2020版高中數(shù)學 第三章 空間向量與立體幾何 專題突破三 空間直角坐標系的構建策略學案（含解析）新人教B版選修2-1

專題突破三空間直角坐標系的構建策略利用空間向量的方法解決立體幾何問題，關鍵是依托圖形建立空間直角坐標系，將其他向量用坐標表示，通過向量運算，判定或證明空間元素的位置關系，以及空間角、空間距離問題的探求所以如何建立空間直角坐標系顯得非常重要，下面簡述空間建系的四種方法，希望同學們面對空間幾何問題能做到有的放矢，化解自如一、利用共頂點的互相垂直的三條棱例1已知直四棱柱中，AA12，底面ABCD是直角梯形，DAB為直角，ABCD，AB4，AD2，DC1，試求異面直線BC1與DC所成角的余弦值考點向量法求直線與直線所成的角題點向量法求直線與直線所成的角解如圖，以D為坐標原點，分別以DA，DC，DD1所在的直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系Dxyz，則D(0,0,0)，C1(0,1,2)，B(2,4,0)，C(0,1,0)，所以(2，3,2)，(0，1,0)所以cos，.故異面直線BC1與DC所成角的余弦值為.點評本例以直四棱柱為背景，求異面直線所成角求解關鍵是從直四棱柱圖形中的共點的三條棱互相垂直關系處著手，建立空間直角坐標系，寫出有關點的坐標和相關向量的坐標，再求兩異面直線的方向向量的夾角即可跟蹤訓練1如圖，平面PAD平面ABCD，ABCD為正方形，PAD90°，且PAAD2，E，F(xiàn)分別是線段PA，CD的中點，求異面直線EF與BD所成角的余弦值考點向量法求直線與直線所成的角題點向量法求直線與直線所成的角解因為平面PAD平面ABCD，PAAD，平面PAD平面ABCDAD，所以，PA平面ABCD，以A為坐標原點，AB，AD，AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示空間直角坐標系Axyz，則E(0,0,1)，F(xiàn)(1,2,0)，B(2,0,0)，D(0,2,0)(1,2，1)，(2,2,0)，故cos，.即異面直線EF與BD所成角的余弦值為.二、利用線面垂直關系例2如圖，在三棱柱ABCA1B1C1中，AB平面BB1C1C，E為棱C1C的中點，已知AB，BB12，BC1，BCC1.試建立合適的空間直角坐標系，求出圖中所有點的坐標考點空間向量的正交分解題點向量的坐標解過點B作BP垂直BB1交C1C于點P，因為AB平面BB1C1C，所以ABBP，ABBB1，以B為坐標原點，分別以BP，BB1，BA所在的直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系Bxyz.又BPBB1，BB1ABB，且BB1，AB平面ABB1A1，所以BP平面ABB1A1，因為AB，BB12，BC1，BCC1，所以CP，C1P，BP，則各點坐標分別為B(0，0,0)，A(0,0，)，B1(0,2,0)，C，C1，E，A1(0,2，)，P.點評空間直角坐標系的建立，要盡量地使盡可能多的點落在坐標軸上，這樣建成的坐標系，既能迅速寫出各點的坐標，又由于坐標軸上的點的坐標含有0，也為后續(xù)的運算帶來了方便本題已知條件中的垂直關系“AB平面BB1C1C”，可作為建系的突破口跟蹤訓練2如圖，四棱錐PABCD中，PA底面ABCD，ADBC，ABADAC3，PABC4，M為線段AD上一點，AM2MD，N為PC的中點求直線AN與平面PMN所成角的正弦值考點向量法求直線與平面所成的角題點向量法求直線與平面所成的角解取BC的中點E，連接AE.由ABAC得AEBC，從而AEAD，AE.以A為坐標原點，的方向為x軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系Axyz.由題意知，P(0,0,4)，M(0,2,0)，C(，2,0)，N，(0,2，4)，.設n(x，y，z)為平面PMN的法向量，則即可取n(0,2,1)于是|cosn，|.設AN與平面PMN所成的角為，則sin，直線AN與平面PMN所成的角的正弦值為.三、利用面面垂直關系例3如圖1，在等腰梯形ABCD中，ADBC，ABAD2，ABC60°，E是BC的中點將ABE沿AE折起，使平面BAE平面AEC(如圖2)，連接BC，BD.求平面ABE與平面BCD所成的銳角的大小考點向量法求平面與平面所成的角題點向量法求平面與平面所成的角解取AE中點M，連接BM，DM.因為在等腰梯形ABCD中，ADBC，ABAD，ABC60°，E是BC的中點，所以ABE與ADE都是等邊三角形，所以BMAE，DMAE.又平面BAE平面AEC，平面BAE平面AECAE，所以BM平面AEC，所以BMMD.以M為坐標原點，分別以ME，MD，MB所在的直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標系Mxyz，如圖，則B(0,0，)，C(2，0)，D(0，0)，M(0,0,0)，所以(2,0,0)，(0，)，(0，0)，設平面BCD的法向量為m(x，y，z)，由取y1，得m(0,1,1)，又因平面ABE的一個法向量(0，0)，所以cosm，所以平面ABE與平面BCD所成的銳角為45°.點評本題求解關鍵是利用面面垂直關系，先證在兩平面內(nèi)共點的三線垂直，再構建空間直角坐標系，然后分別求出兩個平面的法向量，求出兩法向量夾角的余弦值，即可得所求的兩平面所成的銳角的大小用法向量的夾角求二面角時應注意：平面的法向量有兩個相反的方向，取的方向不同求出來的角度就不同，所以最后還應該根據(jù)這個二面角的實際形態(tài)確定其大小跟蹤訓練3在四棱錐VABCD中，底面ABCD是正方形，側面VAD是正三角形，平面VAD底面ABCD.(1)證明：AB平面VAD；(2)求二面角AVDB的平面角的余弦值考點向量法求平面與平面所成的角題點向量法求平面與平面所成的角(1)證明取AD的中點O作為坐標原點，由題意知，VO底面ABCD，則可建立如圖所示的空間直角坐標系設AD2，則A(1,0,0)，D(1，0,0)，B(1,2,0)，V(0,0，)易得(0,2,0)，(1,0，)·(0,2,0)·(1,0，)0，即ABVA.又ABAD，ADVAA，AB平面VAD.(2)解易得(1,0，)設E為DV的中點，連接EA，EB，則E，.··(1,0，)0，即EBDV.又EADV，AEB為所求二面角的平面角，cos，.故所求二面角的平面角的余弦值為.四、利用底面的中心與高所在的直線，構建空間直角坐標系例4如圖所示，已知平行六面體ABCDA1B1C1D1的底面為正方形，O1，O分別為上、下底面的中心，且A1在底面ABCD上的射影是O.(1)求證：平面O1DC平面ABCD；(2)若點E，F(xiàn)分別在棱AA1，BC上，且AE2EA1，問點F在何處時，EFAD?考點向量法求解直線與直線的位置關系題點方向向量與線線垂直(1)證明如圖所示，以O為坐標原點，OA，OB，OA1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系設OA1，OA1a.則A(1,0,0)，B(0,1,0)，A1(0,0，a)，C(1,0,0)，D(0，1,0)，O1(1,0，a)則(1，1，a)，(0,0，a)設m(x1，y1，z1)，n(x2，y2，z2)分別是平面O1DC和平面ABCD的法向量由得令x11，則m(1,1,0)，而n(0,0，a)，故m·n0，即平面O1DC與平面ABCD的法向量垂直，故平面O1DC平面ABCD.(2)解由(1)可知，(1,0，a)，(1，1,0)設，則(，0)，故點F的坐標為(，1，0)，.EFAD·0，而·10，解得.故當F為BC的三等分點(靠近B)時，有EFAD.點評依托于平行六面體的高所在直線與底面正方形的兩對角線便可建立空間直角坐標系跟蹤訓練4已知正四棱錐VABCD中，E為VC的中點，正四棱錐的底面邊長為2a，高為h.(1)求DEB的余弦值；(2)若BEVC，求DEB的余弦值考點向量法求直線與直線所成的角題點向量法求直線與直線所成的角解(1)如圖所示，以V在底面ABCD內(nèi)的正投影O為坐標原點建立空間直角坐標系，其中OxBC，OyAB.由AB2a，OVh，知B(a，a,0)，C(a，a,0)，D(a，a,0)，V(0,0，h)，E.，cos，.即cosDEB.(2)BEVC，·0，即·(a，a，h)0，a20，ha.此時cos，即cosDEB.1.如圖所示，已知正方體ABCDA1B1C1D1，E，F(xiàn)分別是正方形A1B1C1D1和ADD1A1的中心，則EF和CD所成的角為_答案45°解析以D為原點，分別以射線DA，DC，DD1為x軸、y軸、z軸的非負半軸建立空間直角坐標系Dxyz如圖所示，設正方體的棱長為1，則D(0,0,0)，C(0,1,0)，E，F(xiàn)，(0,1,0)，cos，135°，異面直線EF和CD所成的角是45°.2在底面為直角梯形的四棱錐SABCD中，ABC90°，SA平面ABCD，SAABBC1，AD，則平面SCD與平面SAB所成銳二面角的余弦值為_考點向量法求二面角題點向量法求二面角答案解析以A為坐標原點，AD，AB，AS所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系Axyz，則A(0,0,0)，D，C(1,1,0)，S(0,0,1)，平面SAB的一個法向量，并求得平面SCD的一個法向量n，則cos，n.即所求銳二面角的余弦值為.3.在三棱柱ABCA1B1C1中，側面ABB1A1為矩形，AB2，AA12，D是AA1的中點，BD與AB1交于點O，且OC平面ABB1A1.(1)證明：BCAB1；(2)若OCOA，求直線CD與平面ABC所成角的正弦值考點題點(1)證明由題意知tanABD，tanAB1B，又ABD，AB1B為三角形的內(nèi)角，故ABDAB1B，則AB1BBAB1ABDBAB1，所以AOB，即AB1BD.又CO平面ABB1A1，AB1平面ABB1A1，所以AB1CO，因為BDCOO，BD，CO平面CBD，所以AB1平面CBD，又BC平面CBD，所以AB1BC.(2)解如圖，以O為坐標原點，分別以OD，OB1，OC所在直線為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系Oxyz，則A，B，C，D，設平面ABC的法向量為n(x，y，z)，則即令y1，則z1，x，平面ABC的一個法向量n.設直線CD與平面ABC所成角為，則sin|cos，n|.一、選擇題1在長方體ABCDA1B1C1D1中，ABBC1，AA1，則異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為()A.B.C.D.考點題點答案C解析以D為坐標原點，DA，DC，DD1所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，則D(0,0,0)，A(1,0,0)，B1(1,1，)，D1(0,0，)，所以(1,0，)，(1,1，)，因為cos，.2.如圖，四邊形ABCD和ADPQ均為正方形，它們所在的平面互相垂直，M，E，F(xiàn)分別為PQ，AB，BC的中點，則異面直線EM與AF所成角的余弦值是()A.B.C.D.考點題點答案A解析由題設易知，AB，AD，AQ兩兩垂直以A為原點，AB，AD，AQ所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，設正方形邊長為2，則A(0,0,0)，E(1,0,0)，M(0,1,2)，F(xiàn)(2,1,0)，(1,1,2)，(2,1,0)，cos，則異面直線EM與AF所成角的余弦值為.3在正方體ABCDA1B1C1D1中，BD與平面A1C1D所成角的正弦值是()A.B.C.D1考點題點答案B解析以D1為坐標原點，的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向，建立空間直角坐標系設正方體的棱長為2，則A1(2,0,0)，C1(0,2,0)，D(0,0,2)，B(2,2,2)，且n(1,1,1)是平面A1C1D的一個法向量，因為(2,2,0)，所以cosn，.設DB與平面A1C1D所成的角為，則sincosn，.4在正三棱柱ABCA1B1C1中，若ABBB1，則AB1與C1B所成角的大小為()A60°B75°C105°D90°考點向量法求直線與直線所成的角題點向量法求直線與直線所成的角答案D解析建立如圖所示的空間直角坐標系，設BB11，則A(0,0,1)，B1，C1(0，0)，B.，·10，即AB1與C1B所成角的大小為90°.5(2018·貴州貴陽高二檢測)如圖，四棱錐PABCD中，PB平面ABCD，底面ABCD為直角梯形，ADBC，ABBC，ABADPB3，點E在棱PA上，且PE2EA，則平面ABE與平面BED的夾角的余弦值為()A.B.C.D.考點向量法求平面與平面所成的角題點向量法求平面與平面所成的角答案B解析如圖，以B為坐標原點，分別以BC，BA，BP所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，則B(0,0,0)，A(0,3,0)，P(0,0,3)，D(3,3,0)，E(0,2,1)，(0,2,1)，(3,3,0)設平面BED的法向量為n(x，y，z)，則取z1，得n.又平面ABE的法向量為m(1,0,0)，cosn，m.平面ABE與平面BED的夾角的余弦值為.6.如圖，直三棱柱ABCA1B1C1中，AB1，ACAA1，ABC60°，則二面角AA1CB的余弦值是()A.B.C.D.考點題點答案C解析由題意知ABAC，以A為坐標原點，的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標系，則A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0，0)，A1(0,0，)設平面A1BC的法向量為n(x，y，z)，則·n0，·n0.又因為(1，0)，(0，)，所以令y1，則n(，1,1)取m(1,0,0)為平面AA1C的一個法向量，所以cosm，n.所以二面角AA1CB的余弦值為.二、填空題7.如圖所示，在四面體ABCD中，CACBCDBD2，ABAD，則異面直線AB與CD所成角的余弦值為_考點向量法求直線與直線所成的角題點向量法求直線與直線所成的角答案解析取BD的中點O，連接OA，OC.由題意知OA，OC，BD兩兩垂直，以O為坐標原點建立空間直角坐標系，如圖所示，則B(1,0,0)，D(1,0,0)，C(0，0)，A(0,0,1)，所以(1,0，1)，(1，0)，cos，因為異面直線所成角的范圍是，所以AB與CD所成角的余弦值是.8.如圖，已知四棱錐PABCD的底面是菱形，對角線AC，BD交于點O，OA4，OB3，OP4，OP底面ABCD.設點M滿足(>0)，當時，直線PA與平面BDM所成角的正弦值是_考點題點答案解析以O為坐標原點，的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標系，則(4,0，4)，(0,6,0)，(4,3,0)當時，得M，所以.設平面DBM的法向量為n(x，y，z)，則解得y0，令x2，則z1，所以n(2,0,1)因為cos，n，所以直線PA與平面BDM所成角的正弦值為.9(2018·山西太原高二檢測)已知四棱錐PABCD的底面ABCD是邊長為2的正方形，PAPD，平面ABCD平面PAD，M是PC的中點，O是AD的中點，則直線BM與平面PCO所成角的正弦值是_考點向量法求直線與平面所成的角題點向量法求直線與平面所成的角答案解析如圖，以O為坐標原點建立空間直角坐標系則B(1,2,0)，C(1,2,0)，P(0,0,2)，M.設平面PCO的法向量為n(x，y，z)，則取n(2,1,0)因此直線BM與平面PCO所成角的正弦值是|cos，n|.10.如圖，四棱錐FABCD的底面ABCD是菱形，其對角線AC2，BD.若CF平面ABCD，CF2，則二面角BAFD的大小為_考點題點答案解析過點A作AE平面ABCD，以A為坐標原點，的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標系(如圖)于是B，D，F(xiàn)(0,2,2)設平面ABF的法向量為n1(x，y，z)，則由得令z1，得所以n1(，1,1)同理，可求得平面ADF的一個法向量為n2(，1,1)由n1·n20，知平面ABF與平面ADF垂直，所以二面角BAFD的大小為.11.如圖，在棱長為2的正方體AC1中，點P，Q分別在棱BC，CD上，B1QD1P，且PQ.若P，Q分別為BC，CD的中點，則二面角C1PQA的余弦值是_考點題點答案解析以A為坐標原點，的方向分別為x軸，y軸，z軸正方向建立空間直角坐標系，則P(2,1,0)，Q(1,2,0)，C1(2,2,2)設平面C1PQ的法向量為n(a，b，c)因為(1,1,0)，(0,1,2)，又n·n·0，所以令c1，則ab2，所以n(2,2，1)因為k(0,0,2)為平面APQ的一個法向量，所以cosn，k.因為二面角為鈍角，所以所求余弦值為.12已知正三棱柱ABCA1B1C1的底面邊長為a，側棱長為a，則AC1與側面ABB1A1所成角的大小為_考點題點答案30°解析以A為坐標原點，AB，AA1所在直線為y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系Axyz，則A(0,0,0)，B(0，a,0)，A1(0,0，a)，C1，(0，a,0)，(0,0，a)，.設側面ABB1A1的法向量為n(x，y，z)，n·0且n·0.yz0.故n(x,0,0)cos，n，|cos，n|.又直線與平面所成的角在0°，90°范圍內(nèi)，AC1與側面ABB1A1所成的角為30°.三、解答題13.如圖，在正三棱柱ABCA1B1C1中，ABAA12，點P，Q分別為A1B1，BC的中點(1)求異面直線BP與AC1所成角的余弦值；(2)求直線CC1與平面AQC1所成角的正弦值考點向量法求直線與平面所成的角題點向量法求直線與平面所成的角解如圖，在正三棱柱ABCA1B1C1中，設AC，A1C1的中點分別為O，O1，則OBOC，OO1OC，OO1OB，以，為基底，建立空間直角坐標系Oxyz.因為ABAA12，所以A(0，1，0)，B(，0,0)，C(0,1,0)，A1(0，1,2)，B1(，0,2)，C1(0,1,2)(1)因為P為A1B1的中點，所以P，從而，(0,2,2)，故|cos，|.因此，異面直線BP與AC1所成角的余弦值為.(2)因為Q為BC的中點，所以Q，因此，(0,2,2)，(0,0,2)設n(x，y，z)為平面AQC1的一個法向量，則即不妨取n(，1,1)設直線CC1與平面AQC1所成的角為，則sin|cos，n|.所以直線CC1與平面AQC1所成角的正弦值為.14.如圖，在四棱錐EABCD中，平面EAD平面ABCD，DCAB，BCCD，EAED，AB4，BCCDEAED2.(1)證明：BD平面AED；(2)求平面ADE和平面CDE所成角(銳角)的余弦值考點向量法求平面與平面所成的角題點向量法求平面與平面所成的角(1)證明因為BCCD，BCCD2，所以BD2.又因為EAED，EAED2，所以AD2.又因為AB4，由勾股定理知BDAD.又因為平面EAD平面ABCD，平面EAD平面ABCDAD，BD平面ABCD，所以BD平面AED.(2)解如圖，取AD的中點O，連接OE，則OEAD.因為平面EAD平面ABCD，平面EAD平面ABCDAD，所以OE平面ABCD.取AB的中點F，連接OF，則OFBD.因為BDAD，所以OFAD.以O為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系Oxyz，則D(，0,0)，C(2，0)，E(0,0，)，(，0)，(，0，)設平面CDE的法向量為n1(x，y，z)，則所以令x1，可得平面CDE的一個法向量n1(1,1，1)又平面ADE的一個法向量為n2(0,1,0)因此|cosn1，n2|.所以平面ADE和平面CDE所成角(銳角)的余弦值為.15.如圖，在四棱錐PABCD中，ADBC，ADCPAB90°，BCCDAD，E為棱AD的中點，異面直線PA與CD所成的角為90°.(1)在平面PAB內(nèi)找一點M，使得直線CM平面PBE，并說明理由；(2)若二面角PCDA的大小為45°，求直線PA與平面PCE所成角的正弦值考點題點解(1)在梯形ABCD中，AB與CD不平行延長AB，DC，相交于點M(M平面PAB)，點M即為所求的一個點理由如下：由已知得，BCED，且BCED.所以四邊形BCDE是平行四邊形從而CMEB.又EB平面PBE，CM平面PBE，所以CM平面PBE.(2)由已知得，CDPA，CDAD，PAADA，PA，AD平面PAD，所以CD平面PAD.又PD平面PAD，所以CDPD.從而PDA是二面角PCDA的平面角所以PDA45°.由PAAB，PACD，ABCDM，AB，CD平面ABCD，可得PA平面ABCD.設BC1，則在RtPAD中，PAAD2.作AyAD，以A為坐標原點，以，的方向分別為x軸，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系Axyz，則A(0,0,0)，P(0,0,2)，C(2,1,0)，E(1,0,0)，所以(1,0，2)，(1,1,0)，(0,0,2)，設平面PCE的法向量為n(x，y，z)，由得取x2，得n(2，2,1)設直線PA與平面PCE所成角為，則sin.所以直線PA與平面PCE所成角的正弦值為.24