2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第一部分 基礎(chǔ)與考點(diǎn)過(guò)關(guān) 不等式選講學(xué)案 選修4-5

2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第一部分 基礎(chǔ)與考點(diǎn)過(guò)關(guān) 不等式選講學(xué)案 選修4-5含有絕對(duì)值的不等式的解法. 理解絕對(duì)值的幾何意義. 會(huì)解絕對(duì)值不等式：|axb|c，|axb|c. 了解絕對(duì)值不等式：|xc|xb|a的解法.解：由|xa|<b，得ab<x<ab.又|xa|<b（a，bR）的解集為x|2<x<4，所以ab2.3. 求不等式|2x1|5x|0的解集.解：原不等式化為|2x1|>|5x|，兩邊同時(shí)平方得 4x24x1>2510xx2，即3x214x24>0，解得原不等式的解集為（，6）（，）.4. （選修45P6例4改編）若存在實(shí)數(shù)x滿足不等式|x4|x3|<a，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解：由絕對(duì)值不等式的幾何性質(zhì)知，|x4|x3|（x4）（x3）|1，所以函數(shù)y|x4|x3|的最小值為1.因?yàn)樵坏仁接袑?shí)數(shù)解，所以a的取值范圍是（1，）.5. 不等式|x1|x2|>k的解集為R，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.解：（解法1）根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義，設(shè)數(shù)x，1，2在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為P，A，B，則原不等式等價(jià)于PAPB>k恒成立. AB3，即|x1|x2|3， 故當(dāng)k<3時(shí)，原不等式恒成立.即實(shí)數(shù)k的取值范圍為（，3）.（解法2）令y|x1|x2|，則y作出y的圖象（如圖），要使|x1|x2|>k恒成立，從圖象中可以看出，只要k<3即可.即實(shí)數(shù)k的取值范圍為（，3）.1. 不等式的基本性質(zhì) a>bb<a； a>b，b>ca>c； a>bac>bc； a>b，c>dac>bd； a>b，c>0ac>bc；a>b，c<0ac<bc； a>b>0，c>d>0ac>bd； a>b>0an>bn（nN，且n>1）； a>b>0>（nN，且n>1）.2. 含有絕對(duì)值的不等式的解法 |f（x）|>a（a>0）f（x）>a或f（x）<a； |f（x）|<a（a>0）a<f（x）<a.3. 含有絕對(duì)值的不等式的性質(zhì) |a|b|ab|； |a|b|ab|； |a|b|ab|a|b|.備課札記1含絕對(duì)值不等式的解法1解不等式：|x2|x|x2|2.解：當(dāng)x2時(shí)，不等式化為（2x）x（x2）2，解得3x2；當(dāng)2x2時(shí)，不等式化為（2x）x（x2）2，解得2x1或0x2；當(dāng)x2時(shí)，不等式化為（x2）x（x2）2，解得x2.所以原不等式的解集為x|3x1或x0.已知函數(shù)f（x）|xa|x2|.（1） 當(dāng)a3時(shí)，求不等式f（x）3的解集；（2） 若f（x）|x4|的解集包含1，2，求a的取值范圍.解：（1） 當(dāng)a3時(shí)，f（x）當(dāng)x2時(shí)，由f（x）3得2x53，解得x1；當(dāng)2x3時(shí)，f（x）3無(wú)解；當(dāng)x3時(shí)，由f（x）3得2x53，解得x4.所以f（x）3的解集為x|x1或x4.（2） f（x）|x4|x4|x2|xa|.當(dāng)x1，2時(shí)，|x4|x2|xa|4x（2x）|xa|2ax2a.由條件得2a1且2a2，即3a0.故滿足條件的a的取值范圍為3，0.,2含絕對(duì)值不等式的運(yùn)用),2)已知x，yR，且|xy|，|xy|，求證：|x5y|1.證明：因?yàn)閨x5y|3（xy）2（xy）|.由絕對(duì)值不等式的性質(zhì)，得|x5y|3（xy）2（xy）|3（xy）|2（xy）|3|xy|2|xy|3×2×1.即|x5y|1.變式訓(xùn)練設(shè)函數(shù)f（x）|xa|（a0）.（1） 求證：f（x）2；（2） 若f（3）5，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.（1） 證明：由a0，有f（x）|xa|a2，所以f（x）2.（2） 解：f（3） |3a|.當(dāng)a3時(shí)，f（3） a，由f（3） 5，得3a；當(dāng)0a3時(shí)，f（3） 6a，由f（3）5，得a3.綜上，a的取值范圍是（，）.,3含絕對(duì)值不等式的綜合運(yùn)用),3)已知函數(shù)f（x）|2x1|2x3|.（1） 求不等式f（x）6的解集；（2） 若關(guān)于x的不等式f（x）|a1|的解集非空，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解：（1） 原不等式等價(jià)于或或解得x2或x或1x，即不等式的解集為x|1x2.（2） f（x）|2x1|2x3|（2x1）（2x3）|4， |a1|4，解此不等式得a3或a5.故實(shí)數(shù)a的取值范圍是（，3）（5，）.變式訓(xùn)練已知a>0，b>0，且a2b2，若abm恒成立.（1） 求m的最小值；（2） 若2|x1|x|ab對(duì)任意的a，b恒成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍.解：（1） （a2b2）（1212）（ab）2， ab3，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào). abm恒成立， m3.故m的最小值為3.（2） 要使2|x1|x|ab恒成立，則2|x1|x|3， 或或 x或x. x的取值范圍是.1. （2017·蘇北四市期末）已知a，b，c為正實(shí)數(shù)，27abc的最小值為m，解關(guān)于x的不等式|x1|2xm.解：因?yàn)閍，b，c>0，所以27abc327abc27abc218，當(dāng)且僅當(dāng)abc時(shí)，取等號(hào)，所以m18.所以不等式|x1|2x<m，即|x1|<2x18，所以2x18<x1<2x18，解得x>，所以原不等式的解集為.2. （2016·江蘇卷）設(shè)a0，|x1|，|y2|，求證：|2xy4|a.證明： |x1|<，|y2|<， |2xy4|2（x1）（y2）|2|x1|y2|<2×a.3. （2017·蘇北四市期中） 設(shè)c0，|x1|，|y1|，求證：|2xy3|c.證明：因?yàn)閨x1|，所以|2x2|，故|2xy3|2x2y1|2x2|y1|c，故|2xy3|c.4. 已知一次函數(shù)f（x）ax2.（1） 當(dāng)a3時(shí)，解不等式|f（x）|<4；（2） 解關(guān)于x的不等式|f（x）|<4；（3） 若不等式|f（x）|3對(duì)任意x0，1恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解：（1） 當(dāng)a3時(shí)，則f（x）3x2， |f（x）|<4|3x2|<44<3x2<42<3x<6<x<2， 不等式的解集為.（2） |f（x）|<4|ax2|<44<ax2<42<ax<6，當(dāng)a>0時(shí)，不等式的解集為x|x；當(dāng)a<0時(shí)，不等式的解集為x|x.（3） |f（x）|3|ax2|33ax231ax5 x0，1， 當(dāng)x0時(shí)，不等式組恒成立；當(dāng)x0時(shí)，不等式組轉(zhuǎn)化為 5，1， 1a5. a的取值范圍為1，5.1. （ 2017·蘇州期初）已知a2，xR.求證：|x1a|xa|3.證明：因?yàn)閨m|n|mn|，所以|x1a|xa|x1a（xa）|2a1|.又a2，故|2a1|3.所以|x1a|xa|3.2. 設(shè)不等式|x2|3x|<a（aN*）的解集為A，且2A，A.（1） 求a的值；（2） 求函數(shù)f（x）|xa|x2|的最小值.解：（1） 由題意得所以1<a2.因?yàn)閍N*，所以a2.（2） 因?yàn)閨x2|x2|（x2）（x2）|4，所以f（x）的最小值是4.3. 已知實(shí)數(shù)x，y滿足：|xy|<，|2xy|<，求證：|y|<.證明：因?yàn)?|y|3y|2（xy）（2xy）|2|xy|2xy|，由題設(shè)知|xy|<，|2xy|<，從而3|y|<，所以|y|<.4. 對(duì)于任意的實(shí)數(shù)a（a0）和b，不等式|ab|ab|a|（|x1|x2|）恒成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍.解：不等式|ab|ab|a|（|x1|x2|）恒成立，即|x1|x2|對(duì)于任意的實(shí)數(shù)a（a0）和b恒成立，只要左邊恒小于或等于右邊的最小值即可.因?yàn)閨ab|ab|abab|2|a|，即2，也就是的最小值為2，于是|x1|x2|2， 由絕對(duì)值的意義得x.1. |axb|c（c0）和|axb|c（c0）型不等式的解法（1） |axb|ccaxbc.（2） |axb|caxbc或axbc.2. |xa|xb|c（c0）和|xa|xb|c（c0）型不等式的解法方法1：利用絕對(duì)值不等式的幾何意義求解，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想；方法2：利用“零點(diǎn)分段法”求解，體現(xiàn)了分類討論的思想；方法3：通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的圖象求解，體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想.第2課時(shí)不等式證明的基本方法（對(duì)應(yīng)學(xué)生用書（理）210214頁(yè)）重點(diǎn)考查證明不等式的基本方法，考查運(yùn)算能力和分析解決問(wèn)題的能力. 了解證明不等式的基本方法：比較法，綜合法，分析法，反證法，換元法，數(shù)學(xué)歸納法，放縮法. 能用比較法，綜合法，分析法證明簡(jiǎn)單的不等式.1. （選修45P12例2改編）若a，bx|0<x<1，試比較ab1與ab的大小.解：因?yàn)?<a<1，0<b<1，所以a10，b1<0.所以（ab1）（ab）（a1）（b1）>0.故ab1>ab.2. 若a，b，cR*，且滿足abc2，求abc的最大值.解：因?yàn)閍，b，cR*，所以2abc3，故abc.當(dāng)且僅當(dāng)abc時(shí)等號(hào)成立，所以abc的最大值為.3. 若實(shí)數(shù)a，b，c滿足a2b2c24，求3a4b5c的最大值.解：由柯西不等式得（3a4b5c）2（a2b2c2）（91625）200，所以103a4b5c10，所以3a4b5c的最大值為10.4. 已知x0，y0，aR，bR.求證：.證明： x0，y0， xy0， 要證，即證（axby）2（xy）（a2xb2y），即證xy（a22abb2）0，即證（ab）20.而（ab）20顯然成立， .5. 已知a，b0，ab2，x，y0，求證：（axby）（bxay）4xy.證明：已知（axby）（bxay）ab（x2y2）（a2b2）·xy，且a，b，x，y0，所以由均值不等式得ab（x2y2）（a2b2）xy（a22abb2）xy（ab）2xy4xy，當(dāng)且僅當(dāng)xy時(shí)取等號(hào).1. 不等式證明的常用方法（1） 比較法：比較法是證明不等式的一種最基本的方法，也是一種常用方法，基本不等式就是用比較法證得的.比較法有差值、比值兩種形式，但比值法必須考慮正負(fù).比較法證明不等式的步驟：作差（商）、變形、判斷符號(hào).其中的變形主要方法是分解因式、配方，判斷過(guò)程必須詳細(xì)敘述.（2） 綜合法：綜合法就是從題設(shè)條件和已經(jīng)證明過(guò)的基本不等式出發(fā)，不斷用必要條件替換前面的不等式，直到推出要證明的結(jié)論，即為“由因?qū)Ч?，在使用綜合法證明不等式時(shí)，常常用到基本不等式.（3） 分析法：分析法就是從所要證明的不等式出發(fā)，不斷地用充分條件替換前面的不等式，直至推出顯然成立的不等式，即為“執(zhí)果索因”.2. 不等式證明的其他方法和技巧（1） 反證法從否定結(jié)論出發(fā)，經(jīng)過(guò)邏輯推理，導(dǎo)出矛盾，證實(shí)結(jié)論的否定是錯(cuò)誤的，從而肯定結(jié)論是正確的證明方法.（2） 放縮法欲證AB，可通過(guò)適當(dāng)放大或縮小，借助一個(gè)或多個(gè)中間量，使得AC1C2CnB，利用傳遞性達(dá)到證明的目的.（3） 數(shù)學(xué)歸納法3. 柯西不等式的二維形式（1） 柯西不等式的代數(shù)形式：設(shè)a1，a2，b1，b2均為實(shí)數(shù)，則（aa）（bb）（a1b1a2b2）2（當(dāng)且僅當(dāng)a1b2a2b1時(shí)，等號(hào)成立）.（2） 柯西不等式的向量形式：設(shè)，為平面上的兩個(gè)向量，則|·|.（3） 三角形不等式：設(shè)x1，y1，x2，y2，x3，y3R，那么.4. 柯西不等式的一般形式設(shè)n為大于1的自然數(shù)，ai，bi（i1，2，n）為實(shí)數(shù)，則ab，其中等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立（當(dāng)ai0時(shí)，約定bi0，i1，2，n）.5. 算術(shù)幾何平均不等式（a1，a2，anR*），等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)a1a2an時(shí)成立.,1用比較法證明不等式),1)（2017·南京、鹽城模擬）設(shè)ab，求證：a46a2b2b44ab（a2b2）.證明：a46a2b2b44ab（a2b2）（a2b2）24ab（a2b2）4a2b2（a2b22ab）2（ab）4.因?yàn)閍b，所以（ab）40，所以a46a2b2b44ab（a2b2）.已知m，n是正數(shù)，求證：m2n2.證明： m2n2，又m，n均為正實(shí)數(shù)， 0， m2n2，當(dāng)且僅當(dāng)mn時(shí)，等號(hào)成立.,2用分析法、綜合法證明不等式),2)（2017·南通、泰州模擬）設(shè)x，y，z均為正實(shí)數(shù)，且xyz1，求證：xyyzzx.證明：因?yàn)閤，y，z均為正實(shí)數(shù)，且xyz1，所以xy2yz，yz2xz，xz2xy.所以xyyzzx.變式訓(xùn)練已知a，b，c均為正數(shù).求證：a2b2c26.證明：因?yàn)閍，b，c均為正數(shù)，由基本不等式得a2b22ab，b2c22bc，c2a22ca.所以a2b2c2abbcca.同理，故a2b2c2abbcca6.所以原不等式成立.,3均值不等式的應(yīng)用),3)（2017·南通、揚(yáng)州、泰州模擬）已知a，b，c，d是正實(shí)數(shù)，且abcd1.求證：a5b5c5d5abcd.證明：因?yàn)閍，b，c，d是正實(shí)數(shù)，且abcd1，所以a5bcd44a.同理b5cda4b，c5dab4c，d5abc4d，將式相加并整理，即得a5b5c5d5abcd.變式訓(xùn)練已知x，y，z均為正數(shù)，求證：.證明：因?yàn)閤，y，z均為正數(shù)，所以.同理可得，.當(dāng)且僅當(dāng)xyz時(shí)，以上三式等號(hào)都成立.將上述三個(gè)不等式左、右兩邊分別相加，并除以2，得.已知正數(shù)a，b，c滿足abc1，求（a2）（b2）（c2）的最小值.解： （a2）（b2）（c2）（a11）（b11）（c11）3··3··3·27·27，當(dāng)且僅當(dāng)abc1時(shí)等號(hào)成立， （a2）（b2）（c2）的最小值為27.,4柯西不等式的應(yīng)用),4)（2017·蘇錫常鎮(zhèn)一模）已知a，b，c為正數(shù)，且abc3，求的最大值.解：由柯西不等式可得（）2（121212）·（）2（）2（）23×12， 6，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào). 的最大值是6.變式訓(xùn)練求函數(shù)f（x）5的最大值.解：函數(shù)定義域?yàn)?，4，且f（x）0.由柯西不等式得52（）2（）2（）2（5··）2，即27×4（5··）2，所以56.當(dāng)且僅當(dāng)·5，即x時(shí)，取等號(hào).所以函數(shù)f（x）5的最大值為6.（2017·南京期末）求函數(shù)y3sin x2的最大值.解：y3sin x23sin x4.由柯西不等式得y2（3sin x4）2（3242）·（sin2xcos2x）25，所以ymax5，此時(shí)sin x.所以函數(shù)y3sin x2的最大值為5.1. （2017·蘇州期中）已知a，b，c，d都是正實(shí)數(shù)，且abcd1，求證：.證明： （1a）（1b）（1c）（1d）·（····）2（abcd）21，又（1a）（1b）（1c）（1d）5， .2. （2017·南京、鹽城期末）若實(shí)數(shù)x，y，z滿足x2yz1，求x2y2z2的最小值.解：由柯西不等式，得（x2yz）2（122212）·（x2y2z2），即x2yz·.因?yàn)閤2yz1，所以x2y2z2，當(dāng)且僅當(dāng)，即xz，y時(shí)取等號(hào).綜上，（x2y2z2）min.3. （2017·鎮(zhèn)江期末）已知a0，b0，求證：（a2b2ab）·（ab2a2b1）9a2b2.證明：因?yàn)閍0，b0，由均值不等式知a2b2ab33ab，ab2a2b133ab，所以兩式相乘可得（a2b2ab）·（ab2a2b1）9a2b2.4. （2017·常州期末）已知x0，y0，且2xy6，求4x2y2的最小值.解：（解法1）根據(jù)柯西不等式得（2x）2y2（1212）（2xy）2，化簡(jiǎn)得4x2y218，當(dāng)且僅當(dāng)2xy3，即x，y3時(shí)取等號(hào).因此，當(dāng)x，y3時(shí)，4x2y2取得最小值18.（解法2）由2xy6得y62x；由x0，y0，得0x3.因此4x2y24x2（62x）28x224x36818.當(dāng)x，y3時(shí)，4x2y2取得最小值18.5. 已知a，b，c>0，且1，求證：.證明：因?yàn)?，所以2.由柯西不等式，得（）（）（）2，所以.1. 已知x1，x2，x3為正實(shí)數(shù)，若x1x2x31，求證：1.證明：因?yàn)閤1，x2，x3為正實(shí)數(shù)，所以x1x2x32222（x1x2x3）2，當(dāng)且僅當(dāng)x1x2x3時(shí)取等號(hào).所以1.2. 設(shè)a，b，c均為正數(shù)， abc1.求證：.證明：由a，b，c均為正數(shù)，根據(jù)均值不等式，得，.將此三式相加，得2，即.由abc1，則有1.所以.3. （2017·蘇北三市模擬）已知a，b，c為正實(shí)數(shù)，且a3b3c3a2b2c2.求證：abc3.證明：因?yàn)閍3b3c3a2b2c23，所以abc3，所以abc33，當(dāng)且僅當(dāng)abc時(shí)，取等號(hào).4. 已知a，b，cR，a22b23c26，求abc的最大值.解：由柯西不等式，得a2（b）2（c）2·（abc）2.因?yàn)閍22b23c26，所以（abc）211，所以abc.所以abc的最大值為，當(dāng)且僅當(dāng)a2b3c時(shí)取得.