山東省2019年中考數(shù)學(xué) 題型專題復(fù)習(xí) 題型5 探索、延伸與應(yīng)用問題課件.ppt

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,題型5探索、延伸與應(yīng)用問題,類型①與三角形有關(guān)的探索、延伸與應(yīng)用,例1?[2018永州]如圖1，在△ABC中，矩形EFGH的一邊EF在AB上，頂點(diǎn)G，H分別在BC，AC上，CD是邊AB上的高，CD交GH于點(diǎn)I.若CI＝4，HI＝3，AD＝.矩形DFGI恰好為正方形．(1)求正方形DFGI的邊長(zhǎng)；(2)如圖2，延長(zhǎng)AB至P，使得AC＝CP，將矩形EFGH沿BP的方向向右平移，當(dāng)點(diǎn)G剛好落在CP上時(shí)，試判斷移動(dòng)后的矩形與△CBP重疊部分的形狀是三角形還是四邊形，為什么？(3)如圖3，連接DG，將正方形DFGI繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度得到正方形DF′G′I′，正方形DF′G′I′分別與線段DG，DB相交于點(diǎn)M，N，求△MNG′的周長(zhǎng)．,規(guī)范解答：(1)如圖1，∵HI∥AD.∴＝.∴＝.∴CD＝6.∴ID＝CD－CI＝2.∴正方形的邊長(zhǎng)為2..………………………(4分),(2)如圖2，設(shè)點(diǎn)G落在PC上時(shí)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為G′，點(diǎn)F對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為F′.∵CA＝CP，CD⊥PA，∴∠ACD＝∠PCD，∠A＝∠P.∵HG′∥PA，∴∠CHG′＝∠A，∠CG′H＝∠P.∴∠CHG′＝∠CG′H，∴CH＝CG′.∴IH＝IG′＝DF′＝3.…………………………(6分)∵IG∥DB，∴＝.∴＝，∴DB＝3.∴DB＝DF′＝3.∴點(diǎn)B與點(diǎn)F′重合．∴移動(dòng)后的矩形與△CBP重疊部分是△BGG′.∴移動(dòng)后的矩形與△CBP重疊部分的形狀是三角形．(8分),滿分技法?解答探索、延伸與應(yīng)用類題目時(shí)，解答好第(1)問是基礎(chǔ)，往往前面第(1)問中的方法思路為第(2)問的解決提供解題方向；解答后續(xù)的“延伸”時(shí)，要特別注意運(yùn)用類比、數(shù)形結(jié)合、分類討論等數(shù)學(xué)思想；對(duì)于應(yīng)用環(huán)節(jié)，就是把實(shí)際問題的背景，抽象成已探索出結(jié)論或規(guī)律的幾何模型．,(3)如圖3，將△DMI′繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90得到△DF′R，此時(shí)N，F(xiàn)′，R共線．∵∠MDN＝∠NDF′＋∠MDI′＝∠NDF′＋∠FD′R＝∠NDR＝45，又∵DN＝DN，DM＝DR，∴△NDM≌△NDR.∴MN＝NR＝NF′＋RF′＝NF′＋MI′.∴△MNG′的周長(zhǎng)＝MN＋MG′＋NG′＝MG′＋MI′＋NG′＋NF′＝2I′G′＝4.……………………(12分),【滿分必練】,1．[2018揚(yáng)州]問題呈現(xiàn)如圖1，在邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格中，連接格點(diǎn)D，N和E，C，DN和EC相交于點(diǎn)P，求tan∠CPN的值．方法歸納求一個(gè)銳角的三角函數(shù)值，我們往往需要找出(或構(gòu)造出)一個(gè)直角三角形．觀察發(fā)現(xiàn)問題中∠CPN不在直角三角形中，我們常常利用網(wǎng)格畫平行線等方法解決此類問題，比如連接格點(diǎn)M，N，可得MN∥EC，則∠DNM＝∠CPN，連接DM，那么∠CPN就變換到Rt△DMN中．問題解決(1)直接寫出圖1中tan∠CPN的值為________；(2)如圖2，在邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格中，AN與CM相交于點(diǎn)P，求cos∠CPN的值；思維拓展(3)如圖3，AB⊥BC，AB＝4BC，點(diǎn)M在AB上，且AM＝BC，延長(zhǎng)CB到N，使BN＝2BC，連接AN交CM的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，用上述方法構(gòu)造網(wǎng)格求∠CPN的度數(shù)．,(3)如圖，取格點(diǎn)O，連接AO，NO.∵PC∥ON，∴∠CPN＝∠ANO.∵AO＝ON，∠AON＝90，∴∠ANO＝∠OAN＝45.∴∠CPN＝45.,解：(1)如圖1，∵EC∥MN，∴∠CPN＝∠DNM.∴tan∠CPN＝tan∠DNM.∵∠DMN＝90，∴tan∠CPN＝tan∠DNM＝＝＝2.故答案為：2.,(2)如圖2，取格點(diǎn)D，連接CD，DM.∵CD∥AN，∴∠CPN＝∠DCM.∵△DCM是等腰直角三角形，∴∠DCM＝∠D＝45.∴cos∠CPN＝cos∠DCM＝.,(2)如圖2，點(diǎn)D是邊CB上任意一點(diǎn)，連接AD，作等邊△ADE，且點(diǎn)E在∠ACB的內(nèi)部，連接BE，試探究線段BE與DE之間的數(shù)量關(guān)系，寫出你的猜想并加以證明；(3)當(dāng)點(diǎn)D為邊CB延長(zhǎng)線上任意一點(diǎn)時(shí)，在(2)條件的基礎(chǔ)上，線段BE與DE之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)直接寫出你的結(jié)論________．,2．[2018日照]問題背景：我們學(xué)習(xí)等邊三角形時(shí)得到直角三角形的一個(gè)性質(zhì)：在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，即：如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90，∠ABC＝30，則：AC＝AB.探究結(jié)論：小明同學(xué)對(duì)以上結(jié)論作了進(jìn)一步研究．(1)如圖1，連接AB邊上中線CE，由于CE＝AB，易得結(jié)論：①△ACE為等邊三角形；②BE與CE之間的數(shù)量關(guān)系為________；,拓展應(yīng)用：如圖3，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(－，1)，點(diǎn)B是x軸正半軸上的一動(dòng)點(diǎn)，以AB為邊作等邊△ABC.當(dāng)C點(diǎn)在第一象限內(nèi)，且B(2，0)時(shí)，求C點(diǎn)的坐標(biāo)．,解：(1)BE＝CE.,由(1)結(jié)論可知，△CPA為等邊三角形．∴∠CAP＝60，CA＝PA.∵△ADE為等邊三角形，∴∠DAE＝60，AD＝AE.∴∠CAP＝∠DAE.∴∠CAP－∠DAB＝∠DAE－∠DAB.∴∠CAD＝∠PAE.在△ACD和△APE中，∴△ACD≌△APE.(SAS)．∴∠APE＝∠ACD＝90.∴EP⊥AB.∵P為AB的中點(diǎn)，∴AE＝BE.∵DE＝AE，∴BE＝DE.,(2)BE＝ED.證明：如圖2，連接EP，,(3)BE＝DE.,拓展應(yīng)用：方法一：如圖3，連接OA，OC.過點(diǎn)A作AH⊥x軸于點(diǎn)H.,方法二：【提示】如圖3，△AHB≌△BDC(AAS).∴DB＝AH＝1，CD＝BH＝2＋.∴OD＝2－1＝1.∴C點(diǎn)的坐標(biāo)是(1，2＋)．,∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為(－，1)，∴∠AOH＝30.由探究結(jié)論(3)可知，CO＝CB.∵O(0，0)，B(2，0)，∴點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為1.設(shè)C(1，m)．∵CO2＝CB2＝12＋m2，AB2＝12＋(2＋)2，AB＝CB，∴12＋m2＝12＋(2＋)2，∴m＝2＋.∴C點(diǎn)的坐標(biāo)是(1，2＋)．,圖3,3．(1)問題如圖1，在四邊形ABCD中，點(diǎn)P為AB上一點(diǎn)，∠DPC＝∠A＝∠B＝90，求證：ADBC＝APBP.(2)探究如圖2，在四邊形ABCD中，點(diǎn)P為AB上一點(diǎn)，當(dāng)∠DPC＝∠A＝∠B＝θ時(shí)，上述結(jié)論是否依然成立？說明理由．(3)應(yīng)用請(qǐng)利用(1)(2)獲得的經(jīng)驗(yàn)解決問題：如圖3，在△ABD中，AB＝6，AD＝BD＝5，點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度，由點(diǎn)A出發(fā)，沿邊AB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，且滿足∠DPC＝∠A，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(秒)，當(dāng)以D為圓心，以DC為半徑的圓與AB相切時(shí)，求t的值．,解：(1)證明：∵∠DPC＝∠A＝∠B＝90，∴∠ADP＋∠APD＝90，∠BPC＋∠APD＝90.∴∠ADP＝∠BPC.∴△ADP∽△BPC.∴∴ADBC＝APBP.,(2)結(jié)論ADBC＝APBP仍然成立．理由：∵∠BPD＝∠DPC＋∠BPC，∠BPD＝∠A＋∠ADP，∴∠DPC＋∠BPC＝∠A＋∠ADP.∵∠DPC＝∠A＝∠B＝θ，∴∠BPC＝∠ADP.∴△ADP∽△BPC.∴∴ADBC＝APBP.,∵AD＝BD＝5，AB＝6，∴AE＝BE＝3.由勾股定理，得DE＝4.∵以點(diǎn)D為圓心，DC為半徑的圓與AB相切，∴DC＝DE＝4.∴BC＝5－4＝1.又∵AD＝BD，∴∠A＝∠B.∴∠DPC＝∠A＝∠B.由(1)(2)獲得的經(jīng)驗(yàn)可知ADBC＝APBP，∴51＝t(6－t)，解得t1＝1，t2＝5.∴t的值為1秒或5秒．,(3)如圖3，過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E.,類型②與四邊形有關(guān)的探索、延伸與應(yīng)用,例2?[2018山西]綜合與實(shí)踐問題情境：在數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師出示了這樣一個(gè)問題：,反思交流：(1)①上述證明過程中的“依據(jù)1”“依據(jù)2”分別是指什么？②試判斷圖1中的點(diǎn)A是否在線段GF的垂直平分線上，請(qǐng)直接回答，不必證明；,自主解答：(1)①依據(jù)1：兩條直線被一組平行線所截，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例(或平行線分線段成比例)；依據(jù)2：等腰三角形頂角的平分線，底邊上的中線及底邊上的高互相重合(或等腰三角形的“三線合一”)．,②點(diǎn)A在線段GF的垂直平分線上．,(2)創(chuàng)新小組受到勤奮小組的啟發(fā)，繼續(xù)進(jìn)行探究，如圖2，連接CE，以CE為一邊在CE的左下方作正方形CEFG，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)G在線段BC的垂直平分線上，請(qǐng)你給出證明；,圖2,自主解答：(2)證明：如圖2，過點(diǎn)G作GH⊥BC于點(diǎn)H，,∵四邊形ABCD是矩形，點(diǎn)E在AB的延長(zhǎng)線上，∴∠CBE＝∠ABC＝∠GHC＝90.∴∠1＋∠2＝90.∵四邊形CEFG是正方形，∴CG＝CE，∠GCE＝90.∴∠1＋∠3＝90.∴∠2＝∠3.∴△GHC≌△CBE.∴HC＝BE.∵四邊形ABCD是矩形，∴AD＝BC.∵AD＝2AB，BE＝AB，∴BC＝2BE＝2HC.∴HC＝BH.∴GH垂直平分BC.∴點(diǎn)G在BC的垂直平分線上．,圖2,探索發(fā)現(xiàn)：(3)如圖3，連接CE，以CE為一邊在CE的右上方作正方形CEFG，可以發(fā)現(xiàn)點(diǎn)C，點(diǎn)B都在線段AE的垂直平分線上，除此之外，請(qǐng)觀察矩形ABCD和正方形CEFG的頂點(diǎn)與邊，你還能發(fā)現(xiàn)哪個(gè)頂點(diǎn)在哪條邊的垂直平分線上，請(qǐng)寫出一個(gè)你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，并加以證明．,自主解答：(3)結(jié)論：點(diǎn)F在BC邊的垂直平分線上．,證明：如圖3，過點(diǎn)F作FM⊥BC于點(diǎn)M，過點(diǎn)E作EN⊥FM于點(diǎn)N.,∴∠BMN＝∠ENM＝∠ENF＝90.∵四邊形ABCD是矩形，點(diǎn)E在AB的延長(zhǎng)線上，∴∠CBE＝∠ABC＝90.∴四邊形BENM為矩形．∴BM＝EN.∠BEN＝90.∴∠1＋∠2＝90.∵四邊形CEFG為正方形，∴EF＝EC，∠CEF＝90.,圖3,∴∠2＋∠3＝90.∴∠1＝∠3.∠CBE＝∠FNE＝90.∴△ENF≌△EBC.∴NE＝BE，BM＝BE.∵四邊形ABCD是矩形，∴AD＝BC.∵AD＝2AB，AB＝BE，∴BC＝2BM.∴BM＝MC.∴FM垂直平分BC.∴點(diǎn)F在BC邊的垂直平分線上．,滿分技法?探索、延伸與應(yīng)用型問題常常用到以下方法與思想：①特殊值：利用特殊點(diǎn)、特殊數(shù)量、特殊線段、特殊位置等進(jìn)行歸納、概括，從特殊到一般，從而得出規(guī)律；②分類討論法：當(dāng)命題的題設(shè)和結(jié)論不唯一，難以統(tǒng)一解答時(shí)，則需要按可能出現(xiàn)的情況做到既不重復(fù)也不遺漏，分門別類加以討論求解，將不同結(jié)論綜合歸納得出正確結(jié)果；③類比猜想法：即由一個(gè)問題的結(jié)論或解決方法類比猜想出另一個(gè)類似問題的結(jié)論或解決方法，并加以嚴(yán)密的論證．,【滿分必練】,4．[2018益陽(yáng)]如圖1，在矩形ABCD中，E是AD的中點(diǎn)，以點(diǎn)E為直角頂點(diǎn)的直角三角形EFG的兩邊EF，EG分別過點(diǎn)B，C，∠F＝30.(1)求證：BE＝CE；(2)將△EFG繞點(diǎn)E按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，當(dāng)旋轉(zhuǎn)到EF與AD重合時(shí)停止轉(zhuǎn)動(dòng)，若EF，EG分別與AB，BC相交于點(diǎn)M，N(如圖2)．①求證：△BEM≌△CEN；②若AB＝2，求△BMN面積的最大值；③當(dāng)旋轉(zhuǎn)停止時(shí)，點(diǎn)B恰好在FG上(如圖3)，求sin∠EBG的值．,圖1,圖2,圖3,解：(1)證明：如圖1，∵四邊形ABCD是矩形，∴AB＝DC，∠A＝∠D＝90.又∵AE＝DE，∴△ABE≌△DCE.∴BE＝CE.,(2)①證明：如圖2，∵∠AEB＋∠ABE＝90，∠AEB＋∠CED＝90，∴∠ABE＝∠CED.∵∠CED＝∠ECB，∴∠ABE＝∠ECB.∵∠BEC＝∠MEN＝90，∴∠BEM＝∠CEN.由(1)得BE＝CE，∴△BEM≌△CEN.,圖1,圖2,②由(1)得△ABE≌△DCE，∴∠BEA＝∠CED.∵∠ABE＝∠CED，∴∠BEA＝∠ABE.∴AB＝AE＝DE＝2.設(shè)BM＝x，由①得△BEM≌△CEN，∴BM＝CN＝x.∴BN＝4－x，∴△BMN面積＝x(4－x)＝－(x－2)2＋2，又∵0≤x≤2，∴當(dāng)x＝2時(shí)，△BMN面積最大，最大值為2.,②折法一：如圖4－1，沿著過點(diǎn)D的直線翻折，使點(diǎn)A落在CD邊上的點(diǎn)Q處，此時(shí)折痕與AB的交點(diǎn)即為P；折法二：如圖4－2，沿著過點(diǎn)C的直線折疊，使點(diǎn)B落在CE邊上的點(diǎn)Q處，此時(shí)，折痕與AB的交點(diǎn)即為P.,又∵PH＝CP，∠A＝∠B＝90.∴Rt△APH≌Rt△BCP(HL)，∴∠APH＝∠BCP.又∵Rt△BCP中，∠BCP＋∠BPC＝90，∴∠APH＋∠BPC＝90.∴∠CPH＝90.,