高考數(shù)學(xué) 考前3個月知識方法專題訓(xùn)練 第一部分 知識方法篇 專題11 數(shù)學(xué)方法 第44練 關(guān)于計算過程的再優(yōu)化 文

第44練關(guān)于計算過程的再優(yōu)化題型分析高考展望中學(xué)數(shù)學(xué)的運算包括數(shù)的計算，式的恒等變形，方程和不等式同解變形，初等函數(shù)的運算和求值，各種幾何量的測量與計算，求數(shù)列和函數(shù)、定積分、概率、統(tǒng)計的初步計算等高中數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)所要求的數(shù)學(xué)能力中運算求解能力更為基本，運算求解能力指的是要求學(xué)生會根據(jù)法則、公式進(jìn)行正確運算、變形和數(shù)據(jù)處理，能根據(jù)問題的條件，尋找與設(shè)計合理、簡捷的運算途徑；能根據(jù)要求對數(shù)據(jù)進(jìn)行估計和近似計算運算求解能力是思維能力和運算技能的結(jié)合運算包括對數(shù)字的計算、估值和近似計算，對式子的組合變形與分解變形，對幾何圖形各幾何量的計算求解等數(shù)學(xué)運算，都是依據(jù)相應(yīng)的概念、法則、性質(zhì)、公式等基礎(chǔ)知識進(jìn)行的，尤其是概念，它是思維的形式，只有概念明確、理解透徹，才能作出正確的判斷及合乎邏輯的推理計算法則是計算方法的程序化和規(guī)則化，對法則的理解是計算技能形成的前提高考命題對運算求解能力的考查主要是針對算法、推理及以代數(shù)運算為主的考查因此在高中數(shù)學(xué)中，對于運算求解能力的培養(yǎng)至關(guān)重要提高數(shù)學(xué)解題能力，首先是提高數(shù)學(xué)的運算求解能力，可以從以下幾個方面入手：1培養(yǎng)良好的審題習(xí)慣2培養(yǎng)認(rèn)真計算的習(xí)慣3培養(yǎng)一些常用結(jié)論的記憶的能力，記住一些常用的結(jié)論，比如數(shù)列求和的公式122232n2n(n1)(2n1)，三角函數(shù)中的輔助角公式asin xbcos xsin(x)等等4加強運算練習(xí)是提高基本運算技能的有效途徑，任何能力都是有計劃、有目的地訓(xùn)練出來的，提高基本運算技能也必須加強練習(xí)、嚴(yán)格訓(xùn)練5提高運算基本技能，必須要提高學(xué)生在運算中的推理能力，這就首先要清楚運算的定理及相關(guān)理論6增強自信是解題的關(guān)鍵，自信才能自強，在數(shù)學(xué)解題中，自信心是相當(dāng)重要的高考必會題型題型一化繁為簡，優(yōu)化計算過程例1過點(，0)引直線l與曲線y相交于A，B兩點，O為坐標(biāo)原點，當(dāng)AOB的面積取最大值時，直線l的斜率等于()A.BCD答案B解析由y得，x2y21(y0)，設(shè)直線方程為xmy，m<0(m0不合題意)，代入x2y21(y0)，整理得，(1m2)y22my10，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1y2，y1y2，則AOB的面積為|y1y2|y1y2|，因為|y1y2|，當(dāng)且僅當(dāng)，即m212，m時取等號此時直線方程為xy，即yx，所以直線的斜率為.點評本題考查直線與圓的位置關(guān)系以及三角形的面積公式，先設(shè)出直線方程xmy，表示出AOB的面積，然后探討面積最大時m的取值，得到直線的斜率題型二運用概念、性質(zhì)等優(yōu)化計算過程例2已知橢圓C：1(a>b>0)的左焦點為F，C與過原點的直線相交于A，B兩點，連接AF，BF.若|AB|10，|AF|6，cosABF，則C的離心率e_.答案解析如圖，設(shè)|BF|m，由題意知，m2100210mcosABF36，解得m8，所以ABF為直角三角形，所以|OF|5，即c5，由橢圓的對稱性知|AF|BF|8(F為右焦點)，所以a7，所以離心率e.點評熟練掌握有關(guān)的概念和性質(zhì)是快速準(zhǔn)確解決此類題目的關(guān)鍵題型三代數(shù)運算中加強“形”的應(yīng)用，優(yōu)化計算過程例3設(shè)b>0，數(shù)列an滿足a1b，an(n2)(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)證明：對于一切正整數(shù)n，an1.(1)解由a1b>0，知an>0，.令A(yù)n，A1，當(dāng)n2時，AnAn1A1.當(dāng)b2時，An；當(dāng)b2時，An.綜上，an(2)證明當(dāng)b2時，(2n1bn1)(2n1bn1)(bn12bn22n1)2n1bn12n2bn222nb2n2b2n12n1bn12nbn()>2nbn(222)，2n2nbnn2n1bn，an<1.當(dāng)b2時，an21.綜上所述，對于一切正整數(shù)n，an1.點評結(jié)合題目中an的表達(dá)式可知，需要構(gòu)造an新的形式，得到新的數(shù)列，根據(jù)新數(shù)列的形式求和；不等式的證明借用放縮完成高考題型精練1已知函數(shù)f(x)的定義域是一切實數(shù)，則m的取值范圍是()A0<m4 B0m1Cm4 D0m4答案D解析根據(jù)題意mx2mx10(xR)恒成立，當(dāng)m0時，滿足不等式；當(dāng)m0時，需滿足解得0<m4，綜上0m4.2已知函數(shù)f(x)x2，則f(3)的值為()A8 B9 C11 D10答案C解析f(x)(x)22，f(3)9211.3已知一元二次不等式f(x)<0的解集為x|x<1或x>，則f(10x)>0的解集為()Ax|x<1或x>lg 2Bx|1<x<lg 2Cx|x>lg 2Dx|x<lg 2答案D解析由題意知，一元二次不等式f(x)>0的解集為(1，)，即1<10x<x<lg 2.4已知函數(shù)f(x)則使方程xf(x)m有解的實數(shù)m的取值范圍是()A(1,2) B(，2C(，1)(2，) D(，12，)答案D解析當(dāng)x0時，xf(x)m，即x1m，解得m1；當(dāng)x>0時，xf(x)m，即xm，解得m2.即實數(shù)m的取值范圍是(，12，)故選D.5在ABC中，若，則()AACBABCBCD以上都不正確答案C解析，sin Bcos Ccos Bsin C0.sin(BC)0.又<BC<，BC0，即BC.6已知直線l與拋物線y24x交于A、B兩點，若P(2,2)為AB的中點，則直線AB的方程為_答案xy0解析點A(x1，y1)，B(x2，y2)在拋物線y24x上，yy4x24x1，即.P(2,2)為AB的中點，所以y2y14，直線AB的斜率k1，直線AB的方程為xy0.7拋物線yx2在x1處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成三角形區(qū)域為D(包含三角形內(nèi)部與邊界)若點P(x，y)是區(qū)域D內(nèi)的任意一點，則x2y的取值范圍是_答案2，解析易知切線方程為：y2x1，所以與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形區(qū)域三個點為A(0,0)，B(，0)，C(0，1)易知過C點時有最小值2，過B點時有最大值.8在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知A，bsin(C)csin(B)a.(1)求證：BC；(2)若a，求ABC的面積(1)證明由bsin(C)csin(B)a，應(yīng)用正弦定理，得sin Bsin(C)sin Csin(B)sin A，sin B(sin Ccos C)sin C(sin Bcos B)，整理得sin Bcos Ccos Bsin C1，即sin(BC)1.由于0<B，C<，從而BC.(2)解由(1)知，BC，又BCA，因此B，C.由a，A，得b2sin ，c2sin ，所以ABC的面積Sbcsin Asin sin cos sin .9如圖，四棱錐PABCD中，PD平面ABCD，底面ABCD為矩形，PDDC4，AD2，E為PC的中點(1)求三棱錐APDE的體積；(2)AC邊上是否存在一點M，使得PA平面EDM？若存在，求出AM的長；若不存在，請說明理由解(1)因為PD平面ABCD，所以PDAD.又因為ABCD是矩形，所以ADCD.因為PDCDD，所以AD平面PCD，所以AD是三棱錐APDE的高因為E為PC的中點，且PDDC4，所以SPDESPDC4.又AD2，所以VAPDEADSPDE24.(2)取AC中點M，連接EM，DM，所以AMAC.因為E為PC的中點，M是AC的中點，所以EMPA.又因為EM平面EDM，PA平面EDM，所以PA平面EDM.即在AC邊上存在一點M，使得PA平面EDM，AM的長為.10已知雙曲線1(a>0，b>0)，O為坐標(biāo)原點，離心率e2，點M(，)在雙曲線上(1)求雙曲線方程；(2)若直線l與雙曲線交于P、Q兩點，且0，求的值解(1)e2，c2a，b2c2a23a2，雙曲線方程為1，即3x2y23a2，點M(，)在雙曲線上，1533a2，a24，所求雙曲線方程為1.(2)設(shè)直線OP的方程為ykx(k0)，聯(lián)立1得|OP|2x2y2.0，直線OQ的方程為yx，同理可得|OQ|2，.11已知數(shù)列an中，an1(nN*，aR且a0)(1)若a7，求數(shù)列an中的最大項和最小項的值；(2)若對任意的nN*，都有ana6成立，求a的取值范圍解(1)an1(nN*，aR，且a0)，又a7，an1(nN*)結(jié)合函數(shù)f(x)1的單調(diào)性，可知1a1a2a3a4，a5a6a7an1(nN*)數(shù)列an中的最大項為a52，最小項為a40.(2)an11，已知對任意的nN*，都有ana6成立，結(jié)合函數(shù)f(x)1的單調(diào)性，可知56，即10a8.12若正數(shù)x，y滿足x2y44xy，且不等式(x2y)a22a2xy340恒成立，求實數(shù)a的取值范圍解正實數(shù)x，y滿足x2y44xy，即x2y4xy4.不等式(x2y)a22a2xy340恒成立，即(4xy4)a22a2xy340恒成立，變形得2xy(2a21)4a22a34恒成立，即xy恒成立又x>0，y>0，x2y2，4xyx2y442，即2()220，或(舍去)，可得xy2.要使xy恒成立，只需2恒成立，化簡得2a2a150，解得a3或a.故a的取值范圍是(，3，)