2020高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第六章 不等式、推理與證明 課時(shí)作業(yè)40 理（含解析）新人教A版

課時(shí)作業(yè)40數(shù)學(xué)歸納法1用數(shù)學(xué)歸納法證明123n2，則當(dāng)nk1時(shí)左端應(yīng)在nk的基礎(chǔ)上加上(D)Ak21B(k1)2C.D(k21)(k22)(k1)2解析：觀察可知，等式的左端是n2個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和，當(dāng)nk時(shí)為123k2，當(dāng)nk1時(shí)為123k2(k21)(k22)(k1)2.2如果命題P(n)(nN*)對nk(kN*)成立，則它對nk1也成立，現(xiàn)已知P(n)對n4不成立，則下列結(jié)論中正確的是(D)AP(n)對任意nN*成立BP(n)對n4成立CP(n)對n4成立DP(n)對n4不成立解析：由題意可知P(n)對n3不成立(否則n4也成立)，同理可推得P(n)對n2，n1也不成立，故選D.3(2019·岳陽模擬)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式1(nN*)成立，其初始值至少應(yīng)取(B)A7 B8C9 D10解析：左邊求和可得12，右邊2，故22，即，所以2n126，解得n7.所以初始值至少應(yīng)取8.4用數(shù)學(xué)歸納法證明“n3(n1)3(n2)3(nN*)能被9整除”，利用歸納法假設(shè)證明nk1時(shí)，只需展開(A)A(k3)3 B(k2)3C(k1)3 D(k1)3(k2)3解析：假設(shè)nk時(shí)，原式k3(k1)3(k2)3能被9整除，當(dāng)nk1時(shí)，(k1)3(k2)3(k3)3為了能用上面的歸納假設(shè)，只需將(k3)3展開，讓其出現(xiàn)k3即可5設(shè)f(x)是定義在正整數(shù)集上的函數(shù)，且f(x)滿足：“當(dāng)f(k)k2成立時(shí)，總可推出f(k1)(k1)2成立”那么，下列命題總成立的是(D)A若f(1)1成立，則f(10)100成立B若f(2)4成立，則f(1)1成立C若f(3)9成立，則當(dāng)k1時(shí)，均有f(k)k2成立D若f(4)16成立，則當(dāng)k4時(shí)，均有f(k)k2成立解析：由條件可知不等式的性質(zhì)只對大于或等于號(hào)成立，所以A錯(cuò)誤；若f(1)1成立，則得到f(2)4，與f(2)4矛盾，所以B錯(cuò)誤；當(dāng)f(3)9成立，無法推導(dǎo)出f(1)，f(2)，所以C錯(cuò)誤；若f(4)16成立，則當(dāng)k4時(shí)，均有f(k)k2成立，正確6(2019·九江模擬)已知f(n)1(nN*)，經(jīng)計(jì)算得f(4)2，f(8)，f(16)3，f(32)，則其一般結(jié)論為f(2n)(n2，nN*).解析：觀察規(guī)律可知f(22)，f(23)，f(24)，f(25)，故得一般結(jié)論為f(2n)(n2，nN*)7設(shè)平面內(nèi)有n條直線(n3)，其中有且僅有兩條直線互相平行，任意三條直線不過同一點(diǎn)若用f(n)表示這n條直線交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，則f(4)5；當(dāng)n4時(shí)，f(n)(n1)(n2)(用n表示)解析：由題意知f(3)2，f(4)5，f(5)9，可以歸納出每增加一條直線，交點(diǎn)增加的個(gè)數(shù)為原有直線的條數(shù)，所以f(4)f(3)3，f(5)f(4)4，猜測得出f(n)f(n1)n1(n4)有f(n)f(3)34(n1)，所以f(n)(n1)(n2)8已知f(m)1(mN*)，用數(shù)學(xué)歸納法證明f(2n)時(shí)，f(2k1)f(2k).解析：當(dāng)nk時(shí)，f(2k)1，當(dāng)nk1時(shí)，f(2k1)1，所以f(2k1)f(2k)1.9用數(shù)學(xué)歸納法證明：(nN*)證明：(1)當(dāng)n1時(shí)，等式左邊，等式右邊，等式左邊等式右邊，所以等式成立(2)假設(shè)nk(kN*且k1)時(shí)等式成立，即有，則當(dāng)nk1時(shí)，.所以當(dāng)nk1時(shí)，等式也成立，由(1)(2)可知，對于一切nN*，等式都成立10已知f(n)1，g(n)，nN*.(1)當(dāng)n1,2,3時(shí)，試比較f(n)與g(n)的大??；(2)猜想f(n)與g(n)的大小關(guān)系，并給出證明解：(1)當(dāng)n1時(shí)，f(1)1，g(1)1，所以f(1)g(1)；當(dāng)n2時(shí)，f(2)，g(2)，所以f(2)g(2)；當(dāng)n3時(shí)，f(3)，g(3)，所以f(3)g(3)(2)由(1)猜想f(n)g(n)，下面用數(shù)學(xué)歸納法給出證明當(dāng)n1,2,3時(shí)，不等式顯然成立，假設(shè)當(dāng)nk(k3，kN*)時(shí)不等式成立，即1.那么，當(dāng)nk1時(shí)，f(k1)f(k).因?yàn)閒(k1)g(k1)0，所以f(k1)g(k1)由可知，對一切nN*，都有f(n)g(n)成立11已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn滿足Sn1且an0，nN*.(1)求a1，a2，a3，并猜想an的通項(xiàng)公式；(2)證明通項(xiàng)公式的正確性解：(1)當(dāng)n1時(shí)，由已知得a11，a2a120.所以a11(a10)當(dāng)n2時(shí)，由已知得a1a21，將a11代入并整理得a2a220.所以a2(a20)同理可得a3.猜想an(nN*)(2)證明：由(1)知，當(dāng)n1,2,3時(shí)，通項(xiàng)公式成立假設(shè)當(dāng)nk(k3，kN*)時(shí)，通項(xiàng)公式成立，即ak.由ak1Sk1Sk，將ak代入上式并整理，得a2ak120.解得ak1(負(fù)值舍去)即當(dāng)nk1時(shí)，通項(xiàng)公式也成立由和，可知對所有nN*，an都成立12已知函數(shù)f(x)alnx(aR)(1)當(dāng)a1時(shí)，求f(x)在1，)上的最小值(2)求證：ln(n1).解：(1)當(dāng)a1時(shí)，f(x)lnx，定義域?yàn)?0，)因?yàn)閒(x)0，所以f(x)在(0，)上是增函數(shù)，所以f(x)在x1，)內(nèi)的最小值為f(1)1.(2)證明：當(dāng)n1時(shí)，ln(n1)ln2，因?yàn)?ln2ln81，所以ln2，即當(dāng)n1時(shí)，不等式成立假設(shè)當(dāng)nk(k1，kN*)時(shí)，ln(k1)成立那么，當(dāng)nk1時(shí)，ln(k2)ln(k1)lnln.根據(jù)(1)的結(jié)論可知，當(dāng)x1時(shí)，lnx1，即lnx.令x，所以ln，則有l(wèi)n(k2)，即當(dāng)nk1時(shí)，不等式也成立綜上可知不等式成立13設(shè)函數(shù)f(x)ln(1x)，g(x)xf(x)，x0，其中f(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù)(1)令g1(x)g(x)，gn1(x)g(gn(x)，nN*，求gn(x)的表達(dá)式；(2)若f(x)ag(x)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解：由題設(shè)得，g(x)(x0)(1)由已知，g1(x)，g2(x)g(g1(x)，g3(x)，可猜想gn(x).下面用數(shù)學(xué)歸納法證明當(dāng)n1時(shí)，g1(x)，結(jié)論成立假設(shè)nk時(shí)結(jié)論成立，即gk(x).那么，當(dāng)nk1時(shí)，gk1(x)g(gk(x)，即結(jié)論成立由可知，結(jié)論對nN成立(2)已知f(x)ag(x)恒成立，即ln(1x)恒成立設(shè)(x)ln(1x)(x0)，則(x)，當(dāng)a1時(shí)，(x)0(僅當(dāng)x0，a1時(shí)等號(hào)成立)，(x)在0，)上單調(diào)遞增又(0)0，(x)0在0，)上恒成立，a1時(shí)，ln(1x)恒成立(僅當(dāng)x0時(shí)等號(hào)成立)當(dāng)a>1時(shí)，對x(0，a1有(x)0，(x)在(0，a1上單調(diào)遞減，(a1)<(0)0，即a>1時(shí)，存在x>0，使(x)<0，ln(1x)不恒成立綜上可知，實(shí)數(shù)a的取值范圍是(，17