2020年中考數(shù)學復習考點解密 探索性問題(含解析)

精品 120122012 年中考數(shù)學二輪復習考點解密年中考數(shù)學二輪復習考點解密探索性問題探索性問題同學們：同學們：一分耕耘一分收獲，一分耕耘一分收獲，只要我們能做到有永不言敗只要我們能做到有永不言敗+勤奮學習勤奮學習+有遠大的理想有遠大的理想+堅定的信堅定的信念，堅強的意志，明確的目標，相信你在學習和生活也一定會收獲成功（念，堅強的意志，明確的目標，相信你在學習和生活也一定會收獲成功（可刪除可刪除）、綜合問題精講：、綜合問題精講：探索性問題是指命題中缺少一定的條件或無明確的結論，需要經(jīng)過推斷，補充并加以證明的題型探索性問題一般有三種類型：（1）條件探索型問題；（2）結論探索型問題；（3）探索存在型問題條件探索型問題是指所給問題中結論明確，需要完備條件的題目；結論探索型問題是指題目中結論不確定，不唯一，或題目結論需要類比，引申推廣，或題目給出特例，要通過歸納總結出一般結論；探索存在型問題是指在一定的前提下，需探索發(fā)現(xiàn)某種數(shù)學關系是否存在的題目探索型問題具有較強的綜合性，因而解決此類問題用到了所學過的整個初中數(shù)學知識 經(jīng)常用到的知識是：一元一次方程、平面直角坐標系、一次函數(shù)與二次函數(shù)解析式的求法（圖象及其性質）、直角三角形的性質、四邊形（特殊）的性質、相似三角形、解直角三角形等其中用幾何圖形的某些特殊性質：勾股定理、相似三角形對應線段成比例等來構造方程是解決問題的主要手段和途徑因此復習中既要重視基礎知識的復習，又要加強變式訓練和數(shù)學思想方法的研究，切實提高分析問題、解決問題的能力、典型例題剖析、典型例題剖析【例 1】如圖261，已知拋物線的頂點為A(O，1)，矩形CDEF 的頂點 C、F 在拋物線上，D、E 在x軸上，CF 交 y 軸于點 B(0，2)，且其面積為 8(1)求此拋物線的解析式；(2)如圖 262，若 P 點為拋物線上不同于 A 的一點，連結 PB 并延長交拋物線于點 Q，過點 P、Q 分別作x軸的垂線，垂足分別為 S、R求證：PBPS；判斷SBR 的形狀；試探索在線段 SR 上是否存在點 M，使得以點 P、S、M 為頂點的三角形和以點Q、R、精品 1M 為頂點的三角形相似，若存在，請找出M 點的位置；若不存在，請說明理由解解：方法一：B 點坐標為(0，2)，OB2，矩形 CDEF 面積為 8，CF=4.C 點坐標為(一 2，2)F 點坐標為(2，2)設拋物線的解析式為y ax2bxc其過三點 A(0，1)，C(-22)，F(xiàn)(2，2)1 x1得2 4a2bc解得a,b 0,c 142 4a2bc2此拋物線的解析式為y x 114方法二方法二：B 點坐標為(0，2)，OB2，矩形 CDEF 面積為 8，CF=4.C 點坐標為(一 2，2)根據(jù)題意可設拋物線解析式為y ax2c其過點 A(0，1)和 C(-22)1 c解得a 1,c 142 4ac此拋物線解析式為y x21(2)(2)解：解：過點 B 作 BN BS，垂足為 NP 點在拋物線 y=4x+l 上可設P 點坐標為(a,1a21)PS4a21411241，OBNS2，BNaPN=PSNS=1a21在 RtPNB 中42222222PB2PN BN(4a 1)a (4a 1)1112PBPS4a 1根據(jù)同理可知 BQQR精品 11 2，又1 3，2 3，同理SBPB25 23 1805390SBR 90.SBR 為直角三角形方法一：設PS b,QR c，由知 PSPBbQR QB c，PQ bcSR2(bc)2(bc)2SR 2 bc假設存在點 M且 MSx，別 MR2 bc x若使PSMMRQ，則有b2 bc x即x22 bcx bc 0 xcx1 x2bcSR2bcM 為 SR 的中點.若使PSMQRM，則有bc2b bcx x2 bc xbcMR2 bc x2 bccQBRO1MSxbBPOS2b bcbcM 點即為原點 O綜上所述，當點 M 為 SR 的中點時PSMMRQ；當點 M 為原點時，PSMMRQ方法二：若以 P、S、M 為頂點的三角形與以Q、M、R 為頂點三角形相似，PSM MRQ 90，有PSMMRQ 和PSMQRM 兩種情況當PSMMRQ 時SPMRMQ，SMPRQM由直角三角形兩銳角互余性質知PMS+QMR90 PMQ 90 取 PQ 中點為 N連結 MN則 MN1PQ=1(QR PS)22精品 1MN 為直角梯形 SRQP 的中位線,點 M 為 SR 的中點當PSMQRM 時，RMQRQB又RMRO，即 M 點與 O 點重合 點 M 為原點 OMSPSBPMSOS綜上所述，當點 M 為 SR 的中點時，PSMMRQ；當點 M 為原點時，PSMQRM點撥點撥：通過對圖形的觀察可以看出 C、F 是一對關于 y 軸的對稱點，所以（1）的關鍵是求出其中一個點的坐標就可以應用三點式或 y=ax2+c 型即可而對于點 P 既然在拋物線1上，所以就可以得到它的坐標為（a，a2+1）這樣再過點B 作 BNPS得出的幾何圖形4求出 PB、PS 的大小最后一問的關鍵是要找出PSM 與MRQ 相似的條件【例 2】探究規(guī)律：如圖 264 所示，已知：直線 mn，A、B 為直線 n 上兩點，C、P 為直線 m 上兩點（1）請寫出圖 264 中，面積相等的各對三角形；（2）如果A、B、C 為三個定點，點P 在 m 上移動，那么，無論P 點移動到任何位置，總有_與ABC 的面積相等理由是：_.解決問題：如圖 265 所示，五邊形 ABCDE 是張大爺十年前承包的一塊土地的示意圖，經(jīng)過多年開墾荒地，現(xiàn)已變成如圖 266 所示的形狀，但承包土地與開墾荒地的分界小路（266 中折線 CDE）還保留著；張大爺想過 E 點修一條直路，直路修好后，要保持直路左邊的土地面積與承包時的一樣多，右邊的土地面積與開墾的荒地面積一樣多請你用有關的幾何知識，按張大爺?shù)囊笤O計出修路方案（不計分界小路與直路的占地面積）（1）寫出設計方案并畫出相應的圖形；（2）說明方案設計理由精品 1解解：探究規(guī)律：（l）ABC 和ABP，AOC 和 BOP、CPA和CPB（2）ABP；因為平行線間的距離相等，所以無論點P 在 m 上移動到任何位置，總有ABP 與ABC 同底等高，因此，它們的面積總相等解決問題：畫法如圖267 所示連接 EC，過點 D 作 DFEC，交 CM 于點 F，連接 EF，EF 即為所求直路位置設 EF 交 CD 于點 H，由上面得到的結論可知：SECF=SECD，SHCF=SEDH，所以S五邊形ABCDE=S五邊形ABCFE，S五邊形EDCMN=S四邊形EFMN點撥：點撥：本題是探索規(guī)律題，因此在做題時要從前邊問題中總結出規(guī)律，后邊的問題要用前邊的結論去一做，所以要連接EC，過 D 作 DFEC，再運用同底等高的三角形的面積相等【例 3】如圖 268 所示，已知拋物線的頂點為 M（2，4），且過點 A(1,5)，連結 AM交 x 軸于點 B求這條拋物線的解析式；求點 B 的坐標；設點 P（x，y）是拋物線在x 軸下方、頂點 M 左方一段上的動點，連結 PO，以P為頂點、PQ 為腰的等腰三角形的另一頂點Q 在 x 軸上，過 Q 作 x 軸的垂線交直線 AM 于點 R，連結 PR設面 PQR 的面積為 S求 S 與 x 之間的函數(shù)解析式；在上述動點 P（x，y）中，是否存在使SPQR=2 的點？若存在，求點P 的坐標；若不存在，說明理由解解：（1）因為拋物線的頂點為 M（2，4）所以可設拋物線的解析式為y=（x2）24因為這條拋物線過點 A（1，5）所以 5=a(12)24解得 a=1所以所求拋物線的解析式為y=（x2）24（2）設直線 AM 的解析式為 y=kx+b精品 1因為 A（1，5）,M（2，4）所以k b 5，2k b 4解得 k=3，b=2所以直線 AM 的解析式為 y=3x222當 y=0 時，得 x=，即 AM 與 x 軸的交點 B（,0）33（3）顯然，拋物線 y=x24x 過原點(0，0當動點 P（x，y）使POQ 是以 P 為頂點、PO 為腰且另一頂點 Q 在 x 軸上的等腰三角形時，由對稱性有點 Q（2x，0）因為動點 P 在 x 軸下方、頂點 M 左方，所以 0 x221因為當點 Q 與 B（，0）重合時，PQR 不存在，所以 x，331所以動點 P（x，y）應滿足條件為 0 x2 且 x，3因為 QR 與 x 軸垂直且與直線 AM 交于點 R，所以 R 點的坐標為（2x，6x+2）如圖 269 所示，作 P HOR 于 H，則 PH=|xQ xP|2x x|x,QR|6x 2|11而 S=PQR 的面積=QRP H=|6x 2|x22下面分兩種情形討論：1當點 Q 在點 B 左方時，即 0 x時，3當 R 在 x 軸上方，所以6x201所以 S=（6x2）x=3x2+x；21當點 Q 在點 B 右方時，即x2 時3點 R 在 x 軸下方，所以6x201所以 S=（6x2）x=3x2x；2即 S 與 x 之間的函數(shù)解析式可表示為精品 113x2 x(0 x)3S 3x2 x(1 x 2)3（4）當 S=2 時，應有3x2+x=2，即 3x2x+2=0，2顯然0，此方程無解或有 3x2x=2，即 3x2x2=0，解得 x1=1，x23當 x=l 時，y=x24x=3，即拋物線上的點 P（1，3）可使 SPQR=2；2當 x=0 時，不符合條件，應舍去3所以存在動點 P，使 SPQR=2，此時 P 點坐標為(1,3)點撥點撥：此題是一道綜合性較強的探究性問題，對于第（1）問我們可以采用頂點式求得此拋物線，而（2）中的點B 是直線 AM 與 x 軸的交點，所以只要利用待定系數(shù)法就可以求出直線 AM，從而得出與 x 軸的交點 B(3)問中注意的是 Q 點所處位置的不同得出的S 與 x之間的關系也隨之發(fā)生變化（4）可以先假設存在從而得出結論、綜合鞏固練習：、綜合鞏固練習：（100 分90 分鐘）1 觀察圖 2610 中）至中小黑點的擺放規(guī)律，并按照這樣的規(guī)律繼續(xù)擺放記第 n個圖中小黑點的個數(shù)為 y解答下列問題：填下表：當 n=8 時，y=_；根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)，把 n 作為橫坐標，把 y 作為縱坐標，在圖 2611 的平面直角坐標系中描出相應的各點（n，y），其中 1n5；請你猜一猜上述各點會在某一函數(shù)的圖象上嗎？如果在某一函數(shù)的圖象上，請寫出該函數(shù)的解析式精品 12（5 分）圖 2612 是某同學在沙灘上用石子擺成的小房子觀察圖形的變化規(guī)律，寫出第 n 個小房子用了_塊石子3(10 分)已知 RtABC 中，AC=5，BC=12，ACB=90，P 是 AB 邊上的動點（與點 A、B 不重合），Q 是 BC 邊上的動點（與點B、C 不重合）如圖 2613 所示，當 PQA C，且 Q 為 BC 的中點時，求線段 CP 的長；當 PQ 與 AC 不平行時，CPQ 可能為直角三角形嗎？若有可能，請求出線段CQ 的長的取值范圍，若不可能，請說明理由4如圖2614 所示，在直角坐標系中，以A（1，1），B（1，1），C（1，1），D（1，l）為頂點的正方形，設正方形在直線：y=x 及動直線l2：y=x+2a（la1）上方精品 1部分的面積為 S（例如當 a 取某個值時，S 為圖中陰影部分的面積），試分別求出當 a=0，a=1 時，相應的 S 的值5（10 分）如圖 2615 所示，DE 是ABC 的中位線，B90，AFB C在射線 A F上是否存在點 M，使MEC 與A DE相似？若存在，請先確定點M，再證明這兩個三角形相似；若不存在，請說明理由6如圖 2616 所示，在正方形 ABCD 中，AB=1，AC是以點 B 為圓心AB 長為半徑的圓的一段弧點 E 是邊 AD 上的任意一點（點 E 與點 A、D 不重合），過 E 作 AC 所在圓的切線，交邊 DC 于點 F 石為切點 當 DEF45 時，求證點 G 為線段 EF 的中點；精品 1 設 AE=x，F(xiàn)C=y，求 y 關于 x 的函數(shù)解析式；并寫出函數(shù)的定義域；5 圖 2617 所示，將DEF 沿直線 EF 翻折后得 D1EF，當 EF=時，討論AD1D 與6ED1F 是否相似，如果相似，請加以證明；如果不相似，只要求寫出結論，不要求寫出理由（圖 2618 為備用圖）7（10 分）取一張矩形的紙進行折疊，具體操作過程如下：第一步：先把矩形ABCD 對折，折痕為 MN，如圖2619（1）所示；第二步：再把 B 點疊在折痕線 MN 上，折痕為 AE，點 B 在 MN 上的對應點 B，得 RtABE，如圖 2619（2）所示；第三步：沿EB線折疊得折痕 EF，如圖 2619所示；利用展開圖 2619（4）所示探究：（l）AEF 是什么三角形？證明你的結論（2）對于任一矩形，按照上述方法是否都能折出這種三角形？請說明理由精品 18（10 分）某校研究性學習小組在研究有關二次函數(shù)及其圖象性質的問題時，發(fā)現(xiàn)了兩個重要結論一是發(fā)現(xiàn)拋物線y=ax2+2x+3(a0)，當實數(shù)a 變化時，它的頂點都在某條直線上；1二是發(fā)現(xiàn)當實數(shù) a 變化時，若把拋物線 y=ax2+2x+3(a0)的頂點的橫坐標減少，縱坐標a111增加，得到A 點的坐標；若把頂點的 橫坐標增加，縱坐標增加，得到B 點的坐標，aaa則 A、B 兩點一定仍在拋物線 y=ax2+2x+3(a0)上 請你協(xié)助探求出實數(shù)a 變化時，拋物線 y=ax2+2x+3(a0)的頂點所在直線的解析式；問題中的直線上有一個點不是該拋物線的頂點，你能找出它來嗎？并說明理由；在他們第二個發(fā)現(xiàn)的啟發(fā)下，運用“一般特殊一般”的思想，你還能發(fā)現(xiàn)什么？你能用數(shù)學語言將你的猜想表述出來嗎？你的猜想能成立嗎？若能成立，請說明理由精品 19已知二次函數(shù)的圖象過A（3，0），B（1，0）兩點 當這個二次函數(shù)的圖象又過點以0，3）時，求其解析式；設中所求 M 次函數(shù)圖象的頂點為P，求 SAPC：SABC的值；如果二次函數(shù)圖象的頂點 M 在對稱軸上移動，并與 y 軸交于點 D，SAMD：SABD的值確定嗎？為什么？10（13 分）如圖 2620 所示，在 RtABC 中，ACB90，BC 的垂直平分線 DE，交 BC 于 D，交 AB 于 E，F(xiàn) 在 DE 上，并且 A FCE 求證：四邊形 ACEF 是平行四邊形；精品 1 當B 的大小滿足什么條件時，四邊形A CEF是菱形？請回答并證明你的結論；四邊形 ACEF 有可能是正方形嗎？為什么？精品 1精品 1精品 1精品 1精品 1精品 1