2019-2020年九年級數(shù)學競賽輔導講座 第六講 轉(zhuǎn)化—可化為一元二次方程的方程

2019-2020年九年級數(shù)學競賽輔導講座第六講轉(zhuǎn)化一可化為一元二次方程的方程數(shù)學(家)特有的思維方式是什么?若從量的方面考慮，通常運用符號進行形式化抽象，在一個概念和公理體系內(nèi)實施推理計算，若從“轉(zhuǎn)化”這個側(cè)面又該如何回答?匈牙利女數(shù)學家路莎彼得在無窮的玩藝一書中寫道：“作為數(shù)學家的思維來說是很典型的，他們往往不對問題進行正面攻擊，而是不斷地將它變形，直至把它轉(zhuǎn)化為已經(jīng)能夠解決的問題”轉(zhuǎn)化與化歸是解分式方程和高次方程(次數(shù)高于二次的整式方程)的基本思想解分式方程，通過去分母和換元；解高次方程，利用因式分解和換元，轉(zhuǎn)化為一元二次方程或一元一次方程去求解【例題求解】【例1】若2x2-5x+-5=0，貝y的值為.2x25x+1思路點撥視為整體，令，用換元法求出即可【例2】若方程有兩個不相等的實數(shù)根，貝實數(shù)的取值范圍是()ABCD思路點撥通過平方有理化，將無理方程根的個數(shù)討論轉(zhuǎn)化為一元二次方程實根個數(shù)的討論，但需注意注的隱含制約注：轉(zhuǎn)化與化歸是一種重要的數(shù)學思想，在數(shù)學學習與解數(shù)學題中，我們常常用到下列不同途徑的轉(zhuǎn)化：實際問題轉(zhuǎn)化大為數(shù)學問題，數(shù)與形的轉(zhuǎn)化，常量與變量的轉(zhuǎn)化，一般與特殊的轉(zhuǎn)化等解下列方程：(1)x2+3x+蘭土4=耳;2x2+2x83x2+9x12(2) ；(3)按照常規(guī)思路求解繁難，應恰當轉(zhuǎn)化，對于(1)，利用倒數(shù)關(guān)系換元；對于(2)，從受到啟示；對于(3)，設(shè)，貝可導出、的結(jié)果注：換元是建立在觀察基礎(chǔ)上的，換元不拘泥于一元代換，可根據(jù)問題的特點，進行多元代換【例4】若關(guān)于的方程只有一個解(相等的解也算作一個)，試求的值與方程的解思路點撥先將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，把分式方程解的討論轉(zhuǎn)化為整式方程的解的討論，“只有一個解”內(nèi)涵豐富，在全面分析的基礎(chǔ)上求出的值注：分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程不一定是等價轉(zhuǎn)化，有可能產(chǎn)生增根，分式方程只有一個解可能足轉(zhuǎn)化后所得的整式方程只有一個解，也可能是轉(zhuǎn)化后的整式方程有兩個解，而其中一個是原方程的增根，故分式方程的解的討論，要運用判別式、增根等知識全面分析【例5】已知關(guān)于的方程有兩個根相等，求的值思路點撥通過換元可得到兩個關(guān)于的含參數(shù)的一元二次方程，利用判別式求出的值注：運用根的判別式延伸到分式方程、高次方程根的情況的探討，是近年中考、競賽中一類新題型，盡管這種探討仍以一元二次方程的根為基礎(chǔ)，但對轉(zhuǎn)換能力、思維周密提出了較高要求學歷訓練1若關(guān)于的方程有增根，則的值為;若關(guān)于的方程曾=一1的解為正數(shù)，則的取值范圍是2. 解方程+=得.x(x一1)x(x+1)(x+1)(x+2)(x+9)(x+10)123. 已知方程有一個根是2,貝4.4. 方程的全體實數(shù)根的積為()A.60B.一60C.10D.105解關(guān)于的方程不會產(chǎn)生增根，則是的值是()A.2B.1C.不為2或一2D.無法確定6已知實數(shù)滿足，那么的值為()A.1或一2B.一1或2C.1D.一27.(1)如表，方程1、方程2、方程3、，是按照一定規(guī)律排列的一列方程，解方程1,并將它的解填在表中的空格處；(2)若方程()的解是=6，=10，求、的值該方程是不是(1)中所給的一列方程中的一個方程?如果是，它是第幾個方程?(3) 請寫出這列方程中的第個方程和它的解，并驗證所寫出的解適合第個方程序號方程方程的解1=2=4=63=5=88解下列方程(1)；(2)111cx2+11x8x2+2x8x213x8(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)=120；(4) 9.已知關(guān)于的方程，其中為實數(shù)，當m為何值時，方程恰有三個互不相等的實數(shù)根?求出這三個實數(shù)根10.方程的解是.11.解方程+=得.x2+xx2+3x+2x2+5x+6x2+7x+122112.方程的解是.13.若關(guān)于的方程恰有兩個不同的實數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍.14解下列方程：(1)；(2) (x2+3x-4)2+(2x2-7x+6)2=(3x2-4x+2)2；(3) ；(4)15當取何值時，方程有負數(shù)解?16已知，求的值17.已知：如圖，四邊形ABCD為菱形，AF丄上AD交BD于E點，交BC于點F.求證：AD2=DEXDB；(2)過點E作EG丄AE交AB于點G,若線段BE、DE(BEDE)的長為方程(m>0)的兩個根，且菱形ABCD的面積為，求EG的長.參考答案轉(zhuǎn)化一可化為一元二次方程的方程【例題求解】例10或2設(shè)2+5乂=$,則）+占丁_5=o.解得y=l,y=3.例2選C40且也+孔0、4比0（2）（工$十3才一4F+（2丁27；t+6）2=（工？+3«r4）+（2卡一7z+6）了，解得X）=*-4x2=1x3=2,x4=-例3（1）設(shè)壬壬=則原方程化為=解得4=_1,工2=_4,松4=§士才+4oy1ZL（2）設(shè)1999一工=a,工一1998=5,1999丁+文一1998=1,則原方程疋+夕=（q+方尸，得肋=0,即（1999一工）（工一1998）=0°孫=1999，吐=1998（3）設(shè)，=¥看，則心（工+丿）=42又心+（丁+，）=牢芋+¥¥=13乙八工+y是方程T13r+42=0的兩（z+y=7（工+y=6,根解得"=6,®=7,即或，進而可得：孫二1,工2=6,及=3+血5=3施xy6xy=l例4原方程化為滋2_3力+2文一1=0（海）（1）當怡=0時原方程有惟一解2=寺、（2）當&H0時，方程（丿厶=5段+441）2>0,總冇兩個不同的實數(shù)根，山題意知必有一個根是原方程的增根，從原方程知增根只能是0或1,顯然0不是（丿的根，故工=1,得忑=*例5設(shè)欠+予=則'一5+6=0,解得，1=2,加=3x22.r+a=0°jr23j-+a=0若有兩個相等的實根，則】=4一也=0,得4=1;若有兩個相等的實根則A，-9-4a=0,得a2=y,若、冇q公共根，則，一27+“=一3工+4,得工=0.不合題意，舍去，故a=l或才.【學力訓練】解得工嚴二9專/化嚴-土遊'1.l；a<2且2方程中每個分式可分拆變形，得占一#=吉3.加=一14.A5.C6.A7.（1）4=3山2=4$（2）°=6+2血"=62血,原方程為吐蟲+_=1,不是表列的系列方程中的一個；x工一（62J2）（3）第n個方程為25土藝=1（并為自然數(shù)），解得孫=刃+2口2=25+1）.JTJC（Wr1）c八、才？+工+1.（工？+幺+1）+云+1_19I2+jr+11、l*+1一191一一3士島8-（1）PT7T1=石，”+十1+卡+二+=石'4=1'去,3=j；（2）設(shè)jt2+2x8>,解得j»=9jt或，=一5工，進而得初=8,工2=1，=8,g=1（3）<r）=6,工2=】；（4）孫=*,j*2=2.9.設(shè)分+2才=$,則原方程可化為刁一2加+加2i=o,解得刃=加+1,乂=加一1.:.x2+2xw1=0，工？+2工一刃+1=0從而】=4加+8仏2=4加中應有一個等于零，一個大于零.經(jīng)討論當A,=0即加=0時，$>0,此時方程有兩個相等實根工=一1,方程有兩個不等實根，工=一1士妊10號血11.4=3??？=712.工=#13“工0或口=一尋注意（目嚴，原方程有兩相等實根或兩負數(shù)實根.9514（1）（6匸十7），（6乂+8）（6/十6）=72,解得4=一韋薛J+2*壬=3,即（召）'+2.壬=3.解得叫=呼.（4）勸=*,j；z=#.15.原方程去分母整理"得2-6x+3-«=O（1）當方程的兩個解j；i，可都是負數(shù)時，.勸十蒼=3,.'.方程不存在兩個負數(shù)解.（2）方程的兩個解心，比中有一個解是負數(shù)時，可得，即|12+80,0解得Ijcxi<03a<0,TQ2）（_r+l）HO,.：zM：2R£工一1,即ciH1且a云11.故當a>3且aHll時，原方程有一個負數(shù)解，16方程中各項系數(shù)關(guān)于中間項對稱，工H0,在方程兩邊同除以尹得（分十寺）一5G+手）十8=0,即G+W一5（工+片）+6=0解得x+=2或z十=3.17.（1）連AC,交ED于Hd正明EADmAAHD.(2)DE=27n,BE=zM,BD=3加BE_1BDT=又DH=4-BD斗加9AD=7Tw,3mz=+?n2”=2,EG=哼加=馬m匕厶nr433