【高考前三個月復習數(shù)學理科不等式與線性劃】專題2 第4練

第4練用好基本不等式題型分析高考展望基本不等式是解決函數(shù)值域、最值、不等式證明、參數(shù)范圍問題的有效工具，在高考中經(jīng)常考查，有時也會對其單獨考查.題目難度為中等偏上.應用時，要注意“拆、拼、湊”等技巧，特別要注意應用條件，只有具備公式應用的三個條件時，才可應用，否則可能會導致結(jié)果錯誤.常考題型精析題型一利用基本不等式求最大值、最小值1.利用基本不等式求最值的注意點(1)在運用基本不等式求最值時，必須保證“一正，二定，三相等”，湊出定值是關(guān)鍵.(2)若兩次連用基本不等式，要注意等號的取得條件的一致性，否則就會出錯.2.結(jié)構(gòu)調(diào)整與應用基本不等式基本不等式在解題時一般不能直接應用，而是需要根據(jù)已知條件和基本不等式的“需求”尋找“結(jié)合點”，即把研究對象化成適用基本不等式的形式.常見的轉(zhuǎn)化方法有(1)xxaa (x>a).(2)若1，則mxny(mxny)1(mxny)manb2(字母均為正數(shù)).例1(1)(2015山東)定義運算“”：xy(x，yR，xy0)，當x0，y0時，xy(2y)x的最小值為_.(2)函數(shù)y的最大值為_.點評求條件最值問題一般有兩種思路：一是利用函數(shù)單調(diào)性求最值；二是利用基本不等式.在利用基本不等式時往往都需要變形，變形的原則是在已知條件下通過變形湊出基本不等式應用的條件，即“和”或“積”為定值.等號能夠取得.變式訓練1(2015重慶)設(shè)a，b0，ab5，則的最大值為_.題型二基本不等式的綜合應用例2(1)(2015深圳模擬)某車間分批生產(chǎn)某種產(chǎn)品，每批的生產(chǎn)準備費用為800元，若每批生產(chǎn)x件，則平均倉儲時間為天，且每件產(chǎn)品每天的倉儲費用為1元，為使平均到每件產(chǎn)品的生產(chǎn)準備費用與倉儲費用之和最小，每批應生產(chǎn)產(chǎn)品()A.60件 B.80件C.100件 D.120件(2)如圖所示，在直角坐標系xOy中，點P(1，)到拋物線C：y22px(p>0)的準線的距離為.點M(t,1)是C上的定點，A，B是C上的兩動點，且線段AB的中點Q(m，n)在直線OM上.求曲線C的方程及t的值；記d，求d的最大值.點評基本不等式及不等式性質(zhì)應用十分廣泛，在最優(yōu)化實際問題，平面幾何問題，代數(shù)式最值等方面都要用到基本不等式，應用時一定要注意檢驗“三個條件”是否具備.變式訓練2(2015陜西)設(shè)f(x)ln x,0ab，若pf()，qf，r(f(a)f(b)，則下列關(guān)系式中正確的是()A.qrp B.qrpC.prq D.prq高考題型精練1.(2014重慶)若log4(3a4b)log2，則ab的最小值是()A.62 B.72C.64 D.742.(2015濟南模擬)已知x>1，y>1，且ln x，ln y成等比數(shù)列，則xy()A.有最大值e B.有最大值C.有最小值e D.有最小值3.小王從甲地到乙地往返的時速分別為a和b(a<b)，其全程的平均時速為v，則()A.a<v< B.vC.<v< D.v4.若函數(shù)f(x)x(x>2)在xa處取最小值，則a等于()A.1 B.1C.3 D.45.(2015蘭州模擬)一個籃球運動員投籃一次得3分的概率為a，得2分的概率為b，不得分的概率為c(a、b、c(0,1)，已知他投籃一次得分的均值為2，則的最小值為()A. B. C. D.6.(2015北京海淀區(qū)模擬)已知a>0，b>0，若不等式0恒成立，則m的最大值為()A.4 B.16C.9 D.37.已知ma(a>2)，nx2(x)，則m與n之間的大小關(guān)系為_.8.已知x，y(0，)，2x3y，若 (m>0)的最小值為3，則m的值為_.9.(2015天津)已知a0，b0，ab8，則當a的值為_時，log2alog2(2b)取得最大值.10.(2014湖北)某項研究表明：在考慮行車安全的情況下，某路段車流量F(單位時間內(nèi)經(jīng)過測量點的車輛數(shù)，單位：輛/時)與車流速度v(假設(shè)車輛以相同速度v行駛，單位：米/秒)，平均車長l(單位：米)的值有關(guān)，其公式為F .(1)如果不限定車型，l6.05，則最大車流量為_輛/時；(2)如果限定車型，l5，則最大車流量比(1)中的最大車流量增加_輛/時.11.(1)已知0<x<，求y2x5x2的最大值；(2)求函數(shù)y (x>1)的最小值.12.如圖，建立平面直角坐標系xOy，x軸在地平面上，y軸垂直于地平面，單位長度為1千米，某炮位于坐標原點.已知炮彈發(fā)射后的軌跡在方程ykx(1k2)x2(k>0)表示的曲線上，其中k與發(fā)射方向有關(guān).炮的射程是指炮彈落地點的橫坐標.(1)求炮的最大射程；(2)設(shè)在第一象限有一飛行物(忽略其大小)，其飛行高度為3.2千米，試問它的橫坐標a不超過多少時，炮彈可以擊中它？請說明理由.答案精析第4練用好基本不等式常考題型精析例1 (1)(2)解析(1)由題意，得xy(2y)x，當且僅當xy時取等號.(2)令t0，則xt21，所以y.當t0，即x1時，y0；當t>0，即x>1時，y，因為t24(當且僅當t2時取等號)，所以y，即y的最大值為(當t2，即x5時y取得最大值).變式訓練13 a，b0，ab5，()2ab42ab4()2()2ab4ab418，當且僅當a，b時，等號成立，則3，即最大值為3.例2(1) B 平均每件產(chǎn)品的費用為y220，當且僅當，即x80時取等號.所以每批應生產(chǎn)產(chǎn)品80件，才能使平均到每件產(chǎn)品的生產(chǎn)準備費用與倉儲費用之和最小.(2)解y22px(p>0)的準線x，1()，p，拋物線C的方程為y2x.又點M(t,1)在曲線C上，t1.由知，點M(1,1)，從而nm，即點Q(m，m)，依題意，直線AB的斜率存在，且不為0，設(shè)直線AB的斜率為k(k0).且A(x1，y1)，B(x2.y2)，由得(y1y2)(y1y2)x1x2，故k2m1，直線AB的方程為ym(xm)，即x2my2m2m0.由消去x，整理得y22my2m2m0，4m4m2>0，y1y22m，y1y22m2m.從而|AB| |y1y2|2d2m(1m)1，當且僅當m1m，即m時，上式等號成立，又m滿足4m4m2>0.d的最大值為1.變式訓練2C 0ab，又f(x)ln x在(0，)上為增函數(shù)，故ff()，即qp.又r(f(a)f(b)(ln aln b)ln aln bln(ab)f()p.故prq.選C.高考題型精練1.D 由題意得所以又log4(3a4b)log2，所以log4(3a4b)log4ab，所以3a4bab，故1.所以ab(ab)()77274，當且僅當時取等號.故選D.2.C x>1，y>1，且ln x，ln y成等比數(shù)列，ln xln y2，ln xln yln xy1xye.3.A 設(shè)甲、乙兩地相距s，則小王往返兩地用時為，從而v.0<a<b，<，>a，<，即<，a<v<.4.C f(x)xx22.x>2，x2>0.f(x)x222 24，當且僅當x2，即x3時，“”成立.又f(x)在xa處取最小值.a3.5.D 由已知得，3a2b0c2，即3a2b2，其中0<a<，0<b<1.又32，當且僅當，即a2b時取“等號”，又3a2b2，即當a，b時，的最小值為，故選D.6.B 因為a>0，b>0，所以由0恒成立得m()(3ab)10恒成立.因為2 6，當且僅當ab時等號成立，所以1016，所以m16，即m的最大值為16，故選B.7.mn ma(a2)24(a>2)，當且僅當a3時，等號成立.由x得x2，nx24即n(0,4，mn.)8.4解析由2x3y得xy3，則(xy)(1m2)，(1m2)3，即(1)29，解得m4.9.4解析log2alog2(2b)log2a(1log2b)2224，當且僅當log2a1log2b，即a2b時，等號成立，此時a4，b2.10.(1)1 900(2)100解析(1)當l6.05時，F(xiàn)1 900.當且僅當v11 米/秒時等號成立，此時車流量最大為1 900輛/時.(2)當l5時，F(xiàn)2 000.當且僅當v10 米/秒時等號成立，此時車流量最大為2 000 輛/時.比(1)中的最大車流量增加100 輛/時.11.解(1)y2x5x2x(25x)5x(25x).0<x<，0<5x<2,25x>0，5x(25x)()21，y，當且僅當5x25x，即x時，ymax.(2)設(shè)x1t，則xt1 (t>0)，yt5259.當且僅當t，即t2，且此時x1時，取等號，ymin9.12.解(1)令y0，得kx(1k2)x20，由實際意義和題設(shè)條件知x>0，k>0，故x10，當且僅當k1時取等號.所以炮的最大射程為10千米.(2)因為a>0，所以炮彈可擊中目標存在k>0，使3.2ka(1k2)a2成立關(guān)于k的方程a2k220aka2640有正根判別式(20a)24a2(a264)0a6.所以當a不超過6千米時，可擊中目標.