高考數(shù)學(xué) 考前3個(gè)月知識(shí)方法專題訓(xùn)練 第一部分 知識(shí)方法篇 專題4 三角函數(shù)與平面向量 第20練 關(guān)于平面向量數(shù)量積運(yùn)算的三類經(jīng)典題型 文

第20練關(guān)于平面向量數(shù)量積運(yùn)算的三類經(jīng)典題型題型分析高考展望平面向量數(shù)量積的運(yùn)算是平面向量的一種重要運(yùn)算，應(yīng)用十分廣泛，對(duì)向量本身，通過數(shù)量積運(yùn)算可以解決位置關(guān)系的判定、夾角、模等問題，另外還可以解決平面幾何、立體幾何中許多有關(guān)問題，因此是高考必考內(nèi)容，題型有選擇題、填空題，也在解答題中出現(xiàn)，常與其他知識(shí)結(jié)合，進(jìn)行綜合考查體驗(yàn)高考1(2015山東)已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為a，ABC60 ，則等于()Aa2Ba2C.a2D.a2答案D解析如圖所示，由題意，得BCa，CDa，BCD120.BD2BC2CD22BCCDcos 120a2a22aa3a2，BDa.|cos 30a2a2.2(2015重慶)若非零向量a，b滿足|a|b|，且(ab)(3a2b)，則a與b的夾角為()A. B. C. D答案A解析由(ab)(3a2b)得(ab)(3a2b)0，即3a2ab2b20.又|a|b|，設(shè)a，b，即3|a|2|a|b|cos 2|b|20，|b|2|b|2cos 2|b|20，cos .又0，.3(2015陜西)對(duì)任意向量a，b，下列關(guān)系式中不恒成立的是()A|ab|a|b| B|ab|a|b|C(ab)2|ab|2D(ab)(ab)a2b2答案B解析對(duì)于A，由|ab|a|b|cosa，b|a|b|恒成立；對(duì)于B，當(dāng)a，b均為非零向量且方向相反時(shí)不成立；對(duì)于C、D容易判斷恒成立故選B.4(2016課標(biāo)全國(guó)乙)設(shè)向量a(m,1)，b(1,2)，且|ab|2|a|2|b|2，則m_.答案2解析由|ab|2|a|2|b|2，得ab，所以m1120，得m2.5(2016上海)在平面直角坐標(biāo)系中，已知A(1,0)，B(0，1)，P是曲線y上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍是_答案0,1解析由題意知y表示以原點(diǎn)為圓心，半徑為1的上半圓設(shè)P(cos ，sin )，0，(1,1)，(cos ，sin 1)所以cos sin 1sin()10,1的范圍為0,1高考必會(huì)題型題型一平面向量數(shù)量積的基本運(yùn)算例1(1)(2015四川)設(shè)四邊形ABCD為平行四邊形，|6，|4，若點(diǎn)M，N滿足3，2，則等于()A20 B. 15 C9 D6(2)(2015福建)已知，|，|t，若點(diǎn)P是ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，且，則的最大值等于()A13 B15 C19 D21答案(1)C(2)A解析(1)，(43)(43)(16292)(1662942)9，故選C.(2)建立如圖所示坐標(biāo)系，則B，C(0，t)，(0，t)，t(0，t)(1,4)，P(1,4)，(1，t4)1717213，故選A.點(diǎn)評(píng)(1)平面向量數(shù)量積的運(yùn)算有兩種形式：一是依據(jù)長(zhǎng)度和夾角，二是利用坐標(biāo)運(yùn)算，具體應(yīng)用哪種形式由已知條件的特征來選擇注意兩向量a，b的數(shù)量積ab與代數(shù)中a，b的乘積寫法不同，不應(yīng)該漏掉其中的“”(2)向量的數(shù)量積運(yùn)算需要注意的問題：ab0時(shí)得不到a0或b0，根據(jù)平面向量數(shù)量積的性質(zhì)有|a|2a2，但|ab|a|b|.變式訓(xùn)練1在ABC中，ADAB，2，|1，則等于()A2 B. C. D.答案A解析在ABC中，2，所以()(2)，又因?yàn)?，所?12)2(12)2(12)22，因?yàn)锳DAB，所以，所以0，所以(12)0212，故選A.題型二利用平面向量數(shù)量積求兩向量夾角例2(1)設(shè)a，b為非零向量，|b|2|a|，兩組向量x1，x2，x3，x4和y1，y2，y3，y4均由2個(gè)a和2個(gè)b排列而成若x1y1x2y2x3y3x4y4的所有可能取值中的最小值為4|a|2，則a與b的夾角為()A.B.C.D0(2)已知向量a，b滿足|a|2|b|0，且關(guān)于x的函數(shù)f(x)2x33|a|x26abx5在R上單調(diào)遞減，則向量a，b的夾角的取值范圍是()A.B.C.D.答案(1)B(2)D解析(1)設(shè)a與b的夾角為，由于xi，yi(i1,2,3,4)均由2個(gè)a和2個(gè)b排列而成，記S(xiyi)，則S有以下三種情況：S2a22b2；S4ab；S|a|22ab|b|2.|b|2|a|，中S10|a|2，中S8|a|2cos ，中S5|a|24|a|2cos .易知最小，即8|a|2cos 4|a|2，cos ，又0，故選B.(2)設(shè)向量a，b的夾角為，因?yàn)閒(x)2x33|a|x26abx5，所以f(x)6x26|a|x6ab，又函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞減，所以f(x)0在R上恒成立，所以36|a|24(6)(6ab)0，解得ab|a|2，因?yàn)閍b|a|b|cos ，且|a|2|b|0，所以|a|b|cos |a|2cos |a|2，解得cos ，因?yàn)?，所以向量a，b的夾角的取值范圍是，故選D.點(diǎn)評(píng)求向量的夾角時(shí)要注意：(1)向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律(2)數(shù)量積大于0說明不共線的兩向量的夾角為銳角，數(shù)量積等于0說明兩向量的夾角為直角，數(shù)量積小于0且兩向量不能共線時(shí)，兩向量的夾角為鈍角變式訓(xùn)練2若非零向量a，b滿足|a|b|，(2ab)b0，則a與b的夾角為()A30 B60 C120 D150答案C解析設(shè)a與b的夾角為，由題意得|a|b|，(2ab)b0，可得2abb22|a|b|cos b22|a|a|cos |a|20，解得cos ，因?yàn)?180，所以120，故選C.題型三利用數(shù)量積求向量的模例3(1)已知向量a，b的夾角為45，且|a|1，|2ab|，則|b|_.(2)已知直角梯形ABCD中，ADBC，ADC90，AD2，BC1，點(diǎn)P是腰DC上的動(dòng)點(diǎn)，則|3|的最小值為_答案(1)3(2)5解析(1)由|2ab|，則|2ab|210，及4a24abb210，又向量a，b的夾角為45，且|a|1，所以4141|b|cos |b|210，即|b|22|b|60，解得|b|3.(2)方法一以點(diǎn)D為原點(diǎn)，分別以DA、DC所在直線為x、y軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)DCa，DPx.D(0,0)，A(2,0)，C(0，a)，B(1，a)，P(0，x)，(2，x)，(1，ax)，3(5,3a4x)，|3|225(3a4x)225，|3|的最小值為5.方法二設(shè)x(0x1)，(1x)，x，(1x)，3(34x)，|3|222(34x)(34x)225(34x)2225，|3|的最小值為5.點(diǎn)評(píng)(1)把幾何圖形放在適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系中，給有關(guān)向量賦以具體的坐標(biāo)求向量的模，如向量a(x，y)，求向量a的模只需利用公式|a|即可求解(2)向量不放在坐標(biāo)系中研究，求解此類問題的方法是利用向量的運(yùn)算法則及其幾何意義或應(yīng)用向量的數(shù)量積公式，關(guān)鍵是會(huì)把向量a的模進(jìn)行如下轉(zhuǎn)化：|a|.變式訓(xùn)練3已知向量a，b，c滿足|a|4，|b|2，a與b的夾角為，(ca)(ca)1，則|ca|的最大值為()A.B.1C.D.1答案D解析在平面直角坐標(biāo)系中，取B(2，0)，A(2，2)，則a，b，設(shè)c(x，y)，則(ca)(cb)(x2，y2)(x2，y)(x2)2y(y2)1，即(x2)2(y)21，所以點(diǎn)C(x，y)在以D(2，)為圓心，1為半徑的圓上，|ca|，最大值為|AD|11.故選D.高考題型精練1已知空間四邊形ABCD的每條邊和對(duì)角線的長(zhǎng)都為1，點(diǎn)E、F分別是AB、AD的中點(diǎn)，則等于()A.B.CD答案D解析由題四邊形ABCD的邊和對(duì)角線的長(zhǎng)都為1，點(diǎn)E、F分別是AB、AD的中點(diǎn)，則EF平行于BD，則11cos 120.2(2016課標(biāo)全國(guó)丙)已知向量，則ABC等于()A30 B45C60 D120答案A解析|1，|1，cosABC.又0ABC180，ABC30.3(2015湖南)已知點(diǎn)A，B，C在圓x2y21上運(yùn)動(dòng)，且ABBC.若點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,0)，則|的最大值為()A6 B7C8 D9答案B解析由A，B，C在圓x2y21上，且ABBC，AC為圓的直徑，故2(4,0)，設(shè)B(x，y)，則x2y21且x1,1，(x2，y)，所以(x6，y)故|，1x1，當(dāng)x1時(shí)有最大值7，故選B.4已知三點(diǎn)A(1，1)、B(3,1)、C(1,4)，則向量在向量方向上的投影為()A.BC.D答案A解析(2,3)，(4，2)，向量在向量方向上的投影為，故選A.5(2015安徽)ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，已知向量a，b滿足2a，2ab，則下列結(jié)論正確的是()A|b|1 BabCab1 D(4ab)答案D解析在ABC中，由2ab2ab，得|b|2.又|a|1，所以ab|a|b|cos 1201，所以(4ab)(4ab)b4ab|b|24(1)40，所以(4ab)，故選D.6已知i，j為互相垂直的單位向量，ai2j，bij，且a，b的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A(，)B(，)C(2，)(，)D(，2)(2，)答案D解析a，b的夾角為銳角，ab11(2)0且1(2)10，(，2)(2，)，故選D.7已知向量a，b，其中|a|，|b|2，且(ab)a，則向量a和b的夾角是_答案解析(ab)a，(ab)aa2ab32cosa，b0，cosa，b，又0a，b，a和b的夾角為.8(2016浙江)已知向量a，b，|a|1，|b|2.若對(duì)任意單位向量e，均有|ae|be|，則ab的最大值是_答案解析由已知可得，|ae|be|aebe|(ab)e|，由于上式對(duì)任意單位向量e都成立|ab|成立6(ab)2a2b22ab12222ab.即652ab，ab.9如圖，在ABC中，點(diǎn)O為BC的中點(diǎn)，若AB1，AC3，60，則|_.答案解析因?yàn)椋?0，所以|cos 6013，又()，所以2()2(222)，即2(139)，所以|.10(2016湖南衡陽八中第六次月考)已知點(diǎn)O是銳角ABC的外心，AB8，AC12，A.若xy，則6x9y_.答案5解析如圖，設(shè)點(diǎn)O在AB，AC上的射影分別是點(diǎn)D，E，它們分別為AB，AC的中點(diǎn)，連接OD，OE.由數(shù)量積的幾何意義，可得|32，|72，依題意有x2y64x48y32，即4x3y2，xy248x144y72，即2x6y3，將兩式相加可得6x9y5.11設(shè)a(1,1)，b(x,3)，c(5，y)，d(8,6)，且bd，(4ad)c.(1)求b和c；(2)求c在a方向上的投影；(3)求1和2，使c1a2b.解(1)bd，6x240，x4.4ad(4,10)，(4ad)c，5410y0，y2，b(4,3)，c(5，2)(2)cosa，c，c在a方向上的投影為|c|cosa，c.(3)c1a2b，解得1，2.12(2016黃岡模擬)在ABC中，AC10，過頂點(diǎn)C作AB的垂線，垂足為D，AD5，且滿足.(1)求|；(2)存在實(shí)數(shù)t1，使得向量xt，yt，令kxy，求k的最小值解(1)由，且A，B，D三點(diǎn)共線，可知|.又AD5，所以DB11.在RtADC中，CD2AC2AD275，在RtBDC中，BC2DB2CD2196，所以BC14.所以|14.(2)由(1)，知|16，|10，|14.由余弦定理，得cos A.由xt，yt，知kxy(t)(t)t|2(t21)t|2256t(t21)1610100t80t2356t80.由二次函數(shù)的圖象，可知該函數(shù)在1，)上單調(diào)遞增，所以當(dāng)t1時(shí)，k取得最小值516.