高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第1部分 專題4 突破點(diǎn)11 空間中的平行與垂直關(guān)系 理

突破點(diǎn)11空間中的平行與垂直關(guān)系提煉1異面直線的性質(zhì)(1)異面直線不具有傳遞性注意不能把異面直線誤解為分別在兩個(gè)不同平面內(nèi)的兩條直線或平面內(nèi)的一條直線與平面外的一條直線(2)異面直線所成角的范圍是，所以空間中兩條直線垂直可能為異面垂直或相交垂直(3)求異面直線所成角的一般步驟為：找出(或作出)適合題設(shè)的角用平移法；求轉(zhuǎn)化為在三角形中求解；結(jié)論由所求得的角或其補(bǔ)角即為所求.提煉2平面與平面平行的常用性質(zhì)(1)夾在兩個(gè)平行平面之間的平行線段長度相等(2)經(jīng)過平面外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知平面平行(3)如果兩個(gè)平面分別平行于第三個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面互相平行(4)兩個(gè)平面平行，則其中一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線平行于另一個(gè)平面.提煉3證明線面位置關(guān)系的方法(1)證明線線平行的方法：三角形的中位線等平面幾何中的性質(zhì)；線面平行的性質(zhì)定理；面面平行的性質(zhì)定理；線面垂直的性質(zhì)定理(2)證明線面平行的方法：尋找線線平行，利用線面平行的判定定理；尋找面面平行，利用面面平行的性質(zhì)(3)證明線面垂直的方法：線面垂直的定義，需要說明直線與平面內(nèi)的所有直線都垂直；線面垂直的判定定理；面面垂直的性質(zhì)定理(4)證明面面垂直的方法：定義法，即證明兩個(gè)平面所成的二面角為直二面角；面面垂直的判定定理，即證明一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線回訪1異面直線的性質(zhì)1(2016全國乙卷)平面過正方體ABCDA1B1C1D1的頂點(diǎn)A，平面CB1D1，平面ABCDm，平面ABB1A1n，則m，n所成角的正弦值為()A.B.C. D.A設(shè)平面CB1D1平面ABCDm1.平面平面CB1D1，m1m. 又平面ABCD平面A1B1C1D1，且平面CB1D1平面A1B1C1D1B1D1，B1D1m1.B1D1m.平面ABB1A1平面DCC1D1，且平面CB1D1平面DCC1D1CD1，同理可證CD1n.因此直線m與n所成的角即直線B1D1與CD1所成的角在正方體ABCDA1B1C1D1中，CB1D1是正三角形，故直線B1D1與CD1所成角為60，其正弦值為.2(2015廣東高考)若直線l1和l2是異面直線，l1在平面內(nèi)，l2在平面內(nèi)，l是平面與平面的交線，則下列命題正確的是()Al與l1，l2都不相交Bl與l1，l2都相交Cl至多與l1，l2中的一條相交Dl至少與l1，l2中的一條相交D由直線l1和l2是異面直線可知l1與l2不平行，故l1，l2中至少有一條與l相交回訪2面面平行的性質(zhì)與線面位置關(guān)系的判斷3(2013全國卷)已知m，n為異面直線，m平面，n平面.直線l滿足lm，ln，l，l，則()A且lB且lC與相交，且交線垂直于lD與相交，且交線平行于lD根據(jù)所給的已知條件作圖，如圖所示由圖可知與相交，且交線平行于l，故選D.4(2016全國甲卷)，是兩個(gè)平面，m，n是兩條直線，有下列四個(gè)命題：如果mn，m，n，那么.如果m，n，那么mn.如果，m，那么m.如果mn，那么m與所成的角和n與所成的角相等其中正確的命題有_(填寫所有正確命題的編號(hào))對(duì)于，可以平行，也可以相交但不垂直，故錯(cuò)誤對(duì)于，由線面平行的性質(zhì)定理知存在直線l，nl，又m，所以ml，所以mn，故正確對(duì)于，因?yàn)椋?，沒有公共點(diǎn)又m，所以m，沒有公共點(diǎn)，由線面平行的定義可知m，故正確對(duì)于，因?yàn)閙n，所以m與所成的角和n與所成的角相等因?yàn)椋詎與所成的角和n與所成的角相等，所以m與所成的角和n與所成的角相等，故正確熱點(diǎn)題型1空間位置關(guān)系的判斷與證明題型分析：空間中平行與垂直關(guān)系的判斷與證明是高考常規(guī)的命題形式，此類題目綜合體現(xiàn)了相關(guān)判定定理和性質(zhì)定理的考查，同時(shí)也考查了學(xué)生的空間想象能力及轉(zhuǎn)化與化歸的思想.(1)(2016蘭州三模)，是兩平面，AB，CD是兩條線段，已知EF，AB于點(diǎn)B，CD于點(diǎn)D，若增加一個(gè)條件，就能得出BDEF.現(xiàn)有下列條件：AC；AC與，所成的角相等；AC與CD在內(nèi)的射影在同一條直線上；ACEF.其中能成為增加條件的序號(hào)是_ 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：85952040】若AC，且EF，則ACEF，又AB，且EF，則ABEF，AB和AC是平面ACDB上的兩條相交直線，則EF平面ACDB，則EFBD，可以成為增加的條件；AC與，所成的角相等，AC和EF不一定垂直，可以相交、平行，所以EF與平面ACDB不一定垂直，所以推不出EF與BD垂直，不能成為增加的條件；由CD，EF，得EFCD，所以EF與CD在內(nèi)的射影垂直，又AC與CD在內(nèi)的射影在同一直線上，所以EFAC，CD和AC是平面ACDB上的兩條相交直線，則EF平面ACDB，則EFBD，可以成為增加的條件；若ACEF，則AC，則BDAC，所以BDEF，不能成為增加的條件，故能成為增加條件的序號(hào)是.圖111(2)(2016全國乙卷)如圖111，已知正三棱錐PABC的側(cè)面是直角三角形，PA6，頂點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)的正投影為點(diǎn)D，D在平面PAB內(nèi)的正投影為點(diǎn)E，連接PE并延長交AB于點(diǎn)G.證明：G是AB的中點(diǎn)；在圖中作出點(diǎn)E在平面PAC內(nèi)的正投影F(說明作法及理由)，并求四面體PDEF的體積解題指導(dǎo)(2)解證明：因?yàn)镻在平面ABC內(nèi)的正投影為D，所以ABPD.因?yàn)镈在平面PAB內(nèi)的正投影為E，所以ABDE.1分因?yàn)镻DDED，所以AB平面PED，故ABPG.2分又由已知可得，PAPB，所以G是AB的中點(diǎn).3分在平面PAB內(nèi)，過點(diǎn)E作PB的平行線交PA于點(diǎn)F，F(xiàn)即為E在平面PAC內(nèi)的正投影.4分理由如下：由已知可得PBPA，PBPC，又EFPB，所以EFPA，EFPC.又PAPCP，因此EF平面PAC，即點(diǎn)F為E在平面PAC內(nèi)的正投影連接CG，因?yàn)镻在平面ABC內(nèi)的正投影為D，所以D是正三角形ABC的中心由知，G是AB的中點(diǎn)，所以D在CG上，故CDCG.8分由題設(shè)可得PC平面PAB，DE平面PAB，所以DEPC，因此PEPG，DEPC.10分由已知，正三棱錐的側(cè)面是直角三角形且PA6，可得DE2，PE2.在等腰直角三角形EFP中，可得EFPF2，11分所以四面體PDEF的體積V222.12分在解答空間中線線、線面和面面的位置關(guān)系問題時(shí)，我們可以從線、面的概念、定理出發(fā)，學(xué)會(huì)找特例、反例和構(gòu)建幾何模型判斷兩直線是異面直線是難點(diǎn)，我們可以依據(jù)定義來判定，也可以依據(jù)定理(過平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)的直線，和平面內(nèi)不經(jīng)過該點(diǎn)的直線是異面直線)判定而反證法是證明兩直線異面的有效方法提醒：判斷直線和平面的位置關(guān)系中往往易忽視直線在平面內(nèi)，而面面位置關(guān)系中易忽視兩個(gè)平面平行此類問題可以結(jié)合長方體中的線面關(guān)系找出假命題中的反例變式訓(xùn)練1(1)(2016石家莊二模)設(shè)m，n是兩條不同的直線，是三個(gè)不同的平面，給出下列四個(gè)命題：若m，n，則mn；若，m，則m；若n，mn，則m，m；若，則.其中真命題的個(gè)數(shù)為()A0B1C2D3B若m，n，則m，n可能平行或異面，錯(cuò)誤；若，則，又m，則m，正確；若n，mn，則m或m或m或m，錯(cuò)誤；若，則，可能平行或相交，錯(cuò)誤，則真命題個(gè)數(shù)為1，故選B.(2)(2016全國丙卷)如圖112，四棱錐PABCD中，PA底面ABCD，ADBC，ABADAC3，PABC4，M為線段AD上一點(diǎn)，AM2MD，N為PC的中點(diǎn)圖112證明MN平面PAB；求四面體NBCM的體積解證明：由已知得AMAD2.如圖，取BP的中點(diǎn)T，連接AT，TN，由N為PC中點(diǎn)知TNBC，TNBC2.又ADBC，故TN綊AM，2分所以四邊形AMNT為平行四邊形，于是MNAT.因?yàn)锳T平面PAB，MN平面PAB，所以MN平面PAB.4分因?yàn)镻A平面ABCD，N為PC的中點(diǎn)，所以N到平面ABCD的距離為PA.如圖，取BC的中點(diǎn)E，連接AE.由ABAC3得AEBC，AE.6分由AMBC得M到BC的距離為，故SBCM42.8分所以四面體NBCM的體積VNBCMSBCM.12分熱點(diǎn)題型2平面圖形的翻折問題題型分析：(1)解決翻折問題的關(guān)鍵是搞清翻折前后圖形中線面位置關(guān)系和度量關(guān)系的變化情況.(2)找出其中變化的量和沒有變化的量，一般地翻折后還在同一個(gè)平面上的性質(zhì)不發(fā)生變化，不在同一個(gè)平面上的性質(zhì)發(fā)生變化. (2016全國甲卷)如圖113，菱形ABCD的對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AD，CD上，AECF，EF交BD于點(diǎn)H.將DEF沿EF折到DEF的位置圖113(1)證明：ACHD；(2)若AB5，AC6，AE，OD2，求五棱錐DABCFE的體積解(1)證明：由已知得ACBD，ADCD.1分又由AECF得，故ACEF.2分由此得EFHD，故EFHD，所以ACHD.3分(2)由EFAC得.4分由AB5，AC6得DOBO4.所以O(shè)H1，DHDH3.5分于是OD2OH2(2)2129DH2，故ODOH.6分由(1)知ACHD，又ACBD，BDHDH，所以AC平面BHD，于是ACOD.8分又由ODOH，ACOHO，所以O(shè)D平面ABC.又由得EF.10分五邊形ABCFE的面積S683.11分所以五棱錐DABCFE的體積V2.12分翻折問題的注意事項(xiàng)1畫好兩圖：翻折之前的平面圖形與翻折之后形成的幾何體的直觀圖2把握關(guān)系：即比較翻折前后的圖形，準(zhǔn)確把握平面圖形翻折前后的線線關(guān)系，哪些平行與垂直的關(guān)系不變，哪些平行與垂直的關(guān)系發(fā)生變化，這是準(zhǔn)確把握幾何體結(jié)構(gòu)特征，進(jìn)行空間線面關(guān)系邏輯推理的基礎(chǔ)3準(zhǔn)確定量：即根據(jù)平面圖形翻折的要求，把平面圖形中的相關(guān)數(shù)量轉(zhuǎn)化為空間幾何體的數(shù)字特征，這是準(zhǔn)確進(jìn)行計(jì)算的基礎(chǔ)變式訓(xùn)練2(2016海淀二模)已知長方形ABCD中，AD，AB2，E為AB的中點(diǎn)將ADE沿DE折起到PDE，得到四棱錐PBCDE，如圖114所示圖114(1)若點(diǎn)M為PC的中點(diǎn)，求證：BM平面PDE；(2)當(dāng)平面PDE平面BCDE時(shí)，求四棱錐PBCDE的體積；(3)求證：DEPC.解(1)證明：取DP中點(diǎn)F，連接EF，F(xiàn)M.因?yàn)樵赑DC中，點(diǎn)F，M分別是所在邊的中點(diǎn)，所以FM綊DC.1分又EB綊DC，所以FM綊EB，2分所以四邊形FEBM是平行四邊形，所以BMEF.3分又EF平面PDE，BM平面PDE.所以BM平面PDE.4分(2)因?yàn)槠矫鍼DE平面BCDE，在PDE中，作PODE于點(diǎn)O，因?yàn)槠矫鍼DE平面BCDEDE，所以PO平面BCDE.6分在PDE中，計(jì)算可得PO，7分所以V四棱錐PBCDESh(12).8分(3)證明：在矩形ABCD中，連接AC交DE于點(diǎn)I，因?yàn)閠anDEA，tanCAB，所以DEACAB，所以DEAC，9分所以在四棱錐PBCDE中，PIDE，CIDE，10分又PICII，所以DE平面PIC.11分因?yàn)镻C平面PIC，所以DEPC.12分