高考數(shù)學(xué) 考前3個(gè)月知識(shí)方法專題訓(xùn)練 第一部分 知識(shí)方法篇 專題4 三角函數(shù)與平面向量 第19練 平面向量中的線性問題 文

第19練平面向量中的線性問題題型分析高考展望平面向量是初等數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，兼具代數(shù)和幾何的“雙重特性”，是解決代數(shù)問題和幾何問題的有力工具，與很多知識(shí)聯(lián)系較為密切，是高考命題的熱點(diǎn)多與其他知識(shí)聯(lián)合命題，題型有選擇題、填空題、解答題，掌握好向量的基本概念、基本運(yùn)算性質(zhì)是解題的關(guān)鍵體驗(yàn)高考1(2015課標(biāo)全國(guó))設(shè)D為ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，3，則()A.B.C.D.答案A解析3，3()，即43，.2(2016課標(biāo)全國(guó)甲)已知向量a(1，m)，b(3，2)，且(ab)b，則m等于()A8 B6 C6 D8答案D解析由題知ab(4，m2)，因?yàn)?ab)b，所以(ab)b0，即43(2)(m2)0，解之得m8，故選D.3(2016山東)已知非零向量m，n滿足4|m|3|n|，cosm，n.若n(tmn)，則實(shí)數(shù)t的值為()A4 B4 C. D答案B解析n(tmn)，n(tmn)0，即tmn|n|20，t|m|n|cosm，n|n|20，又4|m|3|n|，t|n|2|n|20，解得t4，故選B.4(2015北京)在ABC中，點(diǎn)M，N滿足2，.若xy，則x_；y_.答案解析()，x，y.高考必會(huì)題型題型一平面向量的線性運(yùn)算及應(yīng)用例1(1)在ABC中，點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上，且3，點(diǎn)O在線段CD上(與點(diǎn)C，D不重合)，若x(1x)，則x的取值范圍是()A.B.C.D.(2)已知在ABC中，D是AB邊上的一點(diǎn)，若2，則_.答案(1)D(2)解析(1)設(shè)y，yy()y(1y).3，點(diǎn)O在線段CD上(與點(diǎn)C，D不重合)，y，x(1x)，xy，x.(2)因?yàn)?，所以()，所以.點(diǎn)評(píng)平面向量的線性運(yùn)算應(yīng)注意三點(diǎn)(1)三角形法則和平行四邊形法則的運(yùn)用條件(2)證明三點(diǎn)共線問題，可用向量共線來解決，但應(yīng)注意向量共線與三點(diǎn)共線的區(qū)別與聯(lián)系，當(dāng)兩向量共線且有公共點(diǎn)時(shí)，才能得出三點(diǎn)共線(3)(，為實(shí)數(shù))，若A，B，C三點(diǎn)共線，則1.變式訓(xùn)練1(1)如圖，兩塊全等的直角邊長(zhǎng)為1的等腰直角三角形拼在一起，若k，則k等于()A1B2C2 D.2(2)在ABC中，0，a，b.若ma，nb，CGPQH，2，則_.答案(1)A(2)6解析(1)根據(jù)向量的基本定理可得，()() ()，所以，k1，所以k1.故選A.(2)由0，知點(diǎn)G為ABC的重心，取AB的中點(diǎn)D(圖略)，則()，由P，H，Q三點(diǎn)共線，得1，則6.題型二平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算例2(1)已知點(diǎn)A(3,0)，B(0，)，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)C在第二象限，且AOC30，則實(shí)數(shù)的值為_答案1解析由題意知(3,0)，(0，)，則(3，)，由AOC30，知xOC150，tan 150，即，1.(2)平面內(nèi)給定三個(gè)向量a(3,2)，b(1,2)，c(4,1)，請(qǐng)解答下列問題：求滿足ambnc的實(shí)數(shù)m，n；若(akc)(2ba)，求實(shí)數(shù)k；若d滿足(dc)(ab)，且|dc|，求d.解由題意得(3,2)m(1,2)n(4,1)，得akc(34k,2k)，2ba(5,2)，(akc)(2ba)，2(34k)(5)(2k)0，k.設(shè)d(x，y)，則dc(x4，y1)，ab(2,4)，由題意得解得或d(3，1)或d(5,3)點(diǎn)評(píng)(1)兩平面向量共線的充要條件有兩種形式：若a(x1，y1)，b(x2，y2)，則ab的充要條件是x1y2x2y10；若ab(a0)，則ba.(2)向量共線的坐標(biāo)表示既可以判定兩向量平行，也可以由平行求參數(shù)當(dāng)兩向量的坐標(biāo)均非零時(shí)，也可以利用坐標(biāo)對(duì)應(yīng)成比例來求解(3)向量的坐標(biāo)運(yùn)算主要是利用加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算法則進(jìn)行若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，則應(yīng)先求出向量的坐標(biāo)，解題過程中要注意方程思想的運(yùn)用及正確使用運(yùn)算法則變式訓(xùn)練2(1)如圖所示，在ABC中，D為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)在線段CD上，設(shè)a，b，Axayb，則的最小值為()A82B8C6 D62(2)已知向量(3，4)，(6，3)，(5m，3m)，若點(diǎn)A、B、C能構(gòu)成三角形，則實(shí)數(shù)m滿足的條件是_答案(1)B(2)m解析(1)因?yàn)辄c(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，所以2，因?yàn)閤ayb，所以2xy.因?yàn)辄c(diǎn)F在線段CD上，所以2xy1，又x，y0，所以(2xy)4428，當(dāng)且僅當(dāng)y2x時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為8.(2)因?yàn)?3，4)，(6，3)，(5m，3m)，所以(3,1)，(m1，m)由于點(diǎn)A、B、C能構(gòu)成三角形，所以與不共線，而當(dāng)與共線時(shí)，有，解得m，故當(dāng)點(diǎn)A、B、C能構(gòu)成三角形時(shí)，實(shí)數(shù)m滿足的條件是m.高考題型精練1設(shè)a是非零向量，是非零實(shí)數(shù)，下列結(jié)論中正確的是()Aa與a的方向相反Ba與2a的方向相同C|a|a|D|a|a答案B解析對(duì)于A，當(dāng)0時(shí)，a與a的方向相同，當(dāng)0時(shí)，a與a的方向相反，B正確；對(duì)于C，|a|a|，由于|的大小不確定，故|a|與|a|的大小關(guān)系不確定；對(duì)于D，|a是向量，而|a|表示長(zhǎng)度，兩者不能比較大小2設(shè)點(diǎn)M是ABC所在平面上的一點(diǎn)，且0，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，則的值為()A.B.C1 D2答案A解析D是AC的中點(diǎn)，延長(zhǎng)MD至E，使得DEMD，四邊形MAEC為平行四邊形，()0，()3，故選A.3已知點(diǎn)A(3,0)，B(0,2)，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)C在AOB內(nèi)，|OC|2，且AOC，設(shè)(R)，則的值為()A1 B. C. D.答案D解析過點(diǎn)C作CEx軸于點(diǎn)E(圖略)由AOC，知|OE|CE|2，所以，即，所以(2,0)(3,0)，故.4在四邊形ABCD中，a2b，4ab，5a3b，則四邊形ABCD的形狀是()A矩形B平行四邊形C梯形D以上都不對(duì)答案C解析由已知，得8a2b2(4ab)2，故.又因?yàn)榕c不平行，所以四邊形ABCD是梯形5設(shè)向量a，b滿足|a|2，b(2,1)，則“a(4,2)”是“ab”成立的()A充要條件B必要不充分條件C充分不必要條件D既不充分也不必要條件答案C解析若a(4,2)，則|a|2，且ab都成立；ab，設(shè)ab(2，)，由|a|2，知42220，24，2，a(4,2)或a(4，2)因此“a(4,2)”是“ab”成立的充分不必要條件6在四邊形ABCD中，ABCD，AB3DC，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，則等于()A.B.C.D.答案A解析，.7給出下列命題：若|a|b|，則ab；若A，B，C，D是不共線的四點(diǎn)，則是四邊形ABCD為平行四邊形的充要條件；若ab，bc，則ac；ab的充要條件是|a|b|且ab；若ab，bc，則ac.其中正確命題的序號(hào)是()A B C D答案A解析方向不一定相同；方向可能相反；若b0，則不對(duì)8在矩形ABCD中，O是對(duì)角線的交點(diǎn)，若5e1，3e2，則_.(用e1，e2表示)答案(5e13e2)解析在矩形ABCD中，因?yàn)辄c(diǎn)O是對(duì)角線的交點(diǎn)，所以()()(5e13e2)9在梯形ABCD中，ABCD，AB2CD，M，N分別為CD，BC的中點(diǎn)，若，則_.答案解析依題意得，.又，于是有.又與不共線，因此有由此解得，2，所以.10.已知點(diǎn)G是ABC的外心，是三個(gè)單位向量，且20，如圖所示，ABC的頂點(diǎn)B，C分別在x軸的非負(fù)半軸和y軸的非負(fù)半軸上移動(dòng)，點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，則|的最大值為_答案2解析因?yàn)辄c(diǎn)G是ABC的外心，且20，所以點(diǎn)G是BC的中點(diǎn)，ABC是直角三角形，且BAC是直角又，是三個(gè)單位向量，所以BC2，又ABC的頂點(diǎn)B，C分別在x軸的非負(fù)半軸和y軸的非負(fù)半軸上移動(dòng)，所以點(diǎn)G的軌跡是以原點(diǎn)為圓心、1為半徑的圓弧又|1，所以當(dāng)OA經(jīng)過BC的中點(diǎn)G時(shí)，|取得最大值，且最大值為2|2.11設(shè)e1，e2是兩個(gè)不共線的向量，已知2e18e2，e13e2，2e1e2.(1)求證：A，B，D三點(diǎn)共線；(2)若3e1ke2，且B，D，F(xiàn)三點(diǎn)共線，求k的值(1)證明由已知得(2e1e2)(e13e2)e14e2，2e18e2，2.又與有公共點(diǎn)B，A，B，D三點(diǎn)共線(2)解由(1)可知e14e2，3e1ke2，且B，D，F(xiàn)三點(diǎn)共線， (R)，即3e1ke2e14e2，得解得k12.12已知點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A(0,2)，B(4,6)，t1t2.(1)求點(diǎn)M在第二或第三象限的充要條件；(2)求證：當(dāng)t11時(shí)，不論t2為何實(shí)數(shù)，A，B，M三點(diǎn)都共線；(3)若t1a2，求當(dāng)且ABM的面積為12時(shí)，a的值(1)解t1t2t1(0,2)t2(4,4)(4t2,2t14t2)當(dāng)點(diǎn)M在第二或第三象限時(shí)，有故所求的充要條件為t2<0且t12t20.(2)證明當(dāng)t11時(shí)，由(1)知(4t2,4t22)(4,4)，(4t2,4t2)t2(4,4)t2，又與有公共點(diǎn)A，不論t2為何實(shí)數(shù)，A，B，M三點(diǎn)共線(3)解當(dāng)t1a2時(shí)，(4t2,4t22a2)又(4,4)，4t24(4t22a2)40，t2a2，故(a2，a2)|4，點(diǎn)M到直線AB：xy20的距離d|a21|.SABM12，|AB|d4|a21|12，解得a2，故所求a的值為2.