2019-2020學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué) 課時素養(yǎng)評價三十九 函數(shù)模型的應(yīng)用 新人教A版必修第一冊

課時素養(yǎng)評價 三十九函數(shù)模型的應(yīng)用 (25分鐘·50分)一、選擇題(每小題4分,共16分)1.某人若以每股17.25元的價格購進(jìn)股票一萬股,可以預(yù)知一年后以每股18.96元的價格銷售.已知該年銀行利率為0.8%,按月計復(fù)利,為獲取最大利潤,某人應(yīng)將錢注:(1+0.8%)12=1.100 38()A.全部購買股票B.全部存入銀行C.部分購股票,部分存銀行D.購股票或存銀行均一樣【解析】選B.買股票利潤:x=(18.96-17.25)×10 000,存銀行利潤:y=17.25×10 000×(1+0.8%)12-17.25×10 000,計算得x<y.2.一個容器裝有細(xì)沙a cm3,細(xì)沙從容器底下一個細(xì)微的小孔慢慢地勻速漏出,t min后剩余的細(xì)沙量為y=ae-bt(cm3),經(jīng)過8 min后發(fā)現(xiàn)容器內(nèi)還有一半的沙子,則再經(jīng)過_min,容器中的沙子只有開始時的八分之一() A.8B.16C.24D.32【解析】選B.依題意有a·e-b×8=a,所以b=,所以y=a·,若容器中只有開始時的時,則有a·=a,解得t=24.所以再經(jīng)過24-8=16 min容器中的沙子只有開始時的八分之一.3.一種放射性元素,最初的質(zhì)量為500 g,按每年10%衰減.則這種放射性元素的半衰期為(注:剩留量為最初質(zhì)量的一半所需的時間叫作半衰期.精確到0.1.已知lg 20.301 0,lg 30.477 1)()A.5.2B.6.6C.7.1D.8.3【解析】選B.設(shè)半衰期為x,則有500(1-10%)x=250,即=,取對數(shù)得x(lg 9-1)=-lg 2,所以x=6.6.4.一個人喝了少量酒后,血液中的酒精含量迅速上升到0.3 mg/mL,在停止喝酒后,血液中的酒精含量以每小時25%的速度減少,為了保障交通安全,某地根據(jù)道路交通安全法規(guī)定:駕駛員血液中的酒精含量不得超過0.09 mg/mL,那么一個喝了少量酒的駕駛員,至少經(jīng)過_小時才能開車.(精確到1小時,參考數(shù)據(jù):lg 30.477,lg 40.602)() A.4B.5C.6D.7【解析】選B.設(shè)至少經(jīng)過x小時才能開車,由題意得0.3(1-25%)x0.09,所以0.75x0.3,xlog0.750.34.2.所以至少經(jīng)過5小時才能開車.二、填空題(每小題4分,共8分)5.為綠化生活環(huán)境,某市開展植樹活動.今年全年植樹6.4萬棵,若植樹的棵數(shù)每年的增長率均為a,則經(jīng)過x年后植樹的棵數(shù)y與x之間的解析式是_,若計劃3年后全年植樹12.5萬棵,則a=_. 【解析】經(jīng)過x年后植樹的棵數(shù)y與x之間的解析式是y=6.4(1+a)x,由題意可知6.4(1+a)3=12.5,所以(1+a)3=,所以1+a=,故a=25%.答案:y=6.4(1+a)x25%6.某個病毒經(jīng)30 min繁殖為原來的2倍,且知病毒的繁殖規(guī)律為y=ekt(其中k為常數(shù),t表示時間,單位:h,y表示病毒個數(shù)),則k=_,經(jīng)過5 h,1個病毒能繁殖為_個. 【解析】當(dāng)t=0.5時,y=2,所以2=.所以k=2ln 2.所以y=e2tln 2,當(dāng)t=5時,y=e10ln 2=210=1 024.答案:2ln 21 024三、解答題(共26分)7.(12分)家用冰箱制冷使用的氟化物,釋放后破壞了大氣上層的臭氧層.臭氧含量Q呈指數(shù)函數(shù)型變化,滿足關(guān)系式Q=Q0,其中Q0是臭氧的初始量.(1)隨時間的增加,臭氧的含量是增加還是減少?(2)多少年以后將會有一半的臭氧消失?(提示:ln 20.693,ln 31.099)【解析】(1)因為Q0>0,-<0,e>1,所以Q=Q0為減函數(shù),所以隨時間的增加,臭氧的含量減少.(2)設(shè)x年以后將會有一半的臭氧消失,則Q=Q0=Q0,即=,取對數(shù)可得-=ln,解得x=400ln 2277.2.所以278年以后將會有一半的臭氧消失.8.(14分)我國加入WTO時,根據(jù)達(dá)成的協(xié)議,某產(chǎn)品的市場供應(yīng)量P與市場價格x的關(guān)系近似滿足P(x)=(其中t為關(guān)稅的稅率,且t,x為市場價格,b,k為正常數(shù)).當(dāng)t=時的市場供應(yīng)量曲線如圖所示.(1)根據(jù)圖象求b,k的值.(2)當(dāng)關(guān)稅的稅率t=時,求市場供應(yīng)量P不低于1 024時,市場價格至少為多少?【解析】(1)由題干圖可知解得k=6,b=5.(2)由(1)可得P(x)=,設(shè)m=(1-6t)(x-5)2,當(dāng)t=時,m=(x-5)2,因為市場供應(yīng)量P不低于1 024,所以2m1 024,解得m10,所以(x-5)210,解得x10故市場供應(yīng)量P不低于1 024時,市場價格至少為10.【加練·固】為了預(yù)防甲型H1N1流感,某學(xué)校對教室采用藥熏消毒法進(jìn)行消毒,已知藥物燃燒時室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量y(mg)與時間x(min )成正比例,藥物燃燒完后滿足y=,如圖所示,現(xiàn)測得藥物8 min燃畢,此時室內(nèi)空氣中每立方米的含藥量為6 mg,請按題中所供給的信息,解析下列各題.(1)求y關(guān)于x的函數(shù)解析式.(2)研究表明,當(dāng)空氣中每立方米的含藥量不低于3 mg且持續(xù)時間不低于10 min時才能有效殺滅空氣中的病菌,那么此次消毒是否有效?為什么?【解析】(1)當(dāng)0x8時,設(shè)y=x,代入(8,6),解得=,所以y=x(0x8).當(dāng)x8時,(8,6)代入y=,可得k=48,所以y=(x8),所以y=.(2)當(dāng)x0,8時,x=3,解得x=4,當(dāng)x>8時,=3,解得x=16.所以空氣中每立方米的含藥量不低于3 mg時的持續(xù)時間為16-4=12>10,所以此次消毒有效. (15分鐘·30分)1.(4分)某企業(yè)2018年全年投入研發(fā)資金150萬元,為激勵創(chuàng)新,該企業(yè)計劃今后每年投入的研發(fā)資金比上年增長8%,則該企業(yè)全年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元的年份是()(參考數(shù)據(jù):lg 1.080.033,lg 20.301,lg 30.477)A.2020B.2021C.2022D.2023【解析】選C.設(shè)該企業(yè)全年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元的年份為n,則150×(1+8%)n-2018200,則n2018+2018+=2 021.8,取n=2 022.2.(4分)“學(xué)習(xí)曲線”可以用來描述學(xué)習(xí)某一任務(wù)的速度,假設(shè)函數(shù)t= -144lg中,t表示達(dá)到某一英文打字水平所需的學(xué)習(xí)時間,N表示每分鐘打出的字?jǐn)?shù),則當(dāng)N=40時,t=_.(已知lg 50.699,lg 30.477) 【解析】當(dāng)N=40時,則t=-144lg=-144lg =-144(lg 5-2lg 3)36.72.答案:36.723.(4分)大氣污染已經(jīng)成為影響群眾身體健康的重要因素,治理大氣污染成為各鋼鐵企業(yè)的首要任務(wù),其中某鋼鐵廠在處理工業(yè)廢氣的過程中,每經(jīng)過一次處理可將有害氣體減少20%,那么要讓有害氣體減少到原來的5%,至少要經(jīng)過_次處理?(參考數(shù)據(jù):lg 0.05-1.301,lg 0.8-0.097.) 【解析】設(shè)工業(yè)有害氣體在未處理前為a,經(jīng)過x次處理后變?yōu)閥,則y=a(1-20%)x=a(80%)x.由題意得=5%,即(80%)x=5%,兩邊同時取以10為底的對數(shù)得xlg0.8=lg0.05,即x=13.4.因而需要14次處理才能使工業(yè)廢氣中的有害氣體減少到原來的5%.答案:144.(4分)汽車駕駛員發(fā)現(xiàn)前方有障礙物時會緊急剎車,這一過程中,由于人的反應(yīng)需要時間,汽車在慣性的作用下有一個剎車距離,設(shè)停車安全距離為S,駕駛員反應(yīng)時間內(nèi)汽車所行距離為S1,剎車距離為S2,則S=S1+S2.而S1與反應(yīng)時間t有關(guān),S1=10ln(t+1),S2與車速v有關(guān),S2=bv2.某人剎車反應(yīng)時間為-1秒,當(dāng)車速為60 km/h時,緊急剎車后滑行的距離為20米,若在限速100 km/h的高速公路上,則該汽車的安全距離為_.(精確到米) 【解析】因為剎車反應(yīng)時間為-1秒,所以S1=10ln(-1+1)=10ln=5,當(dāng)車速為60 km/h時,緊急剎車后滑行的距離為20米,則S2=b·(60)2=20,解得b=,即S2=v2,若v=100,則S2=×100256,S1=5,則該汽車的安全距離S=S1+S2=5+56=61(米).答案:61米5.(14分)某工廠今年1月、2月、3月生產(chǎn)某種產(chǎn)品分別為1萬件、1.2萬件、1.3萬件,為估測以后每個月的產(chǎn)量,以這三個月的產(chǎn)量為依據(jù),用一個函數(shù)模擬該產(chǎn)品的月產(chǎn)量y和月份數(shù)x的關(guān)系,模擬函數(shù)可以選用二次函數(shù)y=px2+qx+r或函數(shù)y=a·bx+c(其中a,b,c為常數(shù),a0),已知4月份該產(chǎn)品的產(chǎn)量為1.37萬件,問選取哪個函數(shù)模型好?請說明理由.【解析】對于二次函數(shù)y=px2+qx+r,由已知得得所以y=-0.05x2+0.35x+0.7,當(dāng)x=4時,y1=-0.05×42+0.35×4+0.7=1.3.又對于函數(shù)y=a·bx+c,由已知得得所以y=-0.8·+1.4,當(dāng)x=4時,y2=-0.8·+1.4=1.35,根據(jù)四月份的實際產(chǎn)量為1.37萬件,而|y2-1.37|=0.02<0.07=|y1-1.37|,所以選取函數(shù)y=-·+模型較好.1.物體在常溫下的溫度變化可以用牛頓冷卻規(guī)律來描述:設(shè)物體的初始溫度是T0,經(jīng)過一定時間t后的溫度是T,則T-Ta=(T0-Ta)·,其中Ta稱為環(huán)境溫度,h稱為半衰期.現(xiàn)有一杯用88 熱水沖的速溶咖啡,放在24 的房間中,如果咖啡降到40 需要20分鐘,那么此杯咖啡從40 降溫到32 時,還需要_分鐘. 【解析】由題意可得Ta=24,T0=88,T=40,可得:40-24=(88-24),解得h=10,此杯咖啡從40 降溫到32 時,可得:32-24=(40-24),解得t=10.答案:102.在數(shù)學(xué)課外活動中,小明同學(xué)進(jìn)行了糖塊溶于水的實驗:將一塊質(zhì)量為7克的糖塊放入一定量的水中,測量不同時刻未溶解糖塊的質(zhì)量,得到若干組數(shù)據(jù),其中在第5分鐘末測得未溶解糖塊的質(zhì)量為3.5克.聯(lián)想到教科書中研究“物體冷卻”的問題,小明發(fā)現(xiàn)可以用指數(shù)型函數(shù)S=ae-kt(a,k是常數(shù))來描述以上糖塊的溶解過程,其中S(單位:克)代表t分鐘末未溶解糖塊的質(zhì)量.(1)求a的值.(2)求k的值.(3)設(shè)這個實驗中t分鐘末已溶解的糖塊的質(zhì)量為M,請畫出M隨t變化的函數(shù)關(guān)系的草圖,并簡要描述實驗中糖塊的溶解過程.【解析】(1)由題意,t=0,S=a=7.(2)因為5分鐘末測得未溶解糖塊的質(zhì)量為3.5克,所以3.5=7e-5k,解得k=.(3)M隨t變化的函數(shù)關(guān)系的草圖如圖所示.溶解過程:隨著時間的增加,逐漸溶解.9