2018-2019版高中數(shù)學(xué) 第四講 數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 一 數(shù)學(xué)歸納法學(xué)案 新人教A版選修4-5

一數(shù)學(xué)歸納法學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解數(shù)學(xué)歸納法的基本原理.2.了解數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用范圍.3.會(huì)用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn)單問(wèn)題知識(shí)點(diǎn)數(shù)學(xué)歸納法在學(xué)校，我們經(jīng)常會(huì)看到這樣的一種現(xiàn)象：排成一排的自行車，如果一個(gè)同學(xué)將第一輛自行車不小心弄倒了，那么整排自行車就會(huì)倒下思考1試想要使整排自行車倒下，需要具備哪幾個(gè)條件？答案第一輛自行車倒下；任意相鄰的兩輛自行車，前一輛倒下一定導(dǎo)致后一輛倒下思考2由這種思想方法所得的數(shù)學(xué)方法叫數(shù)學(xué)歸納法，那么，數(shù)學(xué)歸納法適用于解決哪類問(wèn)題？答案適合解決一些與正整數(shù)n有關(guān)的問(wèn)題梳理數(shù)學(xué)歸納法的概念及步驟(1)數(shù)學(xué)歸納法的定義一般地，當(dāng)要證明一個(gè)命題對(duì)于不小于某正整數(shù)n0的所有正整數(shù)n都成立時(shí)，可以用以下兩個(gè)步驟：證明當(dāng)nn0時(shí)命題成立；假設(shè)當(dāng)nk(kN，且kn0)時(shí)命題成立，證明nk1時(shí)命題也成立在完成了這兩個(gè)步驟后，就可以斷定命題對(duì)于不小于n0的所有正整數(shù)都成立這種證明方法稱為數(shù)學(xué)歸納法(2)數(shù)學(xué)歸納法適用范圍數(shù)學(xué)歸納法的適用范圍僅限于與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的證明(3)數(shù)學(xué)歸納法的基本過(guò)程類型一用數(shù)學(xué)歸納法證明等式例1用數(shù)學(xué)歸納法證明1(nN)證明(1)當(dāng)n1時(shí)，左邊，右邊1，等式成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(k1)時(shí)，等式成立，即1.當(dāng)nk1時(shí)，11，即當(dāng)nk1時(shí)，等式也成立由(1)(2)可知，原等式對(duì)nN均成立反思與感悟利用數(shù)學(xué)歸納法證明代數(shù)恒等式時(shí)要注意兩點(diǎn)：一是要準(zhǔn)確表述nn0時(shí)命題的形式，二是要準(zhǔn)確把握由nk到nk1時(shí)，命題結(jié)構(gòu)的變化特點(diǎn)并且一定要記?。涸谧C明nk1成立時(shí)，必須使用歸納假設(shè)跟蹤訓(xùn)練1用數(shù)學(xué)歸納法證明12232n2n(n1)(2n1)(nN)證明(1)當(dāng)n1時(shí)，左邊121，右邊1，等式成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(k1，kN)時(shí)，等式成立，即122232k2.當(dāng)nk1時(shí)，122232k2(k1)2(k1)2.所以當(dāng)nk1時(shí)等式也成立由(1)(2)可知，等式對(duì)任何nN都成立類型二證明與整除有關(guān)的問(wèn)題例2求證：x2ny2n(nN)能被xy整除證明(1)當(dāng)n1時(shí)，x2y2(xy)(xy)能被xy整除(2)假設(shè)nk(k1，kN)時(shí)，x2ky2k能被xy整除，那么當(dāng)nk1時(shí)，x2k2y2k2x2·x2ky2·y2kx2y2kx2y2kx2(x2ky2k)y2k(x2y2)x2ky2k與x2y2都能被xy整除，x2(x2ky2k)y2k(x2y2)能被xy整除即當(dāng)nk1時(shí)，x2k2y2k2能被xy整除由(1)(2)可知，對(duì)任意正整數(shù)n，命題均成立反思與感悟利用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問(wèn)題時(shí)，關(guān)鍵是整理出除數(shù)因式與商數(shù)因式積的形式這往往要利用“添項(xiàng)”與“減項(xiàng)”“因式分解”等變形技巧來(lái)湊出nk時(shí)的情形，從而利用歸納假設(shè)使問(wèn)題得證跟蹤訓(xùn)練2用數(shù)學(xué)歸納法證明：n3(n1)3(n2)3能被9整除(nN)證明(1)當(dāng)n1時(shí)，13233336能被9整除，所以結(jié)論成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(kN，k1)時(shí)結(jié)論成立，即k3(k1)3(k2)3能被9整除則當(dāng)nk1時(shí)，(k1)3(k2)3(k3)3k3(k1)3(k2)3(k3)3k3k3(k1)3(k2)39k227k27k3(k1)3(k2)39(k23k3)因?yàn)閗3(k1)3(k2)3能被9整除，9(k23k3)也能被9整除，所以(k1)3(k2)3(k3)3也能被9整除，即當(dāng)nk1時(shí)結(jié)論也成立由(1)(2)知，命題對(duì)一切nN成立類型三用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何命題例3有n個(gè)圓，任意兩個(gè)圓都相交于兩點(diǎn)，任意三個(gè)圓不相交于同一點(diǎn)，求證這n個(gè)圓將平面分成f(n)n2n2個(gè)部分(nN)證明(1)當(dāng)n1時(shí)，一個(gè)圓將平面分成兩個(gè)部分，且f(1)1122，所以n1時(shí)命題成立(2)假設(shè)nk(k1)時(shí)命題成立，即k個(gè)圓把平面分成f(k)k2k2個(gè)部分則當(dāng)nk1時(shí)，在k1個(gè)圓中任取一個(gè)圓O，剩下的k個(gè)圓將平面分成f(k)個(gè)部分，而圓O與k個(gè)圓有2k個(gè)交點(diǎn)，這2k個(gè)點(diǎn)將圓O分成k段弧，每段弧將原平面一分為二，故得f(k1)f(k)2kk2k22k(k1)2(k1)2.所以當(dāng)nk1時(shí)，命題成立綜合(1)(2)可知，對(duì)一切nN，命題成立反思與感悟(1)數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問(wèn)題的關(guān)鍵在于分析清楚nk與nk1時(shí)二者的差異，這時(shí)常常借助于圖形的直觀性，然后用數(shù)學(xué)式子予以描述，建立起f(k)與f(k1)之間的遞推關(guān)系，實(shí)在分析不出的情況下，將nk1和nk分別代入所證的式子，然后作差，即可求出增加量，然后只需稍加說(shuō)明即可(2)利用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問(wèn)題要注意利用數(shù)形結(jié)合尋找公式，還要注意結(jié)論要有必要的文字說(shuō)明跟蹤訓(xùn)練3平面內(nèi)有n條直線，其中任何兩條不平行，任何三條不共點(diǎn)，求證：這n條直線把平面分割成(n2n2)個(gè)區(qū)域(nN)證明(1)當(dāng)n1時(shí)，一條直線把平面分成兩個(gè)區(qū)域，又×(1212)2，n1時(shí)命題成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(k1，kN)時(shí)，命題成立，即k條滿足題意的直線把平面分割成了(k2k2)個(gè)區(qū)域那么當(dāng)nk1時(shí)，k1條直線中的k條直線把平面分成了(k2k2)個(gè)區(qū)域，第k1條直線被這k條直線分成k1段，每段把它們所在的區(qū)域分成了兩塊，因此增加了k1個(gè)區(qū)域，k1條直線把平面分成了(k2k2)k1(k1)2(k1)2個(gè)區(qū)域當(dāng)nk1時(shí)命題也成立由(1)(2)知，對(duì)一切的nN，此命題均成立1用數(shù)學(xué)歸納法證明“凸n邊形的內(nèi)角和等于(n2)”時(shí)，歸納奠基中n0的取值應(yīng)為()A1B2C3D4答案C解析邊數(shù)最少的凸n邊形為三角形，故n03.2用數(shù)學(xué)歸納法證明1aa2an1(nN，a1)，在驗(yàn)證n1成立時(shí)，左邊所得的項(xiàng)為()A1B1aa2C1aD1aa2a3答案B解析當(dāng)n1時(shí)，n12，故左邊所得的項(xiàng)為1aa2.3用數(shù)學(xué)歸納法證明34n152n1(nN)能被8整除，當(dāng)nk1時(shí)，34(k1)152(k1)1應(yīng)變形為_(kāi)答案81×(34k152k1)56×52k1(或25×(34k152k1)56×34k1)解析34(k1)152(k1)134k552k381×34k125×52k181×34k181×52k156×52k181×(34k152k1)56×52k1.4用數(shù)學(xué)歸納法證明13(2n1)n2(nN)證明(1)當(dāng)n1時(shí)，左邊1，右邊1，等式成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(k1)時(shí)，等式成立，即13(2k1)k2，那么，當(dāng)nk1時(shí)，13(2k1)2(k1)1k22(k1)1k22k1(k1)2.所以當(dāng)nk1時(shí)等式成立由(1)和(2)可知等式對(duì)任意正整數(shù)n都成立1應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法時(shí)應(yīng)注意的問(wèn)題(1)第一步中的驗(yàn)證，對(duì)于有些問(wèn)題驗(yàn)證的并不是n1，有時(shí)需驗(yàn)證n2，n3.(2)對(duì)nk1時(shí)式子的項(xiàng)數(shù)以及nk與nk1的關(guān)系的正確分析是應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法成功證明問(wèn)題的保障(3)“假設(shè)nk時(shí)命題成立，利用這一假設(shè)證明nk1時(shí)命題成立”，這是應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明問(wèn)題的核心環(huán)節(jié)，對(duì)待這一推導(dǎo)過(guò)程決不可含糊不清，推導(dǎo)的步驟要完整、嚴(yán)謹(jǐn)、規(guī)范2判斷利用數(shù)學(xué)歸納法證明問(wèn)題是否正確(1)是要看有無(wú)歸納基礎(chǔ)(2)是證明當(dāng)nk1時(shí)是否應(yīng)用了歸納假設(shè)3與n有關(guān)的整除問(wèn)題一般都用數(shù)學(xué)歸納法證明其中關(guān)鍵問(wèn)題是從當(dāng)nk1時(shí)的表達(dá)式中分解出nk時(shí)的表達(dá)式與一個(gè)含除式的因式或幾個(gè)含除式的因式，這樣才能得出結(jié)論成立一、選擇題1已知命題12222n12n1及其證明：(1)當(dāng)n1時(shí)，左邊1，右邊2111，所以等式成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(k1，kN)時(shí)等式成立，即12222k12k1成立，則當(dāng)nk1時(shí)，12222k12k2k11，所以nk1時(shí)等式也成立由(1)(2)知，對(duì)任意的正整數(shù)n等式都成立判斷以上評(píng)述()A命題、推理都正確B命題正確、推理不正確C命題不正確、推理正確D命題、推理都不正確答案B解析推理不正確，錯(cuò)在證明當(dāng)nk1時(shí)，沒(méi)有用到假設(shè)當(dāng)nk時(shí)的結(jié)論，命題由等比數(shù)列求和公式知正確2在數(shù)列an中，a11，前n項(xiàng)和Sn1先算出數(shù)列的前4項(xiàng)的值，再根據(jù)這些值歸納猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式是()Aan1Bann1CanDan答案D解析a11，S21，a2S2S1，a3S3S2，a4S4S3，猜想：an.3用數(shù)學(xué)歸納法證明“當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí)，xnyn能被xy整除”，第二步歸納假設(shè)應(yīng)寫(xiě)成()A假設(shè)n2k1(kN)時(shí)正確，再推n2k3時(shí)正確B假設(shè)n2k1(kN)時(shí)正確，再推n2k1時(shí)正確C假設(shè)nk(kN)時(shí)正確，再推nk1時(shí)正確D假設(shè)nk(kN)時(shí)正確，再推nk2時(shí)正確答案B解析n為正奇數(shù)，在證明時(shí)，歸納假設(shè)應(yīng)寫(xiě)成：假設(shè)當(dāng)n2k1(kN)時(shí)正確，再推出當(dāng)n2k1時(shí)正確，故選B.4設(shè)f(n)(nN)，那么f(n1)f(n)等于()A.B.C.D.答案D解析因?yàn)閒(n)，所以f(n1)，所以f(n1)f(n).5如果1×2×32×3×43×4×5n(n1)(n2)n(n1)(na)(nb)對(duì)一切正整數(shù)n都成立，則a，b的值可以等于()Aa1，b3Ba1，b1Ca1，b2Da2，b3答案D解析令n1,2得到關(guān)于a，b的方程組，解得即可6某個(gè)命題與正整數(shù)n有關(guān)，若當(dāng)nk(kN)時(shí)該命題成立，那么可推得當(dāng)nk1時(shí)該命題也成立，現(xiàn)已知當(dāng)n5時(shí)該命題不成立，那么可推得()A當(dāng)n6時(shí)該命題不成立B當(dāng)n6時(shí)該命題成立C當(dāng)n4時(shí)該命題不成立D當(dāng)n4時(shí)該命題成立答案C解析由已知得當(dāng)nk時(shí)成立nk1時(shí)成立當(dāng)nk1時(shí)不成立當(dāng)nk時(shí)不成立由當(dāng)n5時(shí)不成立知，當(dāng)n4時(shí)不成立二、填空題7設(shè)f(n)1(nN)，則f(n1)f(n)_.答案解析因?yàn)閒(n)1，所以f(n1)1，所以f(n1)f(n).8觀察式子11,14(12)，149123，猜想第n個(gè)式子應(yīng)為_(kāi)答案14916(1)n1n2(1)n1·9已知平面上有n(nN，n3)個(gè)點(diǎn)，其中任何三點(diǎn)都不共線，過(guò)這些點(diǎn)中任意兩點(diǎn)作直線，設(shè)這樣的直線共有f(n)條，則f(3)_，f(4)_，f(5)_，f(n1)f(n)_.答案3610n解析當(dāng)nk時(shí)，有f(k)條直線當(dāng)nk1時(shí)，增加的第k1個(gè)點(diǎn)與原k個(gè)點(diǎn)共連成k條直線，即增加k條直線，所以f(k1)f(k)k.所以f(3)3，f(4)6，f(5)10，f(n1)f(n)n.10觀察下列等式：(11)2×1，(21)(22)22×1×3，(31)(32)(33)23×1×3×5，照此規(guī)律，第n個(gè)等式可為_(kāi)答案(n1)(n2)(nn)2n×1×3××(2n1)解析由已知，得第n個(gè)等式左邊為(n1)(n2)(nn)，右邊為2n×1×3××(2n1)所以第n個(gè)等式為(n1)(n2)(nn)2n×1×3××(2n1)三、解答題11用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n為正整數(shù)時(shí)，f(n)32n28n9能被64整除證明(1)當(dāng)n1時(shí)，f(1)348964，命題顯然成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(k1，kN)時(shí)，命題成立，即f(k)32k28k9能被64整除當(dāng)nk1時(shí)，f(k1)32(k1)28(k1)99(32k28k9)9×8k9×98(k1)99(32k28k9)64(k1)，即f(k1)9f(k)64(k1)nk1時(shí)命題也成立綜合(1)(2)可知，對(duì)任意的nN，命題都成立12用數(shù)學(xué)歸納法證明：1(nN)證明(1)當(dāng)n1時(shí)，左邊1右邊，所以等式成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(k1，kN)時(shí)等式成立，即1，則當(dāng)nk1時(shí)，1，所以當(dāng)nk1時(shí)等式也成立由(1)(2)知，對(duì)任意nN等式都成立13請(qǐng)觀察以下三個(gè)式子：(1)1×3；(2)1×32×4；(3)1×32×43×5，歸納出一般的結(jié)論，并用數(shù)學(xué)歸納法證明該結(jié)論解結(jié)論：1×32×43×5n(n2).證明：當(dāng)n1時(shí)，左邊3，右邊3，所以命題成立假設(shè)當(dāng)nk(k1，kN)時(shí)，命題成立，即1×32×43×5k(k2)，當(dāng)nk1時(shí)，1×32×4k(k2)(k1)(k3)(k1)(k3)(2k27k6k18)(2k213k18)，所以當(dāng)nk1時(shí)，命題成立由知，命題成立四、探究與拓展14用數(shù)學(xué)歸納法證明1222(n1)2n2(n1)22212時(shí)，由nk(kN，k1)的假設(shè)到證明nk1時(shí)，等式左邊應(yīng)添加的式子是_答案(k1)2k2解析當(dāng)nk時(shí)，左邊1222(k1)2k2(k1)22212.當(dāng)nk1時(shí)，左邊1222k2(k1)2k2(k1)22212，所以左邊添加的式子為(k1)2k2.15已知數(shù)列，計(jì)算數(shù)列和S1，S2，S3，S4，根據(jù)計(jì)算結(jié)果，猜想Sn的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明解S1，S2，S3，S4.上面四個(gè)結(jié)果中，分子與項(xiàng)數(shù)n一致，分母可用項(xiàng)數(shù)n表示為3n1，于是可以猜想Sn.其證明如下：(1)當(dāng)n1時(shí)，左邊S1，右邊，猜想成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(kN，k1)時(shí)猜想成立，即成立，則當(dāng)nk1時(shí)，所以當(dāng)nk1時(shí)，猜想成立由(1)(2)知，猜想對(duì)任意nN，Sn都成立11