàn)1、F2分別是橢圓C：1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，A是橢圓C的頂點(diǎn)，B是直線AF2與橢圓C的另一個交點(diǎn)，F(xiàn)1AF260.(1)求橢圓C的離心率；(2)若AF1B的面積為40，求橢圓C的方程解(1)由題意可知，AF1F2為等邊三角形，a2c，所以e.(2)方法一a24c2，b23c2，直線AB的方程可為y(xc)，將其代入橢圓方程3x24y212c2，得B(c，c)，所以|AB|c0|c，由SAF1B|AF1|AB|sin F1ABaaa240，解得a10，b5，所以橢圓C的方程為1.方法二設(shè)|AB|t，因?yàn)閨AF2|a，所以|BF2|ta，由橢圓定義|BF1|BF2|2a可知，|BF1|3at，再由余弦定理(3at)2a2t22atcos 60可得，ta，由SAF1B|AF1|AB|sin F1ABaaa240知，a10，b5，所以橢圓C的方程為1.題型二直線與橢圓相交問題例2(2015課標(biāo)全國)已知橢圓C：1(ab0)的離心率為，點(diǎn)(2，)在C上(1)求橢圓C的方程；(2)直線l不過原點(diǎn)O且不平行于坐標(biāo)軸，l與C有兩個交點(diǎn)A，B，線段AB的中點(diǎn)為M，證明：直線OM的斜率與直線l的斜率的乘積為定值(1)解由題意得，1，解得a28，b24.所以橢圓C的方程為1.(2)證明設(shè)直線l：ykxb(k0，b0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)將ykxb代入1，得(2k21)x24kbx2b280.故xM，yMkxMb.于是直線OM的斜率kOM，即kOMk.所以直線OM的斜率與直線l的斜率的乘積為定值點(diǎn)評解決直線與橢圓相交問題的一般思路：將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，轉(zhuǎn)化為一元二次方程，由判別式范圍或根與系數(shù)的關(guān)系解決求范圍或最值問題，也可考慮求“交點(diǎn)”，由“交點(diǎn)”在橢圓內(nèi)(外)，得出不等式，解不等式變式訓(xùn)練2橢圓C：1(a>b>0)的離心率為，且過其右焦點(diǎn)F與長軸垂直的直線被橢圓C截得的弦長為2.(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)點(diǎn)P是橢圓C的一個動點(diǎn)，直線l：yx與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，求PAB面積的最大值解(1)橢圓C：1(a>b>0)的離心率為，e，2ca，即4c23a2，又過橢圓右焦點(diǎn)F與長軸垂直的直線被橢圓C截得的弦長為2，1，1，即b24，又a2b2c2，a2b2c24a2，即a216，橢圓C的方程為1.(2)聯(lián)立直線l：yx與橢圓C的方程，得消去y，整理可得7x212x520，即(7x26)(x2)0，解得x2或x，不妨設(shè)A(2，)，B(，)，則|AB|，設(shè)過P點(diǎn)且與直線l平行的直線L的方程為yxC，L與l的距離就是P點(diǎn)到AB的距離，即PAB的邊AB上的高，只要L與橢圓相切，就有L與邊AB的最大距離，即得最大面積將yxC代入1，消元整理可得：7x28Cx16C2640，令判別式(8C)247(16C264)256C228640，解得C .L與AB的最大距離為，PAB面積的最大值為(2)題型三利用“點(diǎn)差法，設(shè)而不求思想”解題例3已知橢圓1(a>b>0)的一個頂點(diǎn)為B(0,4)，離心率e，直線l交橢圓于M，N兩點(diǎn)(1)若直線l的方程為yx4，求弦|MN|的長；(2)如果BMN的重心恰好為橢圓的右焦點(diǎn)F，求直線l方程的一般式解(1)由已知得b4，且，即，解得a220，橢圓方程為1.則4x25y280與yx4聯(lián)立，消去y得9x240x0，x10，x2，所求弦長|MN|x2x1|.(2)如圖，橢圓右焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(2,0)，設(shè)線段MN的中點(diǎn)為Q(x0，y0)，由三角形重心的性質(zhì)知2，又B(0,4)，(2，4)2(x02，y0)，故得x03，y02，即得Q的坐標(biāo)為(3，2)設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，則x1x26，y1y24，且1，1，以上兩式相減得0，kMN，故直線MN的方程為y2(x3)，即6x5y280.點(diǎn)評當(dāng)涉及平行弦的中點(diǎn)軌跡，過定點(diǎn)的弦的中點(diǎn)軌跡，過定點(diǎn)且被定點(diǎn)平分的弦所在直線方程時，用“點(diǎn)差法”來求解變式訓(xùn)練3已知橢圓1(a>b>0)，焦點(diǎn)在直線x2y20上，且離心率為.(1)求橢圓方程；(2)過P(3,1)作直線l與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，P為線段AB的中點(diǎn)，求直線l的方程解(1)橢圓1(a>b>0)，焦點(diǎn)在直線x2y20上，令y0，得焦點(diǎn)(2,0)，c2，離心率e，解得a4，b216412，橢圓方程為1.(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，過P(3,1)作直線l與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，P為線段AB的中點(diǎn)，由題意，x1x26，y1y22，0，kl，l的方程為y1(x3)，即9x4y310.高考題型精練1(2016課標(biāo)全國乙)直線l經(jīng)過橢圓的一個頂點(diǎn)和一個焦點(diǎn)，若橢圓中心到l的距離為其短軸長的，則該橢圓的離心率為()A.B.C.D.答案B解析如圖，由題意得，BFa，OFc，OBb，OD2bb.在RtOFB中，|OF|OB|BF|OD|，即cbab，代入解得a24c2，故橢圓離心率e，故選B.2已知橢圓1，F(xiàn)1、F2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)A(1,1)為橢圓內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓上一點(diǎn)，則|PA|PF1|的最大值是()A6 B62C6D6答案D解析|PA|PF1|PA|2a|PF2|2a|AF2|6，當(dāng)P，A，F(xiàn)2共線時取最大值，故選D.3已知橢圓1的右焦點(diǎn)為F，P是橢圓上一點(diǎn)，點(diǎn)A(0,2)，當(dāng)APF的周長最大時，直線AP的方程為()Ayx2Byx2Cyx2Dyx2答案D解析橢圓1中a3，b，c2，由題意，設(shè)F是左焦點(diǎn)，則APF周長|AF|AP|PF|AF|AP|2a|PF|46|PA|PF|10|AF|(A，P，F(xiàn)三點(diǎn)共線，且P在AF的延長線上時，取等號)，直線AP的方程為1，即yx2，故選D.4如果橢圓1的弦被點(diǎn)(4,2)平分，則這條弦所在的直線方程是()Ax2y0Bx2y40C2x3y140Dx2y80答案D解析設(shè)這條弦的兩端點(diǎn)為A(x1，y1)，B(x2，y2)，斜率為k，則兩式相減再變形得k0，又弦中點(diǎn)坐標(biāo)為(4,2)，故k，故這條弦所在的直線方程為y2(x4)，整理得x2y80，故選D.5設(shè)F1、F2分別是橢圓C：1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓C上，線段PF1的中點(diǎn)在y軸上，若PF1F230，則橢圓的離心率為()A.B.C.D.答案A解析線段PF1的中點(diǎn)在y軸上，設(shè)P的橫坐標(biāo)為x，F(xiàn)1(c,0)，cx0，xc，P與F2的橫坐標(biāo)相等，PF2x軸，PF1F230，|PF2|PF1|，|PF2|PF1|2a，|PF2|a，tan PF1F2，e.6過點(diǎn)M(0,1)的直線l交橢圓C：1于A，B兩點(diǎn)，F(xiàn)1為橢圓的左焦點(diǎn)，當(dāng)ABF1周長最大時，直線l的方程為_答案xy10解析設(shè)右焦點(diǎn)為F2(1,0)，則|AF1|4|AF2|，|BF1|4|BF2|，所以|AF1|BF1|AB|8|AB|(|AF2|BF2|)，顯然|AF2|BF2|AB|，當(dāng)且僅當(dāng)A，B，F(xiàn)2共線時等號成立，所以當(dāng)直線l過點(diǎn)F2時，ABF1的周長取最大值8，此時直線方程為yx1，即xy10.7(2016江蘇)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，F(xiàn)是橢圓1(ab0)的右焦點(diǎn)，直線y與橢圓交于B，C兩點(diǎn)，且BFC90，則該橢圓的離心率是_答案解析聯(lián)立方程組解得B、C兩點(diǎn)坐標(biāo)為B，C，又F(c,0)，則，又由BFC90，可得0，代入坐標(biāo)可得：c2a20，又因?yàn)閎2a2c2.代入式可化簡為，則橢圓離心率為e.8(2016淮北一中高三最后一卷)P為橢圓1上的任意一點(diǎn)，AB為圓C：(x1)2y21的任一條直徑，則的取值范圍是_答案3,15解析圓心C(1,0)為橢圓的右焦點(diǎn)，()()()()22|21，顯然|ac，ac2,4，所以|213,159設(shè)橢圓的中心為原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，上頂點(diǎn)為A(0,2)，離心率為.(1)求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)B1(2,0)，B2(2,0)，過B1作直線l交橢圓于P，Q兩點(diǎn)，使PB2QB2，求直線l的方程解(1)設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(a>b>0)，1，即，又b24，a220，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(2)由題意知直線l的傾斜角不為0，故可設(shè)直線l的方程為：xmy2.代入橢圓方程得(m25)y24my160，設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則y1y2，y1y2，又(x12，y1)，(x22，y2)，所以(x12)(x22)y1y2(my14)(my24)y1y2(m21)y1y24m(y1y2)1616，由PB2QB2得0，即16m2640，解得m2，直線l的方程為x2y2，即x2y20.10(2016課標(biāo)全國乙)設(shè)圓x2y22x150的圓心為A，直線l過點(diǎn)B(1,0)且與x軸不重合，l交圓A于C，D兩點(diǎn)，過點(diǎn)B作AC的平行線交AD于點(diǎn)E.(1)證明|EA|EB|為定值，并寫出點(diǎn)E的軌跡方程；(2)設(shè)點(diǎn)E的軌跡為曲線C1，直線l交C1于M，N兩點(diǎn)，過點(diǎn)B且與l垂直的直線與圓A交于P，Q兩點(diǎn)，求四邊形MPNQ面積的取值范圍解(1)因?yàn)閨AD|AC|，EBAC，故EBDACDADC，所以|EB|ED|，故|EA|EB|EA|ED|AD|.又圓A的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x1)2y216，從而|AD|4，所以|EA|EB|4.由題設(shè)得A(1,0)，B(1,0)，|AB|2，由橢圓定義可得點(diǎn)E的軌跡方程為：1(y0)(2)當(dāng)l與x軸不垂直時，設(shè)l的方程為yk(x1)(k0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)由得(4k23)x28k2x4k2120.則x1x2，x1x2，所以|MN|x1x2|.過點(diǎn)B(1,0)且與l垂直的直線m：y(x1)，點(diǎn)A到m的距離為，所以|PQ|24.故四邊形MPNQ的面積S|MN|PQ|12.可得當(dāng)l與x軸不垂直時，四邊形MPNQ面積的取值范圍為(12,8)當(dāng)l與x軸垂直時，其方程為x1，|MN|3，|PQ|8，四邊形MPNQ的面積為12.綜上，四邊形MPNQ面積的取值范圍為12,8)11(2015安徽)設(shè)橢圓E的方程為1(a>b>0)，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(a,0)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0，b)，點(diǎn)M在線段AB上，滿足|BM|2|MA|，直線OM的斜率為.(1)求橢圓E的離心率e；(2)設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0，b)，N為線段AC的中點(diǎn)，證明：MNAB.(1)解由題設(shè)條件知，點(diǎn)M的坐標(biāo)為，又kOM，從而.進(jìn)而ab，c2b，故e.(2)證明由N是AC的中點(diǎn)知，點(diǎn)N的坐標(biāo)為，可得，又(a，b)，從而有a2b2(5b2a2)由(1)的計算結(jié)果可知a25b2，所以0，故MNAB.