2020高中數(shù)學(xué) 2-3數(shù)學(xué)歸納法同步檢測(cè) 新人教B版選修2-2

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1、選修2-2 2. 3數(shù)學(xué)歸納法 一、選擇題 1．用數(shù)學(xué)歸納法證明1＋＋＋…＋1)時(shí)，第一步應(yīng)驗(yàn)證不等式(　　) A．1＋<2　　　　　　 B．1＋＋＜2 C．1＋＋＜3 D．1＋＋＋＜3 [答案]　B [解析]　∵n∈N*，n＞1，∴n取第一個(gè)自然數(shù)為2，左端分母最大的項(xiàng)為＝，故選B. 2．用數(shù)學(xué)歸納法證明1＋a＋a2＋…＋an＋1＝(n∈N*，a≠1)，在驗(yàn)證n＝1時(shí)，左邊所得的項(xiàng)為(　　) A．1 B．1＋a＋a2 C．1＋a D．1＋a＋a2＋a3 [答案]　B [解析]　因?yàn)楫?dāng)n＝1時(shí)，an＋1＝a2，所以此時(shí)式子左邊＝1＋a＋a

2、2.故應(yīng)選B. 3．設(shè)f(n)＝＋＋…＋(n∈N*)，那么f(n＋1)－f(n)等于(　　) A. B. C.＋ D.－ [答案]　D [解析]　f(n＋1)－f(n) ＝ －＝＋－ ＝－. 4．某個(gè)命題與自然數(shù)n有關(guān)，若n＝k(k∈N*)時(shí)，該命題成立，那么可推得n＝k＋1時(shí)該命題也成立．現(xiàn)在已知當(dāng)n＝5時(shí)，該命題不成立，那么可推得(　　) A．當(dāng)n＝6時(shí)該命題不成立 B．當(dāng)n＝6時(shí)該命題成立 C．當(dāng)n＝4時(shí)該命題不成立 D．當(dāng)n＝4時(shí)該命題成立 [答案]　C [解析]　原命題正確，則逆否命題正確．故應(yīng)選C. 5．用數(shù)學(xué)歸納法證明命題“當(dāng)n是正奇數(shù)時(shí)，xn

3、＋yn能被x＋y整除”，在第二步的證明時(shí)，正確的證法是(　　) A．假設(shè)n＝k(k∈N*)，證明n＝k＋1時(shí)命題也成立 B．假設(shè)n＝k(k是正奇數(shù))，證明n＝k＋1時(shí)命題也成立 C．假設(shè)n＝k(k是正奇數(shù))，證明n＝k＋2時(shí)命題也成立 D．假設(shè)n＝2k＋1(k∈N)，證明n＝k＋1時(shí)命題也成立 [答案]　C [解析]　∵n為正奇數(shù)，當(dāng)n＝k時(shí)，k下面第一個(gè)正奇數(shù)應(yīng)為k＋2，而非k＋1.故應(yīng)選C. 6．凸n邊形有f(n)條對(duì)角線，則凸n＋1邊形對(duì)角線的條數(shù)f(n＋1)為(　　) A．f(n)＋n＋1 B．f(n)＋n C．f(n)＋n－1 D．f(n)＋n－2 [答案]　

4、C [解析]　增加一個(gè)頂點(diǎn)，就增加n＋1－3條對(duì)角線，另外原來(lái)的一邊也變成了對(duì)角線，故f(n＋1)＝f(n)＋1＋n＋1－3＝f(n)＋n－1.故應(yīng)選C. 7．用數(shù)學(xué)歸納法證明“對(duì)一切n∈N*，都有2n>n2－2”這一命題，證明過(guò)程中應(yīng)驗(yàn)證(　　) A．n＝1時(shí)命題成立 B．n＝1，n＝2時(shí)命題成立 C．n＝3時(shí)命題成立 D．n＝1，n＝2，n＝3時(shí)命題成立 [答案]　D [解析]　假設(shè)n＝k時(shí)不等式成立，即2k>k2－2， 當(dāng)n＝k＋1時(shí)2k＋1＝2·2k>2(k2－2) 由2(k2－2)≥(k－1)2－4?k2－2k－3≥0 ?(k＋1)(k－3)≥0?k≥3，因此需

5、要驗(yàn)證n＝1,2,3時(shí)命題成立．故應(yīng)選D. 8．已知f(n)＝(2n＋7)·3n＋9，存在自然數(shù)m，使得對(duì)任意n∈N*，都能使m整除f(n)，則最大的m的值為(　　) A．30 B．26 C．36 D．6 [答案]　C [解析]　因?yàn)閒(1)＝36，f(2)＝108＝3×36，f(3)＝360＝10×36，所以f(1)，f(2)，f(3)能被36整除，推測(cè)最大的m值為36. 9．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝n2an(n≥2)，而a1＝1，通過(guò)計(jì)算a2、a3、a4，猜想an＝(　　) A. B. C. D. [答案]　B [解析]　由Sn＝n2an知Sn＋1＝(n

6、＋1)2an＋1 ∴Sn＋1－Sn＝(n＋1)2an＋1－n2an ∴an＋1＝(n＋1)2an＋1－n2an ∴an＋1＝an　(n≥2)． 當(dāng)n＝2時(shí)，S2＝4a2，又S2＝a1＋a2，∴a2＝＝ a3＝a2＝，a4＝a3＝. 由a1＝1，a2＝，a3＝，a4＝ 猜想an＝，故選B. 10．對(duì)于不等式≤n＋1(n∈N＋)，某學(xué)生的證明過(guò)程如下： (1)當(dāng)n＝1時(shí)，≤1＋1，不等式成立． (2)假設(shè)n＝k(k∈N＋)時(shí)，不等式成立，即

7、正確 C．歸納假設(shè)不正確 D．從n＝k到n＝k＋1的推理不正確 [答案]　D [解析]　n＝1的驗(yàn)證及歸納假設(shè)都正確，但從n＝k到n＝k＋1的推理中沒(méi)有使用歸納假設(shè)，而通過(guò)不等式的放縮法直接證明，不符合數(shù)學(xué)歸納法的證題要求．故應(yīng)選D. 二、填空題 11．用數(shù)學(xué)歸納法證明“2n＋1≥n2＋n＋2(n∈N*)”時(shí)，第一步的驗(yàn)證為_(kāi)_______． [答案]　當(dāng)n＝1時(shí)，左邊＝4，右邊＝4，左≥右，不等式成立 [解析]　當(dāng)n＝1時(shí)，左≥右，不等式成立， ∵n∈N*，∴第一步的驗(yàn)證為n＝1的情形． 12．已知數(shù)列，，，…，，通過(guò)計(jì)算得S1＝，S2＝，S3＝，由此可猜測(cè)Sn＝____

8、____. [答案]　 [解析]　解法1：通過(guò)計(jì)算易得答案． 解法2：Sn＝＋＋＋…＋ ＝＋＋＋…＋ ＝1－＝. 13．對(duì)任意n∈N*,34n＋2＋a2n＋1都能被14整除，則最小的自然數(shù)a＝________. [答案]　5 [解析]　當(dāng)n＝1時(shí)，36＋a3能被14整除的數(shù)為a＝3或5，當(dāng)a＝3時(shí)且n＝3時(shí)，310＋35不能被14整除，故a＝5. 14．用數(shù)學(xué)歸納法證明命題：1×4＋2×7＋3×10＋…＋n(3n＋1)＝n(n＋1)2. (1)當(dāng)n0＝________時(shí)，左邊＝____________，右邊＝______________________；當(dāng)n＝k時(shí)，等式左邊

9、共有________________項(xiàng)，第(k－1)項(xiàng)是__________________． (2)假設(shè)n＝k時(shí)命題成立，即_____________________________________成立． (3)當(dāng)n＝k＋1時(shí)，命題的形式是______________________________________；此時(shí)，左邊增加的項(xiàng)為_(kāi)_____________________． [答案]　(1)1；1×(3×1＋1)；1×(1＋1)2；k； (k－1)[3(k－1)＋1] (2)1×4＋2×7＋3×10＋…＋k(3k＋1)＝k(k＋1)2 (3)1×4＋2×7＋…＋(k＋1)

10、[3(k＋1)＋1] ＝(k＋1)[(k＋1)＋1]2；(k＋1)[3(k＋1)＋1] [解析]　由數(shù)學(xué)歸納法的法則易知． 三、解答題 15．求證：12－22＋32－42＋…＋(2n－1)2－(2n)2＝－n(2n＋1)(n∈N*)． [證明]　①n＝1時(shí)，左邊＝12－22＝－3，右邊＝－3，等式成立． ②假設(shè)n＝k時(shí)，等式成立，即12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＝－k(2k＋1)2. 當(dāng)n＝k＋1時(shí)，12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＋(2k＋1)2－(2k＋2)2＝－k(2k＋1)＋(2k＋1)2－(2k＋2)2＝－k(2k＋1)－(

11、4k＋3)＝－(2k2＋5k＋3)＝－(k＋1)[2(k＋1)＋1]，所以n＝k＋1時(shí)，等式也成立． 由①②得，等式對(duì)任何n∈N*都成立． 16．求證：＋＋＋…＋>(n≥2)． [證明]　①當(dāng)n＝2時(shí)，左＝>0＝右， ∴不等式成立． ②假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥2，k∈N*)時(shí)，不等式成立． 即＋＋…＋>成立． 那么n＝k＋1時(shí)，＋＋…＋ ＋＋…＋ >＋＋…＋>＋＋＋…＋ ＝＋＝， ∴當(dāng)n＝k＋1時(shí)，不等式成立． 據(jù)①②可知，不等式對(duì)一切n∈N*且n≥2時(shí)成立． 17．在平面內(nèi)有n條直線，其中每?jī)蓷l直線相交于一點(diǎn)，并且每三條直線都不相交于同一點(diǎn)． 求證：這n條直線將它們所在

12、的平面分成個(gè)區(qū)域． [證明]　(1)n＝2時(shí)，兩條直線相交把平面分成4個(gè)區(qū)域，命題成立． (2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥2)時(shí)，k條直線將平面分成塊不同的區(qū)域，命題成立． 當(dāng)n＝k＋1時(shí)，設(shè)其中的一條直線為l，其余k條直線將平面分成塊區(qū)域，直線l與其余k條直線相交，得到k個(gè)不同的交點(diǎn)，這k個(gè)點(diǎn)將l分成k＋1段，每段都將它所在的區(qū)域分成兩部分，故新增區(qū)域k＋1塊． 從而k＋1條直線將平面分成＋k＋1＝塊區(qū)域． 所以n＝k＋1時(shí)命題也成立． 由(1)(2)可知，原命題成立． 18．(2020·衡水高二檢測(cè))試比較2n＋2與n2的大小(n∈N*)，并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論． [分析]　由

13、題目可獲取以下主要信息： ①此題選用特殊值來(lái)找到2n＋2與n2的大小關(guān)系； ②利用數(shù)學(xué)歸納法證明猜想的結(jié)論． 解答本題的關(guān)鍵是先利用特殊值猜想． [解析]　當(dāng)n＝1時(shí)，21＋2＝4>n2＝1， 當(dāng)n＝2時(shí)，22＋2＝6>n2＝4， 當(dāng)n＝3時(shí)，23＋2＝10>n2＝9， 當(dāng)n＝4時(shí)，24＋2＝18>n2＝16， 由此可以猜想， 2n＋2>n2(n∈N*)成立 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明： (1)當(dāng)n＝1時(shí)， 左邊＝21＋2＝4，右邊＝1， 所以左邊>右邊， 所以原不等式成立． 當(dāng)n＝2時(shí)，左邊＝22＋2＝6， 右邊＝22＝4，所以左邊>右邊； 當(dāng)n＝3時(shí)，左邊＝23＋2＝10，右邊＝32＝9， 所以左邊>右邊． (2)假設(shè)n＝k時(shí)(k≥3且k∈N*)時(shí)，不等式成立， 即2k＋2>k2.那么n＝k＋1時(shí)， 2k＋1＋2＝2·2k＋2＝2(2k＋2)－2>2·k2－2. 又因：2k2－2－(k＋1)2＝k2－2k－3 ＝(k－3)(k＋1)≥0， 即2k2－2≥(k＋1)2，故2k＋1＋2>(k＋1)2成立． 根據(jù)(1)和(2)，原不等式對(duì)于任何n∈N*都成立．