2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 課后限時集訓(xùn)7 二次函數(shù)與冪函數(shù) 理（含解析）新人教A版

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1、課后限時集訓(xùn)(七)　二次函數(shù)與冪函數(shù) (建議用時：60分鐘) A組　基礎(chǔ)達標 一、選擇題 1．(2019·西安質(zhì)檢)函數(shù)y＝的圖象大致是(　　) A　　 　　B C　　 　　D C　[∵y＝x，∴該函數(shù)是偶函數(shù)，且在第一象限內(nèi)是上凸的，故選C.] 2．設(shè)α∈，則使冪函數(shù)y＝xα為奇函數(shù)且在(0，＋∞)上單調(diào)遞增的α值的個數(shù)為(　　) A．3　　　 B．4 C．5 D．6 A　[因為冪函數(shù)y＝xα在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，所以α＞0.又冪函數(shù)y＝xα為奇函數(shù)，可知α≠2.當α＝時，其定義域關(guān)于原點不對稱，應(yīng)排除．當α＝，1,3時，其定義域關(guān)于原點對稱，且滿足

2、f(－x)＝－f(x)．故α＝，1,3時，滿足條件．故滿足條件的α的值的個數(shù)為3.故選A.] 3．已知冪函數(shù)f(x)＝xα的圖象過點，則函數(shù)g(x)＝(2x－1)f(x)在區(qū)間上的最小值是(　　) A．－1 B．0 C．－2 D. B　[由已知得3α＝，解得α＝－1，∴f(x)＝x－1， ∴g(x)＝＝2－在區(qū)間上單調(diào)遞增，則g(x)min＝g＝0.] 4．已知二次函數(shù)f(x)滿足f(2＋x)＝f(2－x)，且f(x)在[0,2]上是增函數(shù)，若f(a)≥f(0)，則實數(shù)a的取值范圍是(　　) A．[0，＋∞) B．(－∞，0] C．[0,4] D．(－∞，0]∪

3、[4，＋∞) C　[由f(2＋x)＝f(2－x)可知，函數(shù)f(x)圖象的對稱軸為x＝＝2，又函數(shù)f(x)在[0,2]上單調(diào)遞增，則拋物線開口向下，且f(x)在[2,4]上是減函數(shù)， 所以由f(a)≥f(0)可得0≤a≤4.] 5．若f(x)＝ax2＋ax－1在R上滿足f(x)＜0恒成立，則a的取值范圍是(　　) A．a(chǎn)≤0 B．a(chǎn)＜－4 C．－4＜a＜0 D．－4＜a≤0 D　[①當a＝0時，得到－1＜0，顯然不等式的解集為R； ②當a＜0時，二次函數(shù)y＝ax2＋ax－1開口向下，由不等式的解集為R，得二次函數(shù)的圖象與x軸沒有交點，即Δ＝a2＋4a＜0，即a(a＋4)＜0

4、，解得－4＜a＜0； ③當a＞0時，二次函數(shù)y＝ax2＋ax－1開口向上，函數(shù)值y不恒小于0，故解集為R不可能．] 二、填空題 6．已知點在冪函數(shù)y＝f(x)的圖象上，點在冪函數(shù)y＝g(x)的圖象上，則f(2)＋g(－1)＝________. 　[設(shè)f(x)＝xm，g(x)＝xn，則由2＝m得m＝－1，由＝(－2)n，得n＝－2， 所以f(2)＋g(－1)＝2－1＋(－1)－2＝.] 7．已知二次函數(shù)y＝x2＋2kx＋3－2k，則其圖象的頂點位置最高時對應(yīng)的解析式為________． y＝x2－2x＋5　[y＝x2＋2kx＋3－2k＝(x＋k)2－k2－2k＋3，所以圖象的頂點坐

5、標為(－k，－k2－2k＋3)． 因為－k2－2k＋3＝－(k＋1)2＋4，所以當k＝－1時，頂點位置最高．此時拋物線的解析式為y＝x2－2x＋5.] 8．已知函數(shù)y＝f(x)是偶函數(shù)，當x＞0時，f(x)＝(x－1)2，若當x∈時，n≤f(x)≤m恒成立，則m－n的最小值為________． 1　[當x＜0時，－x＞0，f(x)＝f(－x)＝(x＋1)2. ∵x∈， ∴f(x)min＝f(－1)＝0，f(x)max＝f(－2)＝1， ∴m≥1，n≤0，m－n≥1，∴m－n的最小值是1.] 三、解答題 9．若函數(shù)y＝x2－2x＋3在區(qū)間[0，m]上有最大值3，最小值2，求實數(shù)m

6、的取值范圍． [解]　作出函數(shù)y＝x2－2x＋3的圖象如圖． 由圖象可知，要使函數(shù)在[0，m]上取得最小值2，則1∈[0，m]，從而m≥1， 當x＝0時，y＝3；當x＝2時，y＝3， 所以要使函數(shù)取得最大值3，則m≤2， 故所求m的取值范圍為[1,2]． 10．已知二次函數(shù)f(x)滿足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1. (1)求f(x)的解析式； (2)當x∈[－1,1]時，函數(shù)y＝f(x)的圖象恒在函數(shù)y＝2x＋m的圖象的上方，求實數(shù)m的取值范圍． [解]　(1)設(shè)f(x)＝ax2＋bx＋1(a≠0)， 由f(x＋1)－f(x)＝2x，得2ax＋a＋b＝2x.

7、 所以，2a＝2且a＋b＝0，解得a＝1，b＝－1， 因此f(x)的解析式為f(x)＝x2－x＋1. (2)因為當x∈[－1,1]時，y＝f(x)的圖象恒在y＝2x＋m的圖象上方， 所以在[－1,1]上，x2－x＋1＞2x＋m恒成立， 即x2－3x＋1＞m在區(qū)間[－1,1]上恒成立． 所以令g(x)＝x2－3x＋1＝2－， 因為g(x)在[－1,1]上的最小值為g(1)＝－1， 所以m＜－1.故實數(shù)m的取值范圍為(－∞，－1)． B組　能力提升 1．設(shè)abc＞0，二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c的圖象可能是(　　) A　 　　B C　　 　D D　[由A，C

8、，D知，f(0)＝c＜0.∵abc＞0，∴ab＜0，∴對稱軸x＝－＞0，知A，C錯誤，D符合要求．由B知f(0)＝c＞0，∴ab＞0，∴x＝－＜0，B錯誤．故選D.] 2．(2017·浙江高考)若函數(shù)f(x)＝x2＋ax＋b在區(qū)間[0,1]上的最大值是M，最小值是m，則M－m(　　) A．與a有關(guān)，且與b有關(guān) B．與a有關(guān)，但與b無關(guān) C．與a無關(guān)，且與b無關(guān) D．與a無關(guān)，但與b有關(guān) B　[法一：設(shè)x1，x2分別是函數(shù)f(x)在[0,1]上的最小值點與最大值點，則m＝x＋ax1＋b，M＝x＋ax2＋b. ∴M－m＝x－x＋a(x2－x1)，顯然此值與a有關(guān)，與b無關(guān)． 故選B

9、. 法二：由題意可知，函數(shù)f(x)的二次項系數(shù)為固定值，則二次函數(shù)圖象的形狀一定．隨著b的變動，相當于圖象上下移動，若b增大k個單位，則最大值與最小值分別變?yōu)镸＋k，m＋k，而(M＋k)－(m＋k)＝M－m，故與b無關(guān)．隨著a的變動，相當于圖象左右移動，則M－m的值在變化，故與a有關(guān)． 故選B.] 3．已知對于任意的x∈(－∞，1)∪(5，＋∞)，都有x2－2(a－2)x＋a＞0，則實數(shù)a的取值范圍是________． (1,5]　[Δ＝4(a－2)2－4a＝4a2－20a＋16＝4(a－1)(a－4)． (1)若Δ＜0，即1＜a＜4時，x2－2(a－2)x＋a＞0在R上恒成立，符合

10、題意； (2)若Δ＝0，即a＝1或a＝4時，方程x2－2(a－2)x＋a＞0的解為x≠a－2， 顯然當a＝1時，不符合題意，當a＝4時，符合題意； (3)當Δ＞0，即a＜1或a＞4時，因為x2－2(a－2)x＋a＞0在(－∞，1)∪(5，＋∞)上恒成立， 所以解得3＜a≤5， 又a＜1或a＞4，所以4＜a≤5. 綜上，a的取值范圍是(1,5]．] 4．已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且當x≤0時，f(x)＝x2＋2x.現(xiàn)已畫出函數(shù)f(x)在y軸左側(cè)的圖象，如圖所示． (1)請補全函數(shù)f(x)的圖象并根據(jù)圖象寫出函數(shù)f(x)(x∈R)的增區(qū)間； (2)寫出函數(shù)f(x)

11、(x∈R)的解析式； (3)若函數(shù)g(x)＝f(x)－2ax＋2(x∈[1,2])，求函數(shù)g(x)的最小值． [解]　(1)f(x)在區(qū)間(－1,0)，(1，＋∞)上單調(diào)遞增． (2)設(shè)x＞0，則－x＜0，函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且當x≤0時，f(x)＝x2＋2x， 所以f(x)＝f(－x)＝(－x)2＋2×(－x)＝x2－2x(x＞0)， 所以f(x)＝ (3)g(x)＝x2－2x－2ax＋2，對稱軸方程為x＝a＋1， 當a＋1≤1，即a≤0時，g(1)＝1－2a為最小值； 當1＜a＋1≤2，即0＜a≤1時，g(a＋1)＝－a2－2a＋1為最小值； 當a＋1＞2，即a＞1時，g(2)＝2－4a為最小值． 綜上，g(x)min＝ - 5 -