2020高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第七章 立體幾何 課時作業(yè)40 空間幾何體的表面積與體積 文（含解析）新人教A版

課時作業(yè)40空間幾何體的表面積與體積1(2019·湖南五市十校聯(lián)考)如圖，小方格是邊長為1的正方形，一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為(D)A496 B(26)96C(44)64 D(44)96解析：由三視圖知，該幾何體為一個圓錐和一個正方體的組合體，正方體的棱長為4，圓錐的高為4，底面半徑為2，所以該幾何體的表面積S6×42×22×2×(44)96.2(2019·福建質(zhì)檢)如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，俯視圖中的兩條曲線均為圓弧，則該幾何體的體積為(C)A64 B648C64 D64解析：由三視圖可知該幾何體是由棱長為4的正方體截去個圓錐和個圓柱所得到的，且圓錐的底面半徑為2，高為4，圓柱的底面半徑為2，高為4，所以該幾何體的體積為4364.故選C3(2015·全國卷)已知A，B是球O的球面上兩點，AOB90°，C為該球面上的動點若三棱錐O-ABC體積的最大值為36，則球O的表面積為(C)A36 B64C144 D256解析：SOAB是定值，且VO-ABCVC-OAB，當(dāng)OC平面OAB時，VC-OAB最大，即VO-ABC最大設(shè)球O的半徑為R，則(VO-ABC)max×R2×RR336，R6，球O的表面積S4R24×62144.4(2019·河南濮陽一模)已知三棱錐A-BCD中，ABD與BCD是邊長為2的等邊三角形且二面角A-BD-C為直二面角，則三棱錐A-BCD的外接球的表面積為(D)A B5C6 D解析：取BD中點M，連接AM，CM，取ABD，CBD的中心即AM，CM的三等分點P，Q，過P作平面ABD的垂線，過Q作平面CBD的垂線，兩垂線相交于點O，則點O為外接球的球心，其中OQ，CQ，連接OC，則外接球的半徑ROC，表面積為4R2，故選D5一個多面體的直觀圖和三視圖如圖所示，點M是AB上的動點，記四面體EFMC的體積為V1，多面體ADF-BCE的體積為V2，則(B)A BC D解析：由三視圖可知多面體ADF-BCE是直三棱柱，其底面是等腰直角三角形(直角邊長為a)，且四邊形DFEC與四邊形ABCD都是正方形，它們的邊長均為AM是AB上的動點，且易知AB平面DFEC，點M到平面DFEC的距離等于點B到平面DFEC的距離，距離為a，V1VE-FMCVM-EFC·a·a·a，又V2a·a·a，故.6某工件的三視圖如圖所示，現(xiàn)將該工件通過切削，加工成一個體積盡可能大的長方體新工件，并使新工件的一個面落在原工件的一個面內(nèi)，則原工件材料的利用率為(A)A BC D解析：原工件是一個底面半徑為1，高為2的圓錐，依題意加工后的新工件是圓錐的內(nèi)接長方體，且落在圓錐底面上的面是正方形，設(shè)正方形的邊長為a，長方體的高為h，則0a，0h2.于是，h2A令f(a)V長方體a2h2a2a3，f(a)4a3a2，當(dāng)f(a)0時，a.易知f(a)maxf.材料利用率，故選A7(2017·全國卷)如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實線畫出的是某幾何體的三視圖，該幾何體由一平面將一圓柱截去一部分后所得，則該幾何體的體積為(B)A90 B63C42 D36解析：由三視圖可知兩個同樣的幾何體可以拼成一個底面直徑為6，高為14的圓柱，所以該幾何體的體積V×32××1463，故選B8已知三棱錐O-ABC的頂點A，B，C都在半徑為2的球面上，O是球心，AOB120°，當(dāng)AOC與BOC的面積之和最大時，三棱錐O-ABC的體積為(B)A BC D解析：設(shè)球O的半徑為R，因為SAOCSBOCR2(sinAOCsinBOC)，所以當(dāng)AOCBOC90°時，SAOCSBOC取得最大值，此時OAOCOBOC，OBOAO，OA，OB平面AOB，所以O(shè)C平面AOB，所以V三棱錐O-ABCV三棱錐C-OABOC·OA·OBsinAOBR3sinAOB，故選B9某組合體的三視圖如圖所示，則該組合體的體積為.解析：如圖所示，該組合體由一個四棱錐和四分之一個球組成，球的半徑為1，四棱錐的高為球的半徑，四棱錐的底面為等腰梯形，上底為2，下底為1，高為，所以該組合體的體積V××(21)××1××13.10(2018·全國卷)已知圓錐的頂點為S，母線SA，SB互相垂直，SA與圓錐底面所成角為30°.若SAB的面積為8，則該圓錐的體積為8.解析：設(shè)圓錐底面半徑為r，母線長為l，高為h，因為母線SA與底面所成的角為30°，所以lr.由SAB的面積為8得l28，即×r28，所以r212，hr2.所以圓錐的體積為r2h×12×28.11(2019·江西南昌二中模擬)在三棱錐S-ABC中，ABC是邊長為3的等邊三角形，SA，SB2，二面角S-AB-C的大小為120°，則此三棱錐的外接球的表面積為21.解析：根據(jù)題意得SA2AB2SB2，即SAAB取AB的中點為D，SB的中點為M，連接CD、MD，得CDM為二面角S-AB-C的平面角，MDC120°.如圖，設(shè)三角形ABC的外心為O1，則O1在CD上，連接BO1，則CO1BO1，DO1.設(shè)外接球半徑為R，易知球心為過M垂直面ABS的垂線與過O1垂直面ABC的垂線的交點O.在四邊形MDO1O中，二面角S-AB-C的平面角MDC120°，且MOMD，O1ODO1，MDO1D，ODO160°，OO1O1Dtan60°，連接OB，R2OB2OOO1B23，球的表面積S4R221.12如圖，四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD，ABBCAD，BADABC90°.(1)證明：直線BC平面PAD；(2)若PCD的面積為2，求四棱錐P-ABCD的體積解：(1)證明：在平面ABCD內(nèi)，因為BADABC90°，所以BCAD又BC平面PAD，AD平面PAD，故BC平面PAD(2)取AD的中點M，連接PM，CM.由ABBCAD及BCAD，ABC90°得四邊形ABCM為正方形，則CMAD因為側(cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，所以PMAD，PM底面ABCD因為CM底面ABCD，所以PMCM.設(shè)BCx，則CMx，CDx，PMx，PCPD2x.取CD的中點N，連接PN，則PNCD，所以PNx.因為PCD的面積為2，所以×x×x2，解得x2(舍去)或x2.于是ABBC2，AD4，PM2.所以四棱錐P-ABCD的體積V××24.13九章算術(shù)是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題：“今有芻甍，下廣三丈，袤四丈；上袤二丈，無廣；高一丈，問：積幾何？”其意思為：“今有底面為矩形的屋脊柱的楔體，下底面寬3丈，長4丈；上棱長2丈，高一丈，問它的體積是多少？”已知1丈為10尺，現(xiàn)將該楔體的三視圖給出，其中網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1丈，則該楔體的體積為(A)A5 000立方尺 B5 500立方尺C6 000立方尺 D6 500立方尺解析：該楔體的直觀圖如圖中的幾何體ABCDEF.取AB的中點G，CD的中點H，連接FG，GH，HF，則該幾何體的體積為四棱錐F-GBCH與三棱柱ADE-GHF的體積之和又可以將三棱柱ADE-GHF割補(bǔ)成高為EF，底面積為S×3×1平方丈的一個直棱柱，故該楔體的體積V×2×2×3×15立方丈5 000立方尺14(2019·深圳調(diào)研)如圖所示，在平面四邊形ABCD中，ABADCD1，BD，BDCD，將其沿對角線BD折成四面體ABCD，使平面ABD平面BCD，若四面體ABCD的頂點在同一個球面上，則該球的體積為(A)A B3C D2解析：如圖，取BD的中點為E，BC的中點為O，連接AE，OD，EO，AO.因為ABAD，所以AEBD由于平面ABD平面BCD，所以AE平面BCD因為ABADCD1，BD，所以AE，EO.所以O(shè)A.在RtBDC中，OBOCODBC，所以四面體ABCD的外接球的球心為O，半徑為.所以該球的體積V×3.15(2017·全國卷)已知三棱錐S-ABC的所有頂點都在球O的球面上，SC是球O的直徑若平面SCA平面SCB，SAAC，SBBC，三棱錐S-ABC的體積為9，則球O的表面積為36.解析：如圖所示，設(shè)SC2r，取SC的中點O，連接AO，OB因為SAAC，SBBC，所以O(shè)ASC，OBSC所以SSBCSC·OB×2r·rr2.又因為平面SAC平面SBC，平面SAC平面SBCSC，OASC，所以O(shè)A平面SBC所以VS-ABCVA-SBCSSBC·OAr39.解得r3，所以S表4r236.16(2019·貴陽質(zhì)檢)如圖，ABC內(nèi)接于圓O，AB是圓O的直徑，四邊形DCBE為平行四邊形，DC平面ABC，AB2，EB.(1)求證：DE平面ACD；(2)設(shè)ACx，V(x)表示三棱錐B-ACE的體積，求函數(shù)V(x)的解析式及最大值解：(1)證明：四邊形DCBE為平行四邊形，CDBE，BCDE.DC平面ABC，BC平面ABC，DCBCAB是圓O的直徑，BCAC，且DCACC，DC，AC平面ADC，BC平面ADCDEBC，DE平面ADC(2)DC平面ABC，BE平面ABC在RtABE中，AB2，EB.在RtABC中，ACx，BC(0x2)，SABCAC·BCx·，V(x)V三棱錐E-ABCx·(0x2)x2(4x2)24，當(dāng)且僅當(dāng)x24x2，即x時取等號，當(dāng)x時，體積有最大值.11