《橢圓及其標準方程》.ppt

了解橢圓的實際背景 經(jīng)歷從具體情境中抽象出橢圓的過程 橢圓標準方程的推導與化簡過程 掌握橢圓的定義 標準方程及幾何圖形 2 2 1橢圓及其標準方程 2 2橢圓 課標要求 核心掃描 利用定義法 待定系數(shù)法求橢圓的標準方程 重點 會求簡單的與橢圓相關的軌跡問題 難點 1 2 1 2 生活中有橢圓 生活中用橢圓 一 認識橢圓 二 動手試驗 1 取一條一定長的細繩 2 把它的兩端用圖釘固定在畫板上 3 用鉛筆尖把繩子拉直 使筆尖在紙板上慢慢移動 畫出什么圖形 橢圓的定義平面內與兩個定點F1 F2的 的點的軌跡叫做橢圓 這兩個定點叫做橢圓的 叫做橢圓的焦距 想一想 在橢圓定義中 將 大于 F1F2 改為 等于 F1F2 或 小于 F1F2 的常數(shù) 其他條件不變 點的軌跡是什么 提示當距離之和等于 F1F2 時 動點的軌跡就是線段F1F2 當距離之和小于 F1F2 時 動點的軌跡不存在 自學導引 1 距離之和等于常數(shù) 大于 F1F2 焦點 兩焦點間的距離 橢圓的標準方程 a b 0 a b 0 c 0 c 0 0 c 0 c a2 b2 2 嘗試應用 根據(jù)下列橢圓方程 寫出a b c的值 并指出焦點的坐標 1 2 焦點坐標為 1 2 4 3 3 4 5 試一試 已知橢圓的標準方程中a 5 b 4 則橢圓的標準方程是什么 方法技巧分類討論思想在橢圓中的應用 在本節(jié)內容中 最常見的分類討論是因焦點的位置不確定而引起的討論 橢圓的一個頂點為A 2 0 其長軸長是短軸長的2倍 求橢圓的標準方程 思路分析 題目沒有指出焦點的位置 要考慮兩種位置 進行分類討論 方法技巧分類討論思想在橢圓中的應用 示例 方法點評本題要求根據(jù)橢圓上的點和長短軸之間的關系求標準方程 考查橢圓的標準方程和思考問題的全面性 橢圓的標準方程有兩個 給出一個頂點的坐標和對稱軸的位置 是不能確定橢圓的形狀的 因而要考慮兩種情況 橢圓的定義的應用 1 應用橢圓的定義和方程 把幾何問題轉化為代數(shù)問題 再結合代數(shù)知識解題 而橢圓的定義與三角形的兩邊之和聯(lián)系緊密 因此 涉及線段的問題常利用三角形兩邊之和大于第三邊這一結論處理 2 橢圓的定義式 PF1 PF2 2a 2a F1F2 在解題中經(jīng)常將 PF1 PF2 看成一個整體或者配方等靈活運用 名師點睛 1 橢圓標準方程的特點 1 a b c三個基本量滿足a2 b2 c2且a b 0 其中2a表示橢圓上的點到兩焦點的距離之和 可借助如圖所示的幾何特征理解并記憶 2 利用標準方程判斷焦點的位置的方法是看大小 即看x2 y2的分母的大小 哪個分母大 焦點就在哪個坐標軸上 較大的分母是a2 較小的分母是b2 2 求橢圓標準方程的方法 1 定義法 即根據(jù)橢圓的定義 判斷出軌跡是橢圓 然后寫出其方程 2 待定系數(shù)法 即設出橢圓的標準方程 再依據(jù)條件確定a2 b2的值 可歸納為 先定型 再定量 其一般步驟是 定類型 根據(jù)條件判斷焦點在x軸上還是在y軸上 還是兩種情況都有可能 并設橢圓方程為 確定未知量 根據(jù)已知條件列出關于a b c的方程組 解方程組 可得a b的值 然后代入所設方程即可 3 題型一用待定系數(shù)法求橢圓的標準方程 求適合下列條件的橢圓的標準方程 1 兩個焦點的坐標分別是 4 0 4 0 橢圓上一點P到兩焦點距離的和是10 2 焦點在y軸上 且經(jīng)過兩個點 0 2 和 1 0 例1 思路探索 對于 1 2 可直接用待定系數(shù)法設出方程求解 但要注意焦點位置 對于 3 由于題中條件不能確定橢圓焦點在哪個坐標軸上 所以應分類討論求解 為了避免討論 還可以設橢圓的方程為Ax2 By2 1 A 0 B 0 A B 然后代入已知點求出A B 規(guī)律方法求橢圓的標準方程時 要 先定型 再定量 即要先判斷焦點位置 再用待定系數(shù)法設出適合題意的橢圓的標準方程 最后由條件確定待定系數(shù)即可 當所求橢圓的焦點位置不能確定時 應按焦點在x軸上和焦點在y軸上進行分類討論 但要注意a b 0這一條件 當已知橢圓經(jīng)過兩點 求橢圓的標準方程時 把橢圓的方程設成mx2 ny2 1 m 0 n 0 m n 的形式有兩個優(yōu)點 列出的方程組中分母不含字母 不用討論焦點所在的坐標軸 從而簡化求解過程 求適合下列條件的標準方程 1 兩個焦點坐標分別是 3 0 3 0 橢圓經(jīng)過點 5 0 2 兩個焦點坐標分別是 0 5 0 5 橢圓上一點P到兩焦點的距離之和為26 變式1 思路探索 可先利用a b c三者關系求出 F1F2 再利用定義及余弦定理求出 PF1 PF2 最后求出S F1PF2 題型二橢圓定義的應用 例2 由余弦定理知 PF1 2 PF2 2 2 PF1 PF2 cos30 F1F2 2 2c 2 4 式兩邊平方 得 PF1 2 PF2 2 2 PF1 PF2 20 規(guī)律方法在橢圓中由橢圓上的點 兩個焦點組成的焦點三角形引出的問題很多 要解決這些題目 我們經(jīng)常利用橢圓的定義 正弦定理 余弦定理及三角形面積公式 這就需要我們在解題時 要充分理解題意 分析條件 利用橢圓定義 正弦定理 余弦定理及三角形面積公式之間的聯(lián)系建立三角形中的邊角之間的關系 在解題中 經(jīng)常把 PF1 PF2 看作一個整體來處理 解如圖所示 由已知 a 5 AF1B的周長l AF1 AB BF1 AF1 AF2 BF2 BF1 4a 20 變式2 12分 已知B C是兩個定點 BC 8 且 ABC的周長等于18 求這個三角形的頂點A的軌跡方程 題型三與橢圓有關的軌跡問題與橢圓有關的軌跡問題 例3 規(guī)范解答 以過B C兩點的直線為x軸 線段BC的垂直平分線為y軸 建立直角坐標系xOy 如圖所示 2分 由 BC 8 可知點B 4 0 C 4 0 由 AB AC BC 18 得 AB AC 10 6分因此 點A的軌跡是以B C為焦點的橢圓 這個橢圓上的點與兩焦點的距離之和2a 10 8分但點A不在x軸上 由a 5 c 4 得b2 a2 c2 25 16 9 10分 題后反思 利用橢圓的定義求軌跡方程 是先由條件找到動點所滿足的條件 看其是否符合橢圓的定義 再確定橢圓的方程 特別注意點A不在x軸上 因此y 0 已知動圓M過定點A 3 0 并且內切于定圓B x 3 2 y2 64 求動圓圓心M的軌跡方程 解設動圓M的半徑為r 則 MA r MB 8 r MA MB 8 且8 AB 6 動點M的軌跡是橢圓 且焦點分別是A 3 0 B 3 0 且2a 8 a 4 c 3 b2 a2 c2 16 9 7 變式3 在本節(jié)內容中 最常見的分類討論是因焦點的位置不確定而引起的討論 橢圓的一個頂點為A 2 0 其長軸長是短軸長的2倍 求橢圓的標準方程 思路分析 題目沒有指出焦點的位置 要考慮兩種位置 進行分類討論 方法技巧分類討論思想在橢圓中的應用 示例 方法點評本題要求根據(jù)橢圓上的點和長短軸之間的關系求標準方程 考查橢圓的標準方程和思考問題的全面性 橢圓的標準方程有兩個 給出一個頂點的坐標和對稱軸的位置 是不能確定橢圓的形狀的 因而要考慮兩種情況 單擊此處進入活頁規(guī)范訓練