高考數(shù)學 考前3個月知識方法專題訓練 第一部分 知識方法篇 專題5 數(shù)列、推理與證明 第24練 歸納推理與類比推理 文

第24練歸納推理與類比推理題型分析高考展望歸納推理與類比推理是新增內(nèi)容，在高考中，常以選擇題、填空題的形式考查題目難度不大，只要掌握合情推理的基礎理論知識和基本方法即可解決體驗高考1(2015陜西)觀察下列等式：1，1，1，據(jù)此規(guī)律，第n個等式可為_答案1解析等式左邊的特征：第1個等式有2項，第2個有4項，第3個有6項，且正負交錯，故第n個等式左邊有2n項且正負交錯，應為1；等式右邊的特征：第1個有1項，第2個有2項，第3個有3項，故第n個有n項，且由前幾個的規(guī)律不難發(fā)現(xiàn)第n個等式右邊應為.2(2016課標全國甲)有三張卡片，分別寫有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一張卡片，甲看了乙的卡片后說：“我與乙的卡片上相同的數(shù)字不是2”，乙看了丙的卡片后說：“我與丙的卡片上相同的數(shù)字不是1”，丙說：“我的卡片上的數(shù)字之和不是5”，則甲的卡片上的數(shù)字是_答案1和3解析由丙說：“我的卡片上的數(shù)字之和不是5”可知，丙為“1和2”或“1和3”，又乙說“我與丙的卡片上相同的數(shù)字不是1”，所以乙只可能為“2和3”，所以由甲說“我與乙的卡片上相同的數(shù)字不是2”，所以甲只能為“1和3”3(2015福建)一個二元碼是由0和1組成的數(shù)字串x1x2xn(nN*)，其中xk(k1,2，n)稱為第k位碼元二元碼是通信中常用的碼，但在通信過程中有時會發(fā)生碼元錯誤(即碼元由0變?yōu)?，或者由1變?yōu)?)已知某種二元碼x1x2x7的碼元滿足如下校驗方程組：其中運算定義為000,011,101,110.現(xiàn)已知一個這種二元碼在通信過程中僅在第k位發(fā)生碼元錯誤后變成了1101101，那么利用上述校驗方程組可判定k等于_答案5解析()x4x5x6x711011；()x2x3x6x710010；()x1x3x5x710111.由()()知x5，x7有一個錯誤，()中沒有錯誤，x5錯誤，故k等于5.高考必會題型題型一利用歸納推理求解相關問題例1(1)觀察下列等式121，12223，1222326，1222324210，照此規(guī)律，第n個等式可為_(2)如圖是今年元宵花燈展中一款五角星燈連續(xù)旋轉(zhuǎn)閃爍所成的三個圖形，照此規(guī)律閃爍，下一個呈現(xiàn)出來的圖形是()答案(1)12223242(1)n1n2(1)n1(2)A解析(1)觀察等式左邊的式子，每次增加一項，故第n個等式左邊有n項，指數(shù)都是2，且正、負相間，所以等式左邊的通項為(1)n1n2.等式右邊的值的符號也是正、負相間，其絕對值分別為1,3,6,10,15,21，.設此數(shù)列為an，則a2a12，a3a23，a4a34，a5a45，anan1n，各式相加得ana1234n，即an123n.所以第n個等式為12223242(1)n1n2(1)n1.(2)第一個圖，左下角為黑，然后順時針旋轉(zhuǎn)，變?yōu)榈诙€圖；接下來，相鄰的黑塊順時針旋轉(zhuǎn)；所以之后所有圖就應該是相鄰的黑塊順時針旋轉(zhuǎn)，故選A.點評歸納推理的三個特點(1)歸納推理的前提是幾個已知的特殊對象，歸納所得到的結(jié)論是未知的一般現(xiàn)象，該結(jié)論超越了前提所包含的范圍；(2)由歸納推理得到的結(jié)論具有猜測的性質(zhì)，結(jié)論是否準確，還需要經(jīng)過邏輯推理和實踐檢驗，因此歸納推理不能作為數(shù)學證明的工具；(3)歸納推理是一種具有創(chuàng)造性的推理，通過歸納推理得到的猜想，可以作為進一步研究的起點，幫助發(fā)現(xiàn)問題和提出問題變式訓練1已知cos ，cos cos ，cos cos cos ，根據(jù)以上等式，可猜想出的一般結(jié)論是_答案cos cos cos ，nN*題型二利用類比推理求解相關問題例2半徑為r的圓的面積S(r)r2，周長C(r)2r，若將r看作(0，)上的變量，則(r2)2r，式用語言可以敘述為：圓的面積函數(shù)的導數(shù)等于圓的周長函數(shù)，對于半徑為R的球，若將R看作(0，)上的變量，請寫出類比的等式：_.上式用語言可以敘述為_答案(R3)4R2球的體積函數(shù)的導數(shù)等于球的表面積函數(shù)解析圓的面積類比為球的體積，圓的周長類比為球的表面積，那么語言可以敘述為：球的體積函數(shù)的導數(shù)等于球的表面積函數(shù)，故填：(R3)4R2；球的體積函數(shù)的導數(shù)等于球的表面積函數(shù)點評類比推理的一般步驟(1)定類，即找出兩類對象之間可以確切表述的相似特征；(2)推測，即用一類對象的已知特征去推測另一類對象的特征，從而得出一個猜想；(3)檢驗，即檢驗猜想的正確性，要將類比推理運用于簡單推理之中，在不斷的推理中提高自己的觀察、歸納、類比能力變式訓練2在平面幾何中有如下結(jié)論：正三角形ABC的內(nèi)切圓面積為S1，外接圓面積為S2，則.推廣到空間可以得到類似結(jié)論：已知正四面體PABC的內(nèi)切球體積為V1，外接球體積為V2，則等于()A.B.C.D.答案B解析從平面圖形類比到空間圖形，從二維類比三維，可得到如下結(jié)論：正四面體的內(nèi)切球與外接球半徑之比為，所以正四面體的內(nèi)切球的體積V1與外接球的體積V2之比等于()3，故選B.高考題型精練1設0<<，已知a12cos ，an1(nN*)，猜想an等于()A2cos B2cos C2cos D2sin 答案B解析a22cos ，同理a32cos ，a42cos ，猜想an2cos ，故選B.2面積為S的平面凸四邊形的第i條邊的邊長記為ai(i1,2,3,4)，此四邊形內(nèi)任一點P到第i條邊的距離記為hi(i1,2,3,4)，若k，則h12h23h34h4.類比以上性質(zhì)，體積為V的三棱錐的第i個面的面積記為Si(i1,2,3,4)，此三棱錐內(nèi)任一點Q到第i個面的距離記為Hi(i1,2,3,4)，若K，則H12H23H34H4等于()A.B.C.D.答案B解析根據(jù)三棱錐的體積公式VSH得：S1H1S2H2S3H3S4H4V，即S1H1S2H2S3H3S4H43V，H12H23H34H4.3若數(shù)列an是等差數(shù)列，則數(shù)列bn(bn)也為等差數(shù)列類比這一性質(zhì)可知，若正項數(shù)列cn是等比數(shù)列，且dn也是等比數(shù)列，則dn的表達式應為()AdnBdnCdnDdn答案D解析若an是等差數(shù)列，則a1a2anna1d，bna1dna1，即bn為等差數(shù)列；若cn是等比數(shù)列，則即dn為等比數(shù)列，故選D.4已知f(1,1)1，f(m，n)N*(m、nN*)，且對任意m，nN*都有：f(m，n1)f(m，n)2；f(m1,1)2f(m,1)；給出以下三個結(jié)論：(1)f(1,5)9；(2)f(5,1)16；(3)f(5,6)26.其中正確的個數(shù)為()A3 B2C1 D0答案A解析由題意f(1,5)f(1,4)2f(1,3)22f(1,2)222f(1,1)22229，f(5,1)2f(4,1)22f(3,1)23f(2,1)24f(1,1)16，f(5,6)f(5,5)2f(5,4)4f(5,1)10161026.所以三個都正確，故選A.5仔細觀察下面和的排列規(guī)律：若依此規(guī)律繼續(xù)下去，得到一系列的和，那么在前120個和中，的個數(shù)是_答案14解析進行分組|，則前n組兩種圈的總數(shù)是f(n)234(n1)，易知f(14)119，f(15)135，故n14.6已知下列四個等式2112，221334，23135456，2413575678，依此類推，猜想第n個等式為_答案2n1357(2n1)(n1)(n2)(n3)(nn)解析觀察給出的四個等式可以發(fā)現(xiàn)第n個等式的左邊是2n乘上從1開始的n個奇數(shù)，右邊是從(n1)開始的n個連續(xù)正整數(shù)的積，根據(jù)這一規(guī)律即可歸納出第n個等式為2n1357(2n1)(n1)(n2)(n3)(nn)7如圖1有面積關系：，則圖2有體積關系：_.答案解析這是一個類比推理的題，在由平面圖形到空間圖形的類比推理中，一般是由點的性質(zhì)類比推理到線的性質(zhì)，由線的性質(zhì)類比推理到面的性質(zhì)，由面積的性質(zhì)類比推理到體積性質(zhì)8對于實數(shù)x，x表示不超過x的最大整數(shù)，觀察下列等式：3，10，21.按照此規(guī)律，第n個等式的等號右邊的結(jié)果為_答案2n2n解析按照此規(guī)律第n個等式為n(n1)21n21n(2n1)2n2n，第n個等式的右邊為2n2n.9有以下三個等式：(1242)(9252)(1945)2；(6282)(22122)(62812)2；(202102)(102272)(20102107)2.請觀察這三個不等式，猜想出一個一般性的結(jié)論_答案(a2b2)(c2d2)(acbd)2解析根據(jù)題意，觀察各式得其規(guī)律，用式子將規(guī)律表示出來，再利用規(guī)律進行作差比較進行證明即可10在矩形ABCD中，對角線AC與相鄰兩邊所成的角為，則cos2cos21.類比到空間中一個正確命題是：在長方體ABCDA1B1C1D1中，對角線AC1與相鄰三個面所成的角為，則有_答案cos2cos2cos22解析由在長方形中，設一條對角線與其一頂點出發(fā)的兩條邊所成的角分別是，則有cos2cos21，我們根據(jù)長方體性質(zhì)可以類比推理出空間性質(zhì)，長方體ABCDA1B1C1D1中，對角線AC1與過A點的三個面ABCD，AA1B1B、AA1D1D所成的角分別為，cos ，cos ，cos ，cos2cos2cos22.故答案為cos2cos2cos22.11觀察分析下表中的數(shù)據(jù)：多面體面數(shù)(F)頂點數(shù)(V)棱數(shù)(E)三棱柱569五棱錐6610立方體6812猜想一般凸多面體中F，V，E所滿足的等式是_答案FVE2解析觀察F，V，E的變化得FVE2.12設f(x)，g(x)(其中a>0，且a1)(1)523，請你推測g(5)能否用f(2)，f(3)，g(2)，g(3)來表示；(2)如果(1)中獲得了一個結(jié)論，請你推測能否將其推廣解(1)由f(3)g(2)g(3)f(2)，又g(5)，因此g(5)f(3)g(2)g(3)f(2)(2)由g(5)f(3)g(2)g(3)f(2)，即g(23)f(3)g(2)g(3)f(2)，于是推測g(xy)f(x)g(y)g(x)f(y)證明：因為f(x)，g(x)，所以g(xy)，g(y)，f(y)，所以f(x)g(y)g(x)f(y)g(xy)